Gry kwantowe na łancuchach spinowych

Transkrypt

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych
Jarosław Miszczak
we współpracy z
Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą
Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach
J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron (IITiS PAN)
1 / 18
Plan wystąpienia
1
Krótki wstęp o grach kwantowych
2
Gra w orła i reszkę
Kwantowe oszukiwanie
3
Kwantowa gra w orła i reszkę
Implementacja na qubicie
4
Oszukiwanie w grze kwantowej
Kontrolowanie ewolucji
Optymalne wyniki dla Alicji
Oszukiwanie ze strony Boba
5
Wnioski
2 / 18
Gry kwantowe służą do modelowania sytuacji w których dochodzi do
konkurencji lub współdziałania osób posiadających możliwość operowania na
danych zakodowanych w stanach kwantowych.
Najprostszy przykład to kwantowy rzut monetą [Meyer, PRL 82(5), 1052
(1999)], który pokazuje, że warto uczyć się mechaniki kwantowej.
Inne przykład to kwantowy dylemat więźnia [Eisert, Wilkens, Lewenstein,
PRL, 83(15), 3077 (1999)].
3 / 18
Gra w orła i reszkę
Gra w orła i reszkę (ang. penny flip game, bit flip game) to gra dwuosobowa. Gra
składa się z trzech ruchów polegających na obróceniu monety (F – flip) lub nie
obróceniu monety (N – not flip). Pierwszy ruch należy do Alicji, drugi do Boba i
trzeci znowu do Alicji.
Moneta jest na początku zwrócona reszką do góry. Bob wygrywa jeżeli reszka jest
w tym samym stanie po zakończeniu gry.
N
F
NN
−1
1
NF
1
−1
FN
1
−1
FF
−1
1
W powyższej tabelce 1 oznacza wygraną Alicji, a −1 wygraną Boba.
4 / 18
Kwantowe oszukiwanie
Załóżmy teraz, że moneta (bit) jest zakodowana jako qubit i że tylko jeden z
graczy, a dokładnie tylko Alicja, o tym wie.
Alicja może operować na monecie operacjami unitarnymi. Na przykład, stosując
bramkę Hadamarda, przygotowuje ona w pierwszym ruchu stan √12 (|0i + |1i).
Bob – niezależnie od wykonanego przez siebie ruchu – nie ma możliwosci zmiany
tego stanu.
Zatem Alicja zawsze wygrywa.
5 / 18
Załóżmy teraz, że obaj gracze mogą posługiwać się operacjami unitarnymi.
Prawdopodobieństwo wygrania przez Alicję i Boba wynosi wówczas odpowiednio
|h1|UA2 UB UA1 |0i|2
oraz
|h0|UA2 UB UA1 |0i|2 ,
przy czym |0i koduje reszkę, a |1i – orła.
Jaki jest wówczas optymalny wybór strategii?
6 / 18
Okazuje się, że gdy Bob stosuje strategię mieszaną X taką, że
Z
1 X
U ⊗ U? =
U ⊗ U ? dµ(U ),
|X|
U (d)
U ∈X
to osiągana jest równowaga Nasha.
Przykładem jest strategia Pauliego, zadana przez macierze
{1l, iσx , iσy , iσz }
wykonywane z równym prawdopodobieństwem.
W dalszej części będziemy przyjmować, że Bob stosuje strategię Pauliego.
7 / 18
W jaki sposób Alicja i Bob kontrolują wykonanie swoich ruchów na qubicie?
Muszą oni przygotować odpowiedni Hamiltonian, który będzie określał ewolucję
układu w czasie każdego ich ruchu.
8 / 18
Wykonanie operacji unitarnej jest równoważne zastosowaniu odpowiedniej
sekwencji kontroli. Dowolna operacja z SU(2) to
iφ
φ+ψ
φ−ψ
e cos θ
eiψ sin θ
= ei 2 σz eiθσy ei 2 σz .
−iψ
−iφ
sin θ e
cos θ
−e
Aby uzyskać strategię Pauliego każdy z graczy musi zastosować poniższe wartości
parametrów kontrolnych.
1l
iσx
iσy
iσz
ξ1
0
π/4
0
−π/4
ξ2
0
−π/2
−π/2
0
ξ3
0
π/4
0
−π/4
Stały jest czas T jaki Alicja i Bob mają na wykonanie ruchów. Każdy z
parametrów ze skalą T3 określa Hamiltonian stosowany przez czas T3 .
9 / 18
Implementacja na łańcuchu spinów
Skoro można grać uczciwie na jednym qubicie, to pojawia się pytanie czy gracz
