PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 2-3 (226-227)
2013
Rok LIX
Tadeusz BIAŁOŃ, Marian PASKO
Politechnika Śląska w Gliwicach
STABILNOŚĆ OBSERWATORÓW O NIEPROPORCJONALNYCH
SPRZĘŻENIACH ZWROTNYCH NA PRZYKŁADZIE
OBSERWATORÓW STRUMIENI MAGNETYCZNYCH SILNIKA
INDUKCYJNEGO
Streszczenie. W artykule przedstawiono trzy struktury liniowych, nieproporcjonalnych obserwatorów pełnego rzędu, zastosowanych do odtwarzania strumieni
magnetycznych silnika indukcyjnego. Każdy z zaprezentowanych obserwatorów wymaga
wprowadzenia w jego strukturze modyfikacji, mających na celu zapewnienie stabilności.
Opisano przyczyny niestabilności i podano warunki stabilności.
Słowa kluczowe: obserwator całkujący, obserwator z dodatkowymi integratorami, obserwator
proporcjonalno-całkujący, silnik indukcyjny
STABILITY OF OBSERVERS WITH NON-PROPORTIONAL
FEEDBACKS ON THE EXAMPLE OF MAGNETIC FLUXES
OBSERVERS OF THE INDUCTION MOTOR
Summary. The paper presents three structures of linear, full-order, non-proportional
state observers, applied to reconstruction of magnetic fluxes of an induction motor. Each
of presented observers requires modifications to be introduced to its structure, in order to
provide observer’s stability. Reasons of instability are discussed and stability conditions
are given.
Keywords: integral observer, observer with integrators, proportional-integral observer, induction
motor
1. WSTĘP
W teorii sterowania i systemów znanych jest wiele różnych struktur obserwatorów
Luenbergera. Jak do tej pory, szersze zastosowanie w układach napędowych z silnikami
indukcyjnymi znalazł tylko jeden z nich, najbardziej podstawowy, obserwator proporcjonalny
[1]. Obserwatory o innych typach sprzężeń zwrotnych, pomimo iż zapewniają potencjalnie
lepszą jakość odtwarzania zmiennych stanu, są stosowane sporadycznie [2, 3, 4, 5, 6].
T. Białoń, M. Pasko
24
Głównymi przyczynami są skomplikowany dobór wzmocnień obserwatorów nieproporcjonalnych oraz konieczność stosowania dodatkowych modyfikacji ich struktur w celu
zapewnienia stabilności.
Przedmiotem rozważań są trzy typy obserwatorów o nieproporcjonalnych sprzężeniach
zwrotnych. Obserwator proporcjonalno-całkujący [7, 8, 9, 10], w porównaniu do obserwatora
proporcjonalnego, zapewnia silniejsze tłumienie błędów odtwarzania, co jest efektem występowania narastającego w czasie sygnału wyjściowego sprzężenia zwrotnego, narastającego
tak długo, jak błędy odtwarzania mają wartości różne od zera. Obserwator proporcjonalny
z dodatkowymi integratorami [11, 12, 13] umożliwia poprawę jakości odtwarzania zmiennych
stanu, zapewniając możliwość tłumienia skutków występowania w obiekcie obserwowanym
szybkozmiennych sygnałów zakłóceń o nieznanych wartościach. Zmodyfikowany obserwator
całkujący [7, 8, 13, 14, 15], w stosunku do obserwatora proporcjonalnego, charakteryzuje się
zwiększoną odpornością na zakłócenia zawarte w podawanych na wejście obserwatora
wielkościach wyjściowych obiektu obserwowanego.
2. SILNIK INDUKCYJNY JAKO OBIEKT OBSERWOWANY
Podstawą do syntezy obserwatorów jest model matematyczny silnika indukcyjnego
o postaci liniowego systemu dynamicznego o n zmiennych stanu zawartych w wektorze x,
p wymuszeniach dostępnych pomiarowo zawartych w wektorze u, z niedostępnych
pomiarowo zakłóceniach zawartych w wektorze d oraz q odpowiedziach (wyjściach)
zawartych w wektorze y:
,
(1)
Macierz stanu A ma wymiary n×n, macierze wejściowe B1 i B2 mają wymiary
odpowiednio n×z i n×p, a macierz wyjściowa C ma wymiary q×n. Macierze A, B1, B2 i C
mają stałe wartości elementów zależne od parametrów schematu zastępczego silnika, dodatkowo, wartości elementów macierzy stanu A zależą od prędkości kątowej silnika, traktowanej jako wolnozmienny parametr [13, 16]. Kolejne wektory przyjmują następujące postaci:
,
(2)
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych…
25
gdzie: us, us – napięcia zasilania uzwojenia stojana w stacjonarnym, prostokątnym układzie
współrzędnych - [16]; is, is – prądy uzwojenia stojana silnika; s, s, r, r –
strumienie magnetyczne sprzężone z uzwojeniami stojana i wirnika silnika;  – elektryczna
prędkość kątowa wirnika silnika,  – szybkozmienne, niedostępne pomiarowe zakłócenia
nakładające się na przebieg wolnozmiennej prędkości kątowej .
Postać wektora d wynika z poczynionego założenia, iż wykorzystywana w obserwatorze
prędkość kątowa silnika jest sumą dwóch wartości, rzeczywistej i wolnozmiennej , oraz
zakłóceń o nieznanych wartościach . Zakłócenia te mogą być np. błędami odtwarzania
prędkości kątowej, gdy obserwator współpracuje z mechanizmem adaptacji  [1]. Składnik
równania stanu obiektu obserwowanego (1) zawierający wektor d jest wykorzystywany tylko
w trakcie syntezy obserwatora z dodatkowymi integratorami. Podczas syntezy pozostałych
obserwatorów jest on pomijany.
3. OBSERWATORY NIEPROPORCJONALNE I ICH STABILNOŚĆ
Każdy z rozważanych obserwatorów w pewnych warunkach pracuje w sposób
niestabilny. Pomimo faktu, iż przyczyny niestabilności są różne, zawsze są one związane
z obecnością integratorów w sprzężeniach zwrotnych obserwatorów. Integratory, będące
źródłem problemów ze stabilnością, oznaczono na rysunku 1 kropkami. Jednym z możliwych
rozwiązań problemów ze stabilnością jest zastąpienie integratorów w sprzężeniach zwrotnych
inercjami pierwszego rzędu. Jest to rozwiązanie już wcześniej stosowane w niektórych typach
estymatorów strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego [17], mające jednak wpływ na
właściwości dynamiczne obserwatorów.
3.1. Obserwator proporcjonalno-całkujący
Do odtwarzania zmiennych stanu obiektu (1) można zastosować obserwator
proporcjonalno-całkujący (PI) opisany równaniem stanu:
.
(3)
Macierze wzmocnień KP i KI odpowiednio członu proporcjonalnego i całkującego mają
takie same wymiary n×q. Przez
oznaczono wektor zmiennych stanu odtwarzany
w obserwatorze. Niestabilność obserwatora PI wynika z postaci jego macierzy stanu. Można
wykazać [9], że dla dowolnych wartości wzmocnień zawartych w macierzach KP i KI rząd
macierzy stanu obserwatora jest opisany zależnością:
T. Białoń, M. Pasko
26
.
(4)
Rys. 1. Schematy blokowe liniowego obiektu dynamicznego oraz obserwatorów o nieproporcjonalnych sprzężeniach zwrotnych
Fig. 1. Block diagrams of a linear dynamic system and observers with non-proportional feedbacks
Z nierówności (4) wynika, że niezależnie od doboru wzmocnień, obserwator PI
zmiennych stanu silnika indukcyjnego (n = 4, q = 2) ma zawsze co najmniej dwie zerowe
wartości własne, gdyż rząd jego macierzy stanu jest co najmniej o 2 mniejszy od wymiarów
tej macierzy. Obserwator nie spełnia więc warunku koniecznego stabilności wg Lapunowa.
Po zastąpieniu integratorów członu całkującego inercjami o odwrotnościach stałych
czasowych zawartych w n-elementowym wektorze c, nierówność opisująca rząd macierzy
stanu obserwatora przyjmuje postać:
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych…
27
.
(5)
Z nierówności (5) wynika, że stabilność obserwatora PI po modyfikacji zależy tylko
i wyłącznie od doboru jego wzmocnień. Metody doboru wzmocnień oraz wyniki badań laboratoryjnych przedstawionego obserwatora PI opisano w pracach [9, 10]. Wpływ modyfikacji
struktury na wartości własne przykładowego obserwatora PI strumieni magnetycznych silnika
indukcyjnego przedstawiono na rysunku 2.
3.2. Obserwator z dodatkowymi integratorami
Wartości zmiennych stanu obiektu z niedostępnymi pomiarowo zakłóceniami (1) można
odtwarzać przy wykorzystaniu obserwatora proporcjonalnego z dodatkowymi integratorami,
opisanego równaniem stanu:
,
(6)
gdzie:  – liczba dodatkowych integratorów; macierz wzmocnień członu proporcjonalnego
K ma wymiary n×q; macierze wzmocnień zespołu dodatkowych integratorów od K1 do K
mają wymiary z×q. Zespół dodatkowych integratorów, na rysunku 1 zaznaczony linią
przerywaną, ma za zadanie kompensować skutki występowania w obiekcie obserwowanym
niedostępnych pomiarowo zakłóceń. Liczba dodatkowych integratorów  jest dowolna.
Zalecane jest [11], aby liczba integratorów była tym większa, im szybciej w czasie zmieniają
się wartości sygnałów zakłóceń zawartych w wektorze d. Należy jednak zwrócić uwagę, iż im
większa jest liczba dodatkowych integratorów, tym trudniej jest dobrać wzmocnienia
obserwatora. Z każdym kolejnym dodatkowym integratorem liczba wzmocnień rośnie o z×q.
O ile wcześniej rozpatrywany obserwator PI przed modyfikacją zawsze nie jest
asymptotycznie stabilny dla obiektów, które mają więcej zmiennych stanu niż odpowiedzi,
o tyle obserwator z dodatkowymi integratorami jest niestabilny dla pewnej klasy obiektów
obserwowanych. Przynależność do tej klasy nie zależy od relacji pomiędzy liczbami
zmiennych stanu i wyjść, lecz od struktur kolejnych macierzy obiektu. I tak, obserwator
T. Białoń, M. Pasko
28
z dodatkowymi integratorami zawsze nie jest asymptotycznie stabilny (ma osobliwą macierz
stanu), niezależnie od wartości wzmocnień, gdy macierze obiektu obserwowanego spełniają
nierówność [12]:
.
(7)
Rys. 2. Wpływ modyfikacji struktury obserwatorów na ich właściwości dynamiczne
Fig. 2. Influence of introduced modifications on observers’ dynamical properties
Można wykazać, że do tej klasy obiektów obserwowanych należy również silnik
indukcyjny opisany równaniami (1) [12, 13]. Po zastąpieniu dodatkowych integratorów
inercjami, nierówność (7) przyjmuje postać:
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych…
29
.
(8)
Nierówność (8) jest zawsze nieprawdziwa dla każdego obiektu obserwowanego, którego
macierz stanu A jest macierzą nieosobliwą. Należy zauważyć, że osobliwość macierzy
A systemu dynamicznego oznacza, że co najmniej jedna spośród zmiennych stanu tego
systemu jest kombinacją liniową zmiennych pozostałych, model matematyczny obiektu został
więc utworzony nieprawidłowo.
Po zmodyfikowaniu struktury obserwatora jego stabilność zależy tylko i wyłącznie od
wartości jego wzmocnień. Wpływ wprowadzonych modyfikacji na wartości własne przykładowego obserwatora z dwoma dodatkowymi integratorami przedstawiono na rysunku 2.
Wyniki badań laboratoryjnych obserwatorów z dodatkowymi integratorami, współpracujących z mechanizmem adaptacji prędkości kątowej, przedstawiono w pracach [12, 13].
3.3. Zmodyfikowany obserwator całkujący
Ostatnim z rozważanych obserwatorów jest zmodyfikowany obserwator całkujący,
opisany równaniami:
,
(9)
gdzie przez  oznaczono wektor zmiennych stanu obserwatora, który w przypadku obserwatora zmodyfikowanego całkującego, a w odróżnieniu do obserwatorów PI i proporcjonalnego
z dodatkowymi integratorami, nie jest wprost odpowiednikiem wektora stanu obiektu
obserwowanego x. Z tej przyczyny obserwator ten, w odróżnieniu do poprzednio
rozważanych, ma równanie wyjścia. Kolejną istotną różnicą w stosunku do pozostałych
dwóch obserwatorów jest umieszczenie integratora poza pętlą sprzężenia zwrotnego od
zmiennych stanu obserwatora (rys. 1). Konsekwencją takiego umieszczenia integratora jest
fakt, iż nie ma on wpływu na wartości własne obserwatora. Dlatego też w przypadku
zmodyfikowanego obserwatora całkującego nie występuje problem niestabilności strukturalnej, obecny w obserwatorach poprzednio rozważanych.
Stabilność asymptotyczna obserwatora zmodyfikowanego całkującego (w rozumieniu
Lapunowa) jest więc zawsze możliwa do osiągnięcia na drodze odpowiedniego doboru jego
wzmocnień. Integrator całkujący sygnały zawarte w wektorze y należy jednak zastąpić
30
T. Białoń, M. Pasko
inercją, ze względu na możliwość występowania w całkowanych sygnałach stałowartościowych zakłóceń, związanych np. z dryftem zera przetworników pomiarowych. Obecność tego
typu zakłóceń powoduje liniowe narastanie sygnałów wyjściowych integratora, co
w praktycznej realizacji, w odpowiednio długim czasie, zawsze prowadzi do powstania
błędów związanych z wyjściem wartości sygnałów poza dopuszczalny zakres wynikający
z przyjętego formatu liczb. W przypadku silnika indukcyjnego niestabilność pracy tego typu
obserwatorów ujawnia się więc dopiero podczas ich praktycznej realizacji. Efekt liniowego
narastania sygnałów wyjściowych integratora pod wpływem niewielkiej zawartości składowej
stałej ilustrują wyniki symulacji przedstawione na rysunku 2. Symulacja przedstawia rozruch
silnika i skokowe załączenie momentu obciążenia. Silnik zasilono bezpośrednio z trójfazowej
sieci sztywnej. Przez |r| i |r| oznaczono moduł strumienia wirnika silnika oraz względny
błąd jego odtwarzania w obserwatorze.
Wyniki badań laboratoryjnych oraz metody doboru wzmocnień zmodyfikowanych
obserwatorów całkujących opisano w pracach [13,14,15].
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Każdy z zaprezentowanych obserwatorów nieproporcjonalnych w pewnych warunkach
może być niestabilny, a jego prawidłową pracę można zapewnić zastępując integratory
sprzężenia zwrotnego członami inercyjnymi. Stałe czasowe inercji powinny być na tyle małe,
aby części rzeczywiste wartości własnych obserwatora miały wartości dużo mniejsze od zera,
a zakłócenia stałowartościowe, które mogą się pojawić w sygnałach wejściowych obserwatora
(związane np. z dryftem zera przetworników pomiarowych), nie miały tendencji do
kumulowania się. Natomiast małe wartości stałych czasowych inercji powodują osłabienie
działania sprzężeń zwrotnych obserwatorów, obniżając jakość odtwarzania zmiennych stanu.
BIBLIOGRAFIA
1. Kubota H., Matsuse K., Nakano T.: DSP-based speed adaptive flux observer of induction
motor. „IEEE Trans. on Ind. Appl.” 1993, No. 2 (29), p. 344-348.
2. Kim H. S., Lee C. H., Ahn H. U., Kim S. B.: Sensorless Speed Control of Induction motor
Using observation Technique. „Jour. of the Korean Society of Marine Eng.” 1999, No. 1
(23), p. 96-102.
3. Gaddouna B., Ouladsine M., Rachid A., El Hajjaji A.: State Estimation of an Induction
machine using a Reduced Order PI Observer. „IEEE Conference CESA” 1998, p. 10221026.
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych…
31
4. Gao Z., Habetler T. G., Harley R. G., Colby R. S.: A Sensorless Adaptive Stator Winding
Temperature Estimator for Mains-Fed Induction Machines With Continuous-Operation
Periodic Duty Cycles. „IEEE Trans. On Ind. Appl.” 2008, No. 5 (44), p. 1533-1542.
5. Gao Z.: Sensorless Stator Winding Temperature Estimation for Induction Machines. PhD
thesis, Georgia Institute of Technology, 2006.
6. Espinoza-Trejo D. R., Campos-Delgado D. U., Martinez-Lopez F. J.: Variable Speed
Evaluation of a Model-Based Fault Diagnosis Scheme for Induction Motor Drives. „IEEE
Symposium ISIE” 2010, p. 2632-2637.
7. Busawon K. K., Kabore P.: On the design of integral and proportional integral observers.
„Proc. of the American Control Conference” 2000, p. 3725-3729.
8. Busawon K. K., Kabore P.: Disturbance attenuation using proportional integral observers.
„International Jour. of Control” 2001, No. 6 (74), p. 618-627.
9. Białoń T., Lewicki A., Pasko M., Niestrój R.: PI observer stability and application in an
induction motor control system. „Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical
Sciences” 2013, No. 3 (61), p. 595-598.
10. Białoń T., Lewicki A., Pasko M., Niestrój R.: Parameter selection of an adaptive PI state
observer for an induction motor. „Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical
Sciences” 2013, No. 3 (61), p. 599-603.
11. Guo-Ping J., Suo-Ping W., Wen-Zhong S.: Design of observer with integrators for linear
systems with unknown input disturbances. „Electronics Letters” 2000, No. 13 (36),
p. 1168-1169.
12. Białoń T., Lewicki A., Niestrój R., Pasko M.: Stability of a proportional observer with
additional integrators on the example of the flux observer of induction motor. „Przegląd
Elektrotechniczny” 2011, No. 4 (87), p. 142-145.
13. Białoń T.: Zastosowanie obserwatorów Luenbergera do odtwarzania zmiennych stanu
silnika indukcyjnego. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2010 [online].
Dostępny w WWW: http://delibra.bg.polsl.pl
14. Białoń T., Lewicki A., Pasko M.: Zastosowanie całkującego obserwatora Luenbergera
w
multiskalarnym
układzie
sterowania
silnika
indukcyjnego.
„Przegląd
Elektrotechniczny” 2009, No. 3 (85), s. 52-55.
15. Białoń T., Lewicki A., Pasko M.: Zastosowanie układów całkujących odpornych na
składową stałą w całkującym obserwatorze zmiennych stanu silnika indukcyjnego.
„Wiadomości Elektrotechniczne” 2008, No. 11, s. 12-16.
32
T. Białoń, M. Pasko
16. Paszek W.: Dynamika maszyn elektrycznych prądu przemiennego. Helion, Gliwice 1998.
17. Hu J., Wu B.: New Integration Algorithms for Estimating Motor Flux over a Wide Speed
Range. „IEEE Trans. on Power Electronics” 1998, Vol. 5 (13), p. 969-977.
Dr inż. Tadeusz BIAŁOŃ, Prof. dr hab. inż. Marian PASKO
Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
e-mail: [email protected]
[email protected]