1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna
1.1 Fala w wolnej przestrzeni
Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie,
reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej przestrzeni (tj. w nieograniczonym,
nieprzewodzącym (σ = 0) ośrodku o parametrach 0 , µ0 ), rozchodzącą się w kierunku osi z
kartezjańskiego układu współrzędnych, ma postać
E = 1x Ex = 1x E0 e−jk0 z
(1a)
H = 1y Hy = 1y H0 e−jk0 z
(1b)
√
k 0 = ω 0 µ0
(2)
E0
Ex
=
= η0
Hy
H0
(3)
w której
przy czym
gdzie
η0 =
s
µ0
≈ 120π ≈ 377Ω
0
(4)
oznacza impedancję falową ośrodka, która w rozważanym przypadku jest identyczna z jego
impedancją właściwą. Przebiegi czasowe odpowiadające amplitudom zespolonym (1) mają
postać
E(z, t) = 1x Ex (z, t) = 1x Re{E0 e−jk0 z ejωt } = 1x E0 cos(ωt − k0 z)
H(z, t) = 1y Hy (z, t) = 1y Re{H0 e−jk0 z ejωt } = 1y H0 cos(ωt − k0 z)
(5a)
(5b)
Gęstość strumienia mocy niesionej (transportowanej) przez falę charakteryzuje zespolony wektor Poyntinga S zdefiniowany jako
1
S = E × H∗
(6)
2
gdzie gwiazdka (∗) sygnalizuje wielkość zespoloną sprzężoną. Część rzeczywista zespolonego wektora Poyntinga reprezentuje gęstość strumienia mocy uśrednioną za okres przebiegu
falowego.
Podstawowe właściwości fali opisanej zależnościami (1) - (5):
• wektory E i H, reprezentujące składowe elektryczną i magnetyczną fali, odpowiednio,
są wzajemnie prostopadłe i razem są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali,
• amplitudy składowych elektrycznej i magnetycznej są powiązane impedancją falową
ośrodka (patrz (3)),
• powierzchnie jednakowej amplitudy i jednakowej fazy fali są płaszczyznami – dlatego
rozważaną falę nazywamy falą płaską. Ponieważ płaszczyzny te są równoległe, falę
nazywamy jednorodną.
Wyrażenia opisujące płaską falę elektromagnetyczną w niemagnetycznym (µ 0 ), nieprzewodzącym ośrodku o przenikalności elektrycznej = r 0 są praktycznie identyczne z podanymi
wyżej; jedyna różnica polega na tym, że w miejsce 0 trzeba wstawić do tych wzorów przenikalność .
1.2 Fala w ośrodku stratnym
Przejście od analizy pola w ośrodku bezstratnym (σ = 0) do analizy pola w ośrodku stratnym
(σ 6= 0) wymaga modyfikacji tylko jednego z dwóch rotacyjnych równań Maxwella – tego,
które wyraża uogólnione prawo Ampere’a. Dla ośrodka bezstratnego ma ono postać
∇ × H = jωE
(7)
∇ × H = J + jωE = σE + jωE
(8)
natomiast dla ośrodka stratnego
Równanie (8) można zapisać w postaci
∇ × H = jωE
w której
=−j
σ
σ
= r 0 − j = r 0
ω
ω
(9)
(10)
gdzie
σ
(11)
ω0
oznacza względną (relatywną) zespoloną przenikalność elektryczną ośrodka stratnego. Jako
ćwiczenie pozostawiamy Czytelnikowi przekształcenie (11) do postaci
r = r − j
r = r − j60λ0 σ
(12)
w której λ0 oznacza długość fali w wolnej przestrzeni, odpowiadającą częstotliwości kątowej ω. Stosunek części urojonej do części rzeczywistej względnej, zespolonej przenikalności
elektrycznej określa tzw. tangens kąta δ strat ośrodka, tzn.
tg δ =
60λ0 σ
r
(13)
Równania Maxwella opisujące pole w ośrodku stratnym są formalnie identyczne z równaniami opisującymi pole w ośrodku bezstratnym – rózni je tylko to, że w równaniach dla
ośrodka stratnego występuje zespolona przenikalność elektryczna , natomiast w równaniach
dla ośrodka bezstratnego – rzeczywista przenikalność . W rezultacie fala elektromagnetyczna
w ośrodku stratnym jest opisana wzorami formalnie identycznymi z opisującymi falę w ośrodku bezstratnym z tą tylko różnicą, że zamiast (0 w przypadku wolnej przestrzeni) występuje
w tych wzorach przenikalność zespolona . Tak więc odpowiednik np. wzoru (2) ma dla
niemagnetycznego ośrodka stratnego postać
√
√
√
k = ω µ0 = ω r 0 µ0 = k0 r
(14)
Wzór ten określa tzw. liczbę falową, która dla ośrodka stratnego jest – jak widać – liczbą
zespoloną. Zespolony charakter przenikalności elektrycznej ośrodka stratnego sprawia, że jego
impedancja właściwa η, identyczna z impedancją falową dla fali płaskiej, jest zespolona
η = |η|e
jϕη
=
s
µ0
=
s
µ0
η0
=√
r 0
r
(15)
Do opisu fal w ośrodkach stratnych często wprowadza się parametr γ zdefiniowany jak
następuje
√
γ = α + jβ = jk = jk0 r
(16)
nazywany współczynnikiem propagacji. Nietrudno wykazać, że zarówno część rzeczywista α,
jak i część urojona β, współczynnika propagacji są dodatnie.
Przy użyciu γ i uwzględnieniu, że w ośrodku stratnym
Ex
= η = |η|ejϕη
Hy
(17)
wzory odpowiednie do (1), wyrażające zespolone amplitudy składowych elektrycznej i magnetycznej fali płaskiej w ośrodku stratnym, można zapisać jako
E = 1x Ex = 1x E0 e−γz = 1x E0 e−αz e−jβz
H = 1 y Hy = 1 y H0 e
−γz −jϕη
e
= 1 y H0 e
(18a)
−αz −j(βz+ϕη )
e
(18b)
przy czym
H0 =
E0
|η|
(19)
Przebiegi czasowo-przestrzenne odpowiadające zespolonym amplitudom określonym wzorami
(18) mają postać
E(z, t) = 1x Ex (z, t) = 1x Re{E0 e−γz ejωt } = 1x E0 e−αz cos(ωt − βz)
H(z, t) = 1y Hy (z, t) = 1y Re{H0 e−γz e−jϕη ejωt } = 1y H0 e−αz cos(ωt − βz − ϕη )
(20a)
(20b)
Ze wzorów (18) i (20) wynika, że fala elektromagnetyczne w osrodku stratnym jest tłumiona,
przy czym za tłumienie to odpowiada część rzeczywista α współczynnika propagacji. Z tego
powodu α nazywamy współczynnikiem tłumienia fali. Z kolei część urojoną β współczynnika
propagacji nazywamy współczynnikiem fazy.
Odwrotność współczynnika tłumienia
δ=
1
α
(21)
określa tzw. głębokość wnikania. Ma ona sens długości drogi fali w ośrodku, po przebyciu
której amplituda fali maleje e razy. Jest to ważny parametr, charakteryzujący zdolność fali
elektromagnetycznej do penetracji ośrodka.
1.2.1 Obliczanie parametrów falowych
Ważną umiejętnością inżynierską jest wyznaczanie wartości tzw. parametrów falowych, tj.
parametrów charakteryzujących ilościowo zjawisko rozchodzenia się fali w danym ośrodku.
Przez parametry falowe rozumie się prędkość rozchodzenia się fali, długość fali w ośrodku,
współczynnik propagacji fali, itd.
Przepiszmy wzór (16)
√
γ = α + jβ = jk = jk0 r
(22)
i wprowadźmy oznaczenie
√
r =
q
r − j60λ0 σ = n − jp
(23)
Przyrównując, odpowiednio, części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych po obu stronach
(23) otrzymujemy
r = n 2 − p 2
60λ0 σ = 2np
(24a)
(24b)
Rozwiązaniem tego układu równań są n i p dane wzorem
n
p
)
=
s
q
1
±r + 2r + (60λ0 σ)2
2
(25)
w którym znak plus bierzemy przy obliczaniu n, natomiast znak minus – przy obliczaniu p.
Po obliczeniu n i p otrzymujemy na podstawie wzorów (22) i (23)
α = k0 p
β = k0 n
(26a)
(26b)
Nietrudno także wyrazić przez n i p wszystkie inne parametry falowe. Dla praktyki obliczeniowej zwykla wygodnie jest wyróżnić dwa przypadki szczególne, tzn. przypadek ośrodka o
małych stratach i przypadek ośrodka o dużych stratach.
Ośrodek słabo przewodzący, tj. o małych stratach (r >> 60λ0 σ)
W tym przypadku mamy

√
1
n ≈ r 1 +
8
60λ0 σ
r
30λ0 σ
p≈ √
r
!2 

≈
√
r
(27a)
(27b)
W rezultacie
• współczynnik tłumienia
α = k0 p ≈
2π 30λ0 σ
60πσ
= √
√
λ0
r
r
(28)
2π √
r
λ0
(29)
• współczynnik fazy
β = k0 n ≈
• prędkość fazowa u rozchodzenia się fal w ośrodku
u=
jest – jak widać –
w próżni.
ω
ω
ω
c
=
= √
=√
β
k0 n
ω r 0 µ0
r
(30)
√
r razy mniejsza od prędkości c fali elektromagnetycznej (światła)
• długość fali w ośrodku
u
c
λ0
=√ T =√
(31)
f
r
r
√
jest – podobnie jak prędkość fazowa – r razy mniejsza od długości fali λ0 w wolnej
przestrzeni (próżni).
λ=
• impedancja falowa (charakterystyczna) ośrodka
η=
s
µ0
η0
η0
η0
30λ0 σ
=√ =
≈√
1+j
r 0
r
n − jp
r
r
!
(32)
jest liczbą zespoloną, skutkiem czego składowe elektryczna i magnetyczna fali są względem siebie przesunięte we fazie (ale ciągle pozostają ortogonalne w przestrzeni!).
Ośrodek dobrze przewodzący, tj. o dużych stratach (r << 60λ0 σ)
W tym przypadku mamy
q
n ≈ p ≈ 30λ0 σ
(33)
i w rezultacie
• współczynniki tłumienia i fazy
α ≈ β ≈ k0
s
s
30σ
30σf
30λ0 σ = 2π
= 2π
λ0
c
q
(34)
• prędkość fazowa u fali w ośrodku
u=
c
ω
=√
β
30λ0 σ
(35)
λ=
u
λ0
=√
f
30λ0 σ
(36)
• długość fali λ w ośrodku
• impedancja falowa (charakterystyczna) ośrodka
η0
η0
η=√ = √
(1 + j)
r
2 30λ0 σ
(37)
Jak widać, impedancja falowa ośrodka dobrze przewodzącego jest liczbą zespoloną,
której części rzeczywista i urojona są równe. wynika stąd, że w ośrodku dobrze przewodzącym składowe elektryczna i magnetyczna fali elektromagnetycznej są względem
siebie przesunięte we fazie o 45◦ (ciągle będąc wzajemnie ortogonalne w przestrzeni!).