który ma możliwość operowania na łańcuchu qubitów, ma szansę na poprawę
swojego wyniku.
10 / 18
Interesują nas układy, które są opisane Hamiltonianem
H(t) = H0 + Hc (t)
(1)
gdzie H0 opisuje dryft, a Hc to Hamiltonian kontroli.
Dla układu dwóch qubitów (spinów 12 ) mają one postać
H0 = J(σx ⊗ σx + σy ⊗ σy + σz ⊗ σz )
oraz
Hc (t) = hy (t)σy ⊗ 1l + hz (t)σz ⊗ 1l.
11 / 18
Alicja zdaje sobie sprawę z pełnej struktury układu, natomiast Bob wykonuje tą
samą strategię co w przypadku gry na jednym qubicie.
Jeżeli Alicja chce w ten sposób oszukać Boba, to musi go najpierw przekonać, że
układ wykorzystywany do gry jest uczciwy. Alicja może tego dokonać odpowiednio
dobierając stałą J, odpowiedzialną za dryft.
12 / 18
średnia wypłata dla Boba
0.80
0.60
0.58
0.56
0.54
0.52
0.50
0.48
0.46
0.75
0.70
0.65
0.60
0
200
400
J
600
800 1000
0.55
0.50
0.45
0
5
10
J
15
20
Rysunek: Wartość oczekiwana wypłaty dla Boba jako funkcja stałej J. Zakładamy, że
Alicja i Bob grają przy pomocy strategii Pauliego.
Przy J ≈ 0.41 Bob wykonując serię testowych gier nie stwierdzi, że układ jest
dwuqubitowy.
13 / 18
Zadaniem Alicji jest maksymalizacja wartości
4
PA (h1 , h2 ) =
1X
h1|tr2 (|ψif ihψif |)|1i
4 i=1
(2)
gdzie
|ψif i = U (h2 )Vi U (h1 )|00i,
(3)
a macierze U (h1 ) and U (h2 ) są określone jako
U=
N
−1
Y
e−i∆t(H0 +Hc (n∆t)) = U ((N − 1)∆t) . . . U (∆t)U (0),
(4)
n=0
gdzie h1 i h2 to wektory parametrów kontrolnych definujących Hc w
poszczególnych przedziałach czasu.
14 / 18
σy
σz
σy
h2
15
10
5
0
−5
−10
−15
a)
0
1
3
1
2
3
15 σ σ σ σ σ σ σ σ σ
y
z
y
z
y
z
y
z
y
10
5
0
−5
−10
c)
−15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9
9
9
9
T
9
9
9
9
h2
h1
h1
Optymalne wyniki dla Alicji
15
10
5
0
−5
−10
−15
σy
σz
σy
b)
0
1
3
1
2
3
15 σ σ σ σ σ σ σ σ σ
y
z
y
z
y
z
y
z
y
10
5
0
−5
−10
d)
−15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9
9
9
9
T
9
9
9
9
Rysunek: Najlepsze znalezione kontrole dla Alicji przy łąńcuchu długości 2. Panele a)
oraz b) pokazują wektory kontroli dające średni payoff Alicji równy 0.97. Panele c) oraz
d) pokazują strategię, która wymaga wykonania 9 kontroli na ruch i daje średni payoff
0.999.
15 / 18
Oszukiwanie ze strony Boba
Przyjmijmy teraz, że to Bob oszukuje Alicję. Jeżeli będzie on wykorzystywał tylko
jeden dodatkowy qubit, to jego szanse (przy stosowaniu krótkich sekwencji
kontroli) wynoszą ≈ 0.713.
Długość łańcucha
Maksymalny payoff
2
0.713
3
0.920
4
0.925
5
0.901
6
0.901
7
0.951
Bob może natomiast poprawić znacznie swoje szanse, jeżeli będzie mógł dołączyć
dłuższy łańcuch spinów.
16 / 18
Wnioski
Nawet dodanie jednego qubitu pozwala Alicji uzyskać niemal pewność
wygranej.
Nieznajomość dokładnej struktury systemu wykorzystwanego do kwantowego
przetwarzania informacji może być łatwo wykorzystana na naszą niekorzyść.
W grach kwantowych każdy znajdzie coś dla siebie:
Z. Puchała, J.A.M, Symbolic integration with respect to the Haar measure on
the unitary group in Mathematica, arXiv:1109.4244
P. Gawron, Ł. Pawela, Quantum buffer on a spin chain, w przygotowaniu.
17 / 18
Dziękuję za uwagę.
18 / 18

Gry kwantowe na łancuchach spinowych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Konkursy na stanowisko asystenta - Instytut Informatyki Teoretycznej

Redaktor Naczelny dziennika - Związek Żołnierzy Wojska Polskiego

Historia pewnego kota, czyli kolejne polecenie czytelnicze

Bocian

Efekty rozmiarowe w nanocząstkach multiferroików

Gawron

Informatyka kwantowa - Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki