docKody kwantowej korekcji błędów dla nieunitarnych modeli szumu
download 
Reklamacja Transkrypt
Kody kwantowej korekcji błędów dla nieunitarnych modeli szumu
Uniwersytet Jagielloński
Wydział Fizyki, Astronomii
i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Kody kwantowej korekcji błędów dla
nieunitarnych modeli szumu
Jacek Kwiatkowski
Praca magisterska
napisana pod kierunkiem
prof. dr hab. Karola Życzkowskiego
Kraków, czerwiec 2010
Pragnę złożyć podziękowania
panu prof. dr hab. Karolowi Życzkowskiemu
za pomoc i wyrozumiałość
okazaną w trakcie pisania niniejszej pracy.
Dziękuję również Rodzicom oraz
wszystkim, którzy mnie wspierali.
Spis treści
1 Wstęp Teoretyczny
1.1 Kwantowa a klasyczna korekcja błędów . .
1.2 Warunki Knilla - Laflamme’a . . . . . . .
1.3 Podprzestrzenie odporne na dekoherencję .
1.4 Kody stabilizacyjne . . . . . . . . . . . . .
1.5 Numeryczny zakres wyższego rzędu . . . .
1.6 Dalsze aspekty kwantowej korekcji błędów
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Permutacyjne modele szumu
2.1 Ogólny model dla N=4, k=2 oraz l=2 . . . . . .
2.2 Model szumu N=6, k=3 oraz l=2 . . . . . . . .
2.3 Szum dla N=4, k=2, l=2 i różnych macierzy p1 i
2.4 Inny model szumu N=4, k=2, l=2 . . . . . . . .
2.4.1 Parowanie: a) wektory |1i z |4i i |2i z |3i
2.4.2 Parowanie: b) wektory |1i z |3i i |2i z |4i
3 Podsumowanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
p2
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
9
11
11
13
15
.
.
.
.
.
.
19
19
22
25
30
33
35
39
Abstract
Quantum error-correcting techniques are being developed in order to protect
quantum information from possible error it can undergo in physical systems. The
main purpose of this work is to present application of higher rank numerical range
of an operator, defined in [1], for constructing such codes. The definition of the
range is related to Knill-Laflamme condition for quantum error correction codes.
The codes constructed by use of higher rank numerical range (see [2], [3], and [4]),
were obtained for the noise described by unitary Kraus operators. In the work
the notion of higher rank numerical range of an operator was used to construct
correcting codes for noise models with general (non-normal) Kraus operators.
In particular, noise models of the following form are considered:
Ai = pi Di
or
Ai = p1i Di1 ± p2i Di2 ,
(1)
where pi and p1,2
are permutation matrices and Di and Di1,2 are some diagonal
i
matrices with non-negative entries.
The work is organised as follows. In the first part different quantum errorcorrecting techniques are presented, the differences between quantum and classical corection are shown, and the Knill-Laflamme’s condition for a quantum
error-correcting code are written down. After that, two wide classes of codes
called Decoherence Free Subspaces and Stabilizer Codes are described. Next the
higher rank numerical range of operator is presented as well as some of its properties. It is also shown how this concept can be used for constructing quantum
error-correcting codes. Some references to papers describing aproximate correcting codes, experimental implementation of active error correction and some general literature of quantum error correction are included at the end of the first
part of the work.
The main results of the work is presented in the second part of the thesis.
Four different noise models are described, each of them specified by two Kraus
operators A1 and A2 . It is worth to stress that these operators are not unitary
and the cross product A†1 A2 needs not to be normal. Three models encode one
logical qubit using two physical qubits while the other encodes one logical qutrit
using one physical qubit and one physical qutrit. The error-detection and errorcorrection procedures are shown explicitely for some of invented codes.
The last part of the thesis includes a summary and proposals for future work.
3
Wprowadzenie
Celem pracy jest zaprezentowanie metody konstrukcji kodów kwantowej korekcji
błędów przy użyciu zakresu numerycznego wyższego rzędu operatora. Definicja
zakresu, zaprezentowana w pracy [1] jest zbieżna z warunkami Knilla-Laflamme’a
określajacymi kody kwantowej korekcji błędu, zaproponowanymi w pracy [5]. Do
opisu szumu działającego na układzie stosuję notację Krausa. W pracach [2], [3]
i [4] zaprezentowano metodę zakresu numerycznego wyższego rzędu dla przypadków, gdy iloczyny operatorów Krausa A†i Aj , opisujących szum, były unitarne.
W poniższej pracy badano przydatność pojęcia zakresu do konstrukcji kodów w
przypadku, gdy A†i Aj nie są unitarne. W szczególności rozważano kody odporne
na działanie szumu opisanego operatorami postaci:
A i = pi D i ,
(2)
Ai = p1i Di1 ± p2i Di2 ,
(3)
lub
gdzie pi i p1,2
są pewnymi macierzami permutacji, a Di i Di1,2 macierzami diagoi
nalnymi o dodatnich współczynnikach.
Praca jest zorganizowana w trzech częściach. We wstępie opisuję podstawowe
założenia i właściwości kwantowej korekcji błędów, podkreślając różnice względem klasycznej korekcji. Podaję warunki Knilla-Laflamme’a oraz opisuję szeroką
klasę kodów zwaną kodami stabilizacyjnymi oraz kody odporne na dekoherencje
(ang. Decoherence Free Subspaces). Na końcu prezentuję definicję i własności numerycznego zakresu wyższego rzędu operatora oraz opisuję, w jaki sposób można
go wykorzystać do konstruowania kodów korekcji błędów. Druga część pracy zawiera wyniki uzyskane przeze mnie. W tej części opisuję cztery modele szumu,
działające w przestrzeniach Hilberta o wymiarach cztery lub sześć, dla których
znalazłem jawne postaci kodów. Trzecią, ostatnią część pracy, stanowi podsumowanie oraz propozycja dalszych badań.
5
Rozdział 1
Wstęp Teoretyczny
1.1
Kwantowa a klasyczna korekcja błędów
Komputery kwantowe, jeśli kiedyś zostaną skonstruowane, będą mieć szereg zalet
w stosunku do komputerów klasycznych. Warunkiem koniecznym wykonywania
długich obliczeń kwantowych jest rozwiązanie problemu błędów, jakie mogą się
pojawiać w takim urządzeniu. Konstruktorzy klasycznych komputerów stanęli
przed podobnym wyzwaniem w latach 40-tych i 50-tych ubiegłego wieku, w pionierskim okresie rozwoju klasycznej informatyki. Rozpowszechniona była opinia,
że nie da się zbudować dużego, poprawnie działającego komputera, gdyż błędy
pojawiające się na bitach uniemożliwią przeprowadzanie skomplikowanych operacji matematycznych. W kolejnych latach rozwinięto szereg skutecznych metod
przeciwdziałania i korekcji klasycznych błędów, co pozwoliło na dalszy rozwój
komputerów.
Prostym przykładem klasycznego kodu jest kod powtórzeniowy. Jeśli chce się
przesłać bezbłędnie pojedynczy bit przez klasyczny kanał, który z prawdopodobieństwem p odwraca go, tj. zamienia 1 na 0 i vice versa, i prawdopodobieństwem
1 − p nie wprowadza zaburzeń, można skopiować go dwukrotnie i każdą z trzech
kopii przesłać przez niezależnie:
0 → 000
1 → 111.
(1.1)
Sekwencje bitów 000 i 111 nazywa się logicznym zerem i logiczną jedynką. Po
odebraniu sygnału stosuje się metodę głosowania większościowego. Jeśli np. odbierze się sygnał 100 stwierdzi się, że pierwszy bit uległ zaburzeniu i poprawi
układ do stanu 000, który interpretuje się jako ”zero”.
Powyższa metoda zapewnia poprawne przesyłanie informacji pod warunkiem,
że błąd wystąpi tylko na jednym z trzech bitów. Jeśli błąd pojawi się na dwóch
bitach, np. stan 000 na wyjściu przyjmie postać 101, to błędnie zostanie zinterpretowany jako ”jeden”. Można policzyć prawdopodobieństwo pb , że więcej niż
7
8
ROZDZIAŁ 1. WSTĘP TEORETYCZNY
jeden z bitów zostanie odwrócony i kod przestanie działać:
pb = 3p2 (1 − p) + p3 .
(1.2)
Wynika stąd, że dla p < 1/2 prawdopodobieństwo błędnego przesłania zakodowanej informacji jest mniejsze od prawdopodobieństwa błędnego przesłania pojedynczego bitu. Podsumowując: jeśli ryzyko odwrócenia pojedynczego bitu jest
mniejsze od 1/2 opłaca się stosować kod powtórzeniowy.
Korekcja kwantowych błędów, pojawiających się na kubitach, jest o wiele
bardziej skomplikowana. Wynika to z trzech podstawowych cech, które różnią
informację kwantową od klasycznej.
1. Zgodnie z ”No Cloning Theorem”, zaproponowanym przez Woottersa i
Żurka w [6], nie można skopiować nieznanego stanu kwantowego.
2. Błędy na kubitach mogą mieć ciągły charakter.
3. Pomiar niszczy stan kwantowy (więcej na ten temat można znaleźć np. w
monografii A. Peresa [7]).
Nie można więc w prosty sposób zaadoptować metod klasycznych do przypadku
kwantowego. W szczególności, jeśli chcielibyśmy zastosować kod powtórzeniowy
do ochrony informacji kwantowej w trakcie przesyłania jej zaszumionym kanałem,
natrafilibyśmy na problem nie mogąc jej skopiować. Jeśli nawet udałoby się ją
skopiować, to nie moglibyśmy jej ochronić przed potencjalnymi ciągłymi błędami.
Ponadto, dokonując pomiaru niszczylibyśmy stany kubitów uniemożliwiając ich
poprawienienie. Okazuje się jednak, że mimo tych trudności da się opracować
skuteczne metody kwantowej korekcji błędów.
Najprostszym przykładem kwantowego kodu, chroniącego przynajmniej przed
częścią możliwych błędów jest trójkubitowy kod odwróceniowy (ang. ”bit flip
code”), będący pewną analogią klasycznego kodu powtórzeniowego. Jeśli kanał
kwantowy doświadcza tylko błędu polegającego na odwróceniu kubitu, któremu
odpowiada operator Pauliego σx , to przed przesłaniem, stan |ψi = α|0i + β|1i
można zakodować za pomocą logicznego zera |0L i = |000i i logicznej jedynki
|1L i = |111i:
α|0i + β|1i →
→ α|000i + β|111i = α|0L i + β|1L i.
(1.3)
Procedura korekcji jest dwustopniowa: najpierw dokonuje się detekcji błędu lokalizującej kubit, który uległ odwróceniu i potem, w zależności od wyniku pomiaru,
korekcji odpowiedniego kubitu. Detekcja błędu polega na dokonaniu pomiaru opisanego operatorami rzutowymi:
P0
P1
P2
P3
=
=
=
=
|000ih000|
|100ih100|
|010ih010|
|001ih001|
+ |111ih111|
+ |011ih011|
+ |101ih101|
+ |110ih110|.
(1.4)
1.2. WARUNKI KNILLA - LAFLAMME’A
9
Jeśli błąd nie wystąpił, pomiar P0 da wynik 1 a wszystkie pozostałe 0. Jeśli odwrócony zostanie kubit pierwszy, pomiar P1 da wynik 1 a pozostałe 0. Podobnie
w przypadku odwrócenia kubitów drugiego albo trzeciego. Po zidentyfikowaniu
odwróconego kubitu można dokonać korekcji polegającej na obróceniu go do oryginalnej pozycji.
Zaprezentowany kod chroni informację tylko przed bardzo szczególnymi błędami (odwróceniem kubitów) i działa pod warunkiem, że błędy nie pojawią się
na więcej niż w jednym kubicie. Podobnie jak w przypadku klasycznego kodu
powtórzeniowego, opłaca się zastosować trójkubitowy kod odwróceniowy, jeśli
prawdopodobieństwo odwrócenia pojedynczego kubitu jest mniejsze od 1/2.
Przedstawiony kod, choć bardzo prosty i mało przydatny jest dobrym przykładem ilustrującym różnice pomiędzy kodami klasycznej a kwantowej korekcji
błędów.
1.2
Warunki Knilla - Laflamme’a
Ogólna procedura korekcji błędów jest uogólnieniem działania opisanego kodu
trójkubitowego. Stan kwantowy, który chcemy chronić przed zaburzeniem, zostaje zakodowany jako kod kwantowej korekcji błędów w większej przestrzeni
Hilberta. Kod musi być skonstruowany w taki sposób, aby różne operatory błędu
przeprowadzały go do ortogonalnych podprzestrzeni. Podprzestrzenie te muszą
być prostopadłe, aby po wykonaniu pomiaru błędu dało się określić, jaki szum
zadziałał. Stosując operację zależną od zaistniałego szumu, podprzestrzeń na której zadziałał szum przeprowadza się z powrotem do oryginalnej podprzestrzeni
kodu.
Istnieją ogólne warunki, zwane warunkami Knilla-Laflamme’a, jakie musi spełniać kod kwantowej korekcji błędu aby dało się przeprowadzić operację detekcji
i naprawy. Niech C i P oznaczają odpowiednio podprzestrzeń kodu i projektor
rzutujący na nią. Niech szum będzie opisywany operacją E, a naprawa zakodowanego stanu ρ operacją R. W notacji Krausa szumowi odpowiadają operatory
Ai , a korekcji Ri , przy czym spełnione są warunki zachowania śladu:
∑l
i=1
A†i Ai = I,
∑l
i=1
Ri† Ri = I.
(1.5)
Opisana operacja szumu-korekcji musi spełniać warunek:
(R ◦ A)ρ ∝ ρ.
(1.6)
Działanie szumu w notacji Krausa, w jawnej formie ma postać:
ρ0 =
l
∑
i=1
Ai ρA†i .
(1.7)
10
ROZDZIAŁ 1. WSTĘP TEORETYCZNY
Warunki Knilla-Laflamme’a mówią, że dla wszystkich wektorów bazowych kodu
C, |iL i i |jL i (i 6= j) i każdej pary operatorów Aa i Ab musi zachodzić:
hiL |A†a Ab |iL i = hjL |A†a Ab |jL i,
hiL |A†a Ab |jL i = 0,
L = 1, ..., k,
(1.8)
L = 1, ..., k.
(1.9)
Warunek (1.8) zapewnia równość rzutów wektorów bazowych kodu do różnych
podprzestrzeni, a warunek (1.9) gwarantuje, że różne wektory bazowe pod wpływem tych samych operatorów szumu zostaną rzutowane do ortogonalnych podprzestrzeni. W celu dowodu równości (1.8) i (1.9) wystarczy jawnie policzyć
hiL |A†a Ab |jL i:
hiL |A†a Ab |jL i
hiL | A†a
∑
r
Rr† Rr Ab |jL i
∑
r hiL |ζar ζbr |jL i
hiL |A†a IAb |jL i
=
=
∑
=
† †
r hiL |Aa Rr Rr Ab |jL i
=
λab δij ;
=
(1.10)
i, j = 1, ..., k.
Warunki Knilla-Laflamme’a można zapisać w innej formie, pozwalającej w łatwy
sposób znaleźć operatory korekcji Ri (zaczerpnięte z [8]):
P A†i Aj P = λij P,
(1.11)
gdzie Λ = λij jest pewną macierzą hermitowską o wymiarze l i zespolonych
elementach, i jako taka może zostać przeprowadzona do postaci diagonalnej za
pomocą pewnej macierzy unitarnej:
d = u† Λu.
Zdefiniujmy operatory:
Fs =
∑
(1.12)
uis Ai .
(1.13)
i
Korzystając z równania (1.11) otrzymuje się:
P Fs† Fl P =
∑
u†si ujl P A†i Aj P =
ij
∑
u†si λij ujl P.
(1.14)
ij
Korzystając z (1.12) otrzymuje się uproszczoną wersję równania (1.11):
P Fs† Fl P = dsl P.
(1.15)
Uproszczenie polega na fakcie, że macierz d jest diagonalna. Korzystając z rozkładu polarnego:
√
√
Fs P = Us P Fs† Fs P = dss Us P
(1.16)
1.3. PODPRZESTRZENIE ODPORNE NA DEKOHERENCJĘ
11
dla pewnej macierzy unitarnej Us . Działanie Fs polega na obrocie podprzestrzni
kodu do podprzestrzeni zdefiniowanej operatorem rzutowym Ps :
Fs P U †
Ps = Us P Us† = √ s .
dss
(1.17)
Ponadto, z równania (1.15) wynika, że podprzestrzenie Ps są ortogonalne. Detekcja błędu polega na wykonaniu pomiaru zadanego zbiorem ortogonalnych operatorów rzutowych {Ps }ls=1 , a korekcja na zastosowaniu odpowiedniego operatora
Us† .
1.3
Podprzestrzenie odporne na dekoherencję
Dotychczas rozważaliśmy kody kwantowej korekcji błędów, które pozwalają na
zakodowanie informacji kwantowej w taki sposób, aby po zadziałaniu szumu
można było za pomocą operacji detekcji błędu określić, jaki błąd miał miejsce.
Następnie, w zależności od zaistniałego szumu aplikuje się odpowiedni operator
korekcji. Istnieje jednak klasa kodów kwantowej korekcji błędów, o angielskiej nazwie ”Decoherence Free Subspaces” (DFS ), która jest odporna na dekoherencję.
Opis tego typu kodów kwantowej korekcji błędów znajduje się m. in. w [9], [10] i
[11]. Jedynym rodzajem błędu, jaki może doznawać informacja kwantowa zakodowana za pomocą DFS jest unitarny obrót podprzestrzeni kodowej. Wynika to z
faktu, że wszystkie operatory Krausa Ai , i = 1, ..., n, opisujące szum, zacieśnione
do podprzestrzeni kodu, są proporcjonalne do jednego i tego samego operatora
unitarnego UDF S (operatora ewolucji podprzestrzeni kodu). Wtedy jakikolwiek
błąd może tylko obrócić podprzestrzeń kodu. Wszystkie operatory korekcji Ri
†
są proporcjonalne do UDF
S . Jeśli zostanie stwierdzone wystąpienie jakiegokol†
wiek błędu, zaaplikowanie operacji UDF
S doprowadzi do odzyskania oryginalnej,
zakodowanej informacji kwantowej.
1.4
Kody stabilizacyjne
Opisywanie kodów kwantowej korekcji błędów za pomocą wektorów bazowych
bywa kłopotliwe. O wiele wygodniejszą metodą jest użycie formalizu stabilizatora. W rzeczywistości, większość znanych i użytecznych kodów należy do klasy
kodów zwanej po angielsku ”stabilizer codes”, zaproponowanych przez Daniela
Gottesmana w [12]. Poniższe wprowadzenie do kodów stabilizacyjnych zostało
napisane na podstawie książki M. Nielsena i I. Chuanga [8], gdzie można znaleźć
więcej informacji na ich temat.
Stan kwantowy |ψi jest stabilizowany przez operator K jeśli jest jego stanem własnym do wartości +1. Na przykład, stan kubitu |0i jest stabilizowany
operatorem Pauliego Z:
Z|0i = |0i.
(1.18)
12
ROZDZIAŁ 1. WSTĘP TEORETYCZNY
Przy konstruowaniu kodów stabilizacyjnych wykorzystuje się teorię grup. Szczególnie istotną jest grupa Pauliego Gn , działająca na n kubitach. Dla pojedynczego
kubitu grupa Pauliego składa się z operatorów Pauliego X, Y , Z oraz operatora
jednostkowego I, wraz z czynnikami multiplikatywnymi ±1, ±i:
G1 = {±I, ±iI, ±X, ±iX, ±Y, ±iY, ±Z, ±iZ}.
(1.19)
Grupa Pauliego dla n kubitów, Gn , jest n-krotnym iloczynem tensorowym G1 :
Gn
= G⊗n
1
= {±I, ±iI, ±X, ±iX, ±Y, ±iY, ±Z, ±iZ}⊗n .
(1.20)
Jeśli S jest abelową podgrupą Gn i Vs zbiorem stanów n-kubitowych, stałych pod
działaniem każdego z operatorów z S, to mówi się, że przestrzeń Vs jest stabilizowana przez S, a podgrupa S jest stabilizatorem przestrzeni Vs . Jeśli każdy z
elementów grupy G da się zapisać jako iloczyn operatorów g1 , ..., gl , to nazywa
się je generatorami grupy G. Wygodnie jest oznaczać grupę za pomocą jej generatorów:
G = hg1 , ..., gl i.
(1.21)
Kodem stabilizacyjnym [n, k] nazywa się przestrzeń wektorową Vs , stabilizowaną przez podgrupę Gn , nie zawierającą operatora −I i posiadającą n − k
niezależnych i komutujących generatorów:
S = hg1 , ..., gn−k i.
(1.22)
Wymiar przestrzeni Vs wynosi 2k , więc można wybrać 2k stanów logicznych.
Można na przykład wybrać k operatorów Z 1 , ..., Z k , takich że {g1 , ..., gn−k , Z 1 , ..., Z k }
stanowią niezależny i komutujący zbiór operatorów. Wymaga się, aby Z j działał
jako operator Pauliego Z na logiczny kubit j, więc logiczny stan |x1 , ..., xk iL jest
opisywany za pomocą stabilizatora hg1 , ..., gn−k , (−1)x1 Z 1 , ..., (−1)xk Z k i.
Załóżmy, że stan został zakodowany za pomocą kodu [n, k] o stabilizatorze
S = hg1 , ..., gn−k i i doświadczył błędu E ∈ Gn . Zachodzą trzy różne możliwości
w zależności od rodzaju szumu E.
1. Jeśli E ∈ S, to nie trzeba nic robić, gdyż zakodowany stan jest niewrażliwy
na działanie E.
2. Jeśli E antykomutuje z przynajmniej jednym elementem z S, to zostaje
przeprowadzony do ortogonalnej podprzestrzeni, więc błąd może zostać wykryty a stan poprawiony. Detekcja błędu polega na pomiarze wszystkich
stabilizatorów po kolei. Wynik pomiarów jednoznacznie wskazuje błąd jaki
zaszedł na stanie. Stan jest korygowany za pomocą operacji odwrotnej do
wykrytego szumu.
3. Nie można naprawić zaszumionego stanu, jeśli E komutuje z wszystkimi
operatorami gi , ale E nie należy do S.
1.5. NUMERYCZNY ZAKRES WYŻSZEGO RZĘDU
13
Układ wszystkich operatorów E z ostatniego punktu (tj. Egi = gi E dla każdego
gi ∈ S i E ∈ Gn ) nazywa się centralizatorem (ang. centralizer) S i w rozważanym przypadku może być utożsamiany z normalizatorem N (S), który zawiera
wszystkie elementy E ∈ Gn takie, że Egi E † ∈ S dla każdego gi ∈ S.
Podsumowując, jeśli S jest stabilizatorem kodu [n, k], a {Ej } układem operatorów z Gn , takich że Ej† Ek ∈
/ N (S) − S dla każdego j i k, to możliwa jest
korekcja błędów {Ej }.
Procedura detekcji błędu polega na wykonaniu pomiarów g1 , ..., gn−k i uzyskaniu wyników β1 , ...βn−k . Jeśli zaszedł błąd Ej , to uzyskuje się wyniki pomiaru
takie, że Ej gl Ej† = βl gl . Korekcja polega na zastosowaniu operatora Ej† .
Jako prosty przykład można rozważyć opisany w poprzednich rozdziałach
trójkubitowy kod powtórzeniowy, rozpięty na stanach logicznych |0iL = |000i
i |1iL = |111i. Stabilizator kodu S = hZ1 Z2 , Z2 Z3 i. Łatwo sprawdzić, że każdy
możliwy iloczyn operatorów błędu {X1 , X2 , X3 } antykomutuje z przynajmniej
jednym generatorem stabilizatora, więc jest możliwa ich korekcja. Jeśli wystąpił
błąd X1 pomiar Z1 Z2 da wynik −1 a pomiar Z2 Z3 +1. Dla błędu X2 uzyska się
wynik −1 i −1, X3 da +1 i −1, brak błędu +1 i +1. W zależności od wyniku
pomiaru stosuje się odpowiedni operator Xi w celu naprawy zakodowanego stanu.
1.5
Numeryczny zakres wyższego rzędu
Problem kwantowej korekcji błędów okazuje się być powiązanym z numerycznym
zakresem wyższego rzędu opisanym w pracy [2]. W tym rozdziale zostanie podana
definicja zakresu i sposoby jak można go wykorzystać do konstrukcji kwantowych
kodów korekcji.
Niech T będzie macierzą o wymiarze N × N z zespolonymi elementami. Zakres numeryczny rzędu k ≥ 1 macierzy T , Λk (T ), definuje się jako podzbiór
płaszczyzny zespolonej, opisany równaniem:
Λk (T ) = {λ ∈ C : P T P = λP, P ∈ Pk },
(1.23)
gdzie Pk jest zbiorem projekcji do k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni Hilberta H. Dla k = 1 zakres numeryczny wyraża się wzorem:
Λ1 (T ) = {hT ψ|ψi : hψi ∈ CN , k|ψik = 1}
(1.24)
i pokrywa się ze standardową definicją zakresu numerycznego [13]. Współczynniki
λ nazywa się wartościami kompresji i określają one operator P .
W pracy [1] pokazano, że dla macierzy hermitowskich T , wymiaru N × N , o
wartościach własnych (z uwzględnieniem powtarzających się) a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ aN ,
dla k ∈ [1, N ], można wyróżnić trzy przypadki wartości Λk (T ):
1. Λk (T ) ∈ [ak , aN +1−k ] dla ak ≤ aN +1−k ,
14
ROZDZIAŁ 1. WSTĘP TEORETYCZNY
2. Λk (T ) = {ak } dla ak = aN +1−k ,
3. Λk (T ) jest zbiorem pustym dla k ≥ N + 1 − k.
Na przykład, zakres numeryczny rzędu dwa, Λ2 , dla macierzy hermitowskiej o
wymiarze pięć i niezdegenerowanych wartościach własnych a1 ≤ ... ≤ a5 jest
równy przedziałowi [a2 , a4 ], a zakres rzędu trzy, Λ3 = {a3 }. Przedstawiono je
graficznie na rysunku 1.1.
a1
a2
a3
a4
a5
L3
L2
Rysunek 1.1: Zakresy numeryczne rzędu dwa i trzy, Λ2 (T ) i Λ3 (T ), przykładowej
macierzy hermitowskiej T o wymiarze 5 i niezdegenerowanym widmie a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤
a4 ≤ a5 .
Podobnie wykazano, że dla operatorów normalnych i unitarnych w przestrzeni
H = Cn zakres numeryczny Λk (T ) jest zawarty w obszarze będącym przecięciem
wszystkich otoczek wypukłych coΓ, określonych przez wszystkie kombinacje (n +
1 − k) wartości własnych operatora T (szczegóły w pracach [14], [15] i [16]):
{
coΓ = a1 z1 + ... + am zm :
m
∑
}
ai = 1, ai ≥ 0, m ≥ 1 .
(1.25)
i=1
Na rysunkach 1.2 i 1.3 przedstawiono zakresy numeryczne rzędu 1 i 2 dla przykładowej macierzy unitarnej o wymiarze 5.
Podobieństwo definicji numerycznego zakresu wyższego rzędu (1.23) z przekształconym warunkiem Knilla-Laflamme’a (1.11) sugeruje, że można wykorzystać pojęcie zakresu do konstrukcji kodów kwantowej korekcji błędów. Procedura
poszukiwania podprzestrzeni kodu C jest następująca (więcej na ten temat w
pracach [1] i [2]):
1.6. DALSZE ASPEKTY KWANTOWEJ KOREKCJI BŁĘDÓW
a1
15
y=1
a5
a2
L1
x=1
a3
a4
Rysunek 1.2: Zakres numeryczny rzędu jeden, Λ1 (U ), przykładowej macierzy unitarnej U o wymiarze 5.
1. Dla każdego a, b należy znaleźć wartości kompresji λab spełniające Pab A†a Ab Pab =
λab Pab dla pewnego operatora rzutowego Pab .
2. Dla każdej znalezionej wartości λab określić postać operatorów rzutowych
Pab .
3. Znaleźć część wspólną P operatorów Pab określonych dla wszystkich kombinacji a i b. Znaleziony projektor P określa szukany kod C.
Procedura poszukiwania kodów za pomocą zakresu numerycznego wyższego rzędu
zostanie zaprezentowana w kolejnym rozdziale.
1.6
Dalsze aspekty kwantowej korekcji błędów
Komputery kwantowe oraz inne technologie opierajace się na przetwarzaniu informacji kwantowej (np. kwantowe szyfrowanie i przesyłanie danych) posiadają
16
ROZDZIAŁ 1. WSTĘP TEORETYCZNY
a1
y=1
a5
a2
L2
x=1
a3
a4
Rysunek 1.3: Zakres numeryczny rzędu dwa, Λ2 (U ), przykładowej macierzy unitarnej
U o wymiarze 5.
wiele potencjalnych zastosowań. W praktycznej realizacji tych technologii przeszkodą są zakłócenia, jakich doznaje informacja kwantowa w trakcie przetwarzania. Dlatego też poświęca się wiele wysiłku w opracowywanie różnorodnych technik kwantowej korekcji błędów. W szczególnosci warto wspomnieć o metodzie
przybliżonej korekcji błędów (AQECC - Approximate Quantum Error-Correcting
Codes), opisywanej m. in. w pracy [17]. Techniki tego typu są rozwijane, ponieważ zwykle trudno jest konstruować dokładne kody kwantowej korekcji błędów.
W pracy [18] zdefiniowano przybliżony zakres numeryczny operatora, który może
być przydatny przy opracowywaniu przybliżonych kodów.
Istnieje wiele różnorodnych technik korekcji błędów doświadczanych przez informację kwantową. Artykuł przeglądowy [19] stanowi dobre wprowadzenie do
tej dziedziny. W książe M. Nielsena i I. Chuanga, Quantum Information and Quantum Computation [8], zawarto odrębny rozdział poświęcony korekcji błędów.
Dużo informacji zawiera również jedna z pionierskich prac [20] na temat kwantowej korekcji błędów.
1.6. DALSZE ASPEKTY KWANTOWEJ KOREKCJI BŁĘDÓW
17
Kwantowa korekcja błędów do niedawna była czysto teoretycznym zagadnieniem. Implementowane eksperymentalnie techniki korekcji miały charakter pasywny (opierając się na schemacie Decoherence Free Subspaces). W 2009 roku
dokonano pierwszej doświadczalnej realizacji aktywnego kodu kwantowej korekcji błędów. W przeprowadzonym eksperymencie kodowano jeden logiczny kubit
za pomocą dwóch kubitów fizycznych (dwóch skorelowanych fotonów) i po poddaniu działaniu szumu dokonywano operacji korekcji. Szczegóły eksperymentu
można znaleźć w [21].
Rozdział 2
Permutacyjne modele szumu
Zwykle szuka się kodów korekcji dla zadanego modelu szumu E = {Ai }. W poniższej pracy zastosowano inną metodę, poszukiwano modelów szumu działających
w przestrzeniach o wymiarze N = 4 lub N = 6, takich aby możliwe było skonstruowanie podprzestrzeni kodu C o zadanym wymiarze k < N . Postępowano
w ten sposób, aby zbadać przydatność pojęcia zakresu numerycznego wyższego
rzędu operatora w dziedzinie kwantowej korekcji błędów. W szczególności badano
modele szumu, w których operatory Krausa Ai przyjmowały postać:
A i = pi D i ,
(2.1)
gdzie pi jest macierzą permutacji o wymiarze cztery lub sześć, a Di jest macierzą
diagonalną o rzeczywistych współczynnikach:
√
Ai =
r1
0
.
.
.
0
0
√
r2
0
.
.
0
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
0
.
.
.
.
.
0
√
0
rn
.
(2.2)
Opisując znalezione modele i kody korekcji przyjęto następujące oznaczenia:
N jest wymiarem przestrzeni Hilberta w której działa szum, k oznacza wymiar
podprzestrzni kodu, l jest liczbą operatorów Krausa opisujących szum.
2.1
Ogólny model dla N=4, k=2 oraz l=2
Rozważmy przestrzeń czterowymiarową N = 4 z szumem opisywanym przez dwa
operatory Krausa, zdefiniowane zgodnie z równaniami (2.1) i (2.2). Elementy
19
20
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
macierzy D1 niech spełniają zależność: 0 ≤ r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 ≤ 1.
√
r1
0
0
0
√
0
r2
0
0
√
D1 =
,
0
0
r3
0
√
0
0
0
r4
√
1 − r1 √ 0
0
0
0
1 − r2 √ 0
0
.
D2 =
0
0
1 − r3 √ 0
0
0
0
1 − r4
(2.3)
(2.4)
Zakładamy, że macierze p1 i p2 z równania (2.1) są identyczne dla obydwu operatorów błędu i są równe dowolnej macierzy permutacji wymiaru 4 × 4, np.:
p 1 = p2 = p =
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
.
Przy tych warunkach jawna postać operatorów A1 i A2 jest następująca:
√
r2
0
0
0
√
0
0
r3
0
√
A1 = pD1 =
,
0
0
0
r4
√
r1
0
0
0
√
1 − r2
0
0
0
√
0
0
1 − 1 − r3
√0
A2 = pD2 =
.
0
0
0
1
−
1
−
r
4
√
1 − r1
0
0
0
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Przyjmując oznaczenie Tij = A†i Aj warunki Knilla-Laflamme’a (1.11) są postaci:
P2 T11 P2 = λ11 P2
P T P =λ P
(2.8)
2 22 2
22 2
P T P =λ P ,
2 12 2
12 2
gdzie P2 jest projekcją na dwuwymiarową podprzestrzeń kodu, a macierze T11 ,
T22 i T12 przyjmują postać:
T11 = D12 =
r1
0
0
0
0
r2
0
0
0
0
r3
0
0
0
0
r4
,
(2.9)
2.1. OGÓLNY MODEL DLA N=4, K=2 ORAZ L=2
T22 = D22 =
√
T12
= D1 D2 =
1 − r1
0
0
0
r1 (1 − r1 )
√
0
0
1 − r2
0
0
0
0
1 − r3
0
0
r2 (1 − r2 )
0
0
0
0
√
21
0
0
0
1 − r4
,
(2.10)
0
0
0
0
r3 (1 − r3 )
0
√
0
r4 (1 − r4 )
.
(2.11)
Do znalezienia projektora opisującego podprzestrzeń kodu zastosujemy metodę
zakresu numerycznego wyższego rzędu. Rozwiązanie problemu kompresji operatora T11 jest jednocześnie rozwiązaniem dla operatora T22 = I − T11 . Wystarczy
więc rozwiązań wspólny problem kompresji operatorów T11 i T12 . Zgodnie z przyjętymi założeniami wartości własne operatora T11 wynoszą:
≤ r2
r1
≤
r3
≤ r4 .
(2.12)
Wartości własne operatora T12 oznaczamy jako:
ri00 =
√
ri (1 − ri ).
W zależności od współczynników r1 , .., r4 , układają
jednym z siedmiu następujących porządków:
a) r100 ≤ r200 ≤ r300 ≤
b) r100 ≤ r400 ≤ r300 ≤
c) r400 ≤ r100 ≤ r300 ≤
d) r400 ≤ r300 ≤ r100 ≤
e) r400 ≤ r300 ≤ r200 ≤
f) r100 ≤ r200 ≤ r400 ≤
g) r100 ≤ r400 ≤ r200 ≤
(2.13)
się one na osi liczbowej w
r400
r200
r200
r200
r100
r300
r300 .
Obydwa operatory posiadają tę samą bazę wektorów własnych |1i, ..., |4i, odpowiednio do wartości własnych r1 , ...r4 i r100 , ..., r400 . Wartość kompresji λ11 operatora
T11 należy do przedziału [r2 , r3 ], a wartość kompresji λ12 operatora T12 , znajduje
się pomiędzy drugą i trzecią wartościa własną, licząc od najniższej. Z porządku
wartości własnych obydwu operatorów widać, że dwa wektory bazowe szukanej
podprzestrzeni i projektor P2 na nią, uzyskuje się jako kombinację liniowe odpowiednich wektorów własnych operatorów T11 i T12 :
√
√
√
√
|ψ1 i = a1 |1i + 1 − a1 |3i = ( a1 , 0, 1 − a1 , 0)
|ψ2 i =
√
a2 |2i +
√
√
√
1 − a2 |4i = (0, a2 , 0, 1 − a2 )
P = ∑2 |ψ ihψ |.
i
i
2
i=1
(2.14)
22
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
Rozwiązanie problemu sprowadza się do znalezienia współczynników a1 i a2 . Zapisujemy równania kompresji:
λ11 = a1 r1 + (1 − a1 )r3 = a2 r2 + (1 − a2 )r4
(2.15)
λ12 = a1 r100 + (1 − a1 )r300 = a2 r200 + (1 − a2 )r400 .
Rozwiązanie ze względu na a1 i a2 wynosi:
a =
1
a2 =
(r4 −r2 )((r1 −r3 )(r300 −r400 )−(r3 −r4 )(r100 −r300 ))
(r1 −r3 )((r1 −r3 )(r400 −r200 )−(r4 −r2 )(r100 −r300 ))
(r100 −r300 )(r3 −r4 )−(r1 −r3 )(r300 −r400 )
(r1 −r3 )(r400 −r200 )−(r100 −r300 )(r4 −r2 )
−
r3 −r4
r1 −r3
(2.16)
.
Liczby r1 , ..., r4 traktowane są jako parametry modelu, uporządkowane według
relacji (2.12), a liczby ri00 dane są równaniem (2.13). Projektor P2 można zapisać
jawnie w postaci macierzowej:
√
a1
0
√
P2 =
a1 (1 − a1 )
0
a1 (1 − a1 )
0
√
0
0
0
a1
0
0
a2
a2 (1 − a2 )
a2 (1 − a2 )
a2
√
.
(2.17)
Projekcja P2 wyznacza podprzestrzeń, w której można zakodować informację
kwantową a następnie odtworzyć ją po zadziałaniu szumu zadanego przez operatory Krausa A1 i A2 . Detekcji błędu dokonuje się za pomocą operatora detekcji,
a korekcji za pomocą odpowiedniego operatora korekcji (w zależności od wyniku
operacji detekcji). Procedura poszukiwania jawnych postaci operatorów detekcji
i korekcji została opisana m. in. w książe Nielsena i Chuanga [8].
2.2
Model szumu N=6, k=3 oraz l=2
W tej części pracy opisano, zanurzony w sześciowymiarowej przestrzeni Hilberta,
trójwymiarowy kod kwantowej korekcji błędów (a więc kodujący kutryt za pomocą jednego kubitu i jednego kutrytu). Konstrukcja modelu szumu, przed którą
chroni opisany kod, jest podobna do przypadku czterowymiarowego z poprzedniego podrozdziału. Operatory błędu A1 i A2 są postaci opisanej wzorem (2.1)
z jedną i tą samą macierzą permutacji p = p1 = p2 o wymiarze N = 6. Dla
przykładu niech p będzie postaci:
p=
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
.
(2.18)
2.2. MODEL SZUMU N=6, K=3 ORAZ L=2
23
Aby było możliwe skonstruowanie wspomnianego kodu należy przyjąć założenia odnośnie elementów sześciowymiarowych macierzy D1 i D2 z równania (2.1).
Przyjmnijmy oznaczenie:
√
(2.19)
ri00 = ri (1 − ri ).
Niech będzie spełniona zależność: 0 ≤ r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 ≤ 1 i y dane wzorem:
r100 (r200 (r3 − r4 ) + r400 (r2 − r3 )) + r300 (r200 (r4 − r1 ) + r400 (r1 − r3 ))
.
y=
(r100 − r300 )(r2 − r4 ) − (r1 − r3 )(r200 − r400 )
(2.20)
Przy powyższych założeniach diagonalne macierze D1 i D2 niech będą dane wzorami:
√
√
√
1 1√
−
1 − 4y 2 , r2 , r3 ,
2 2
√
√
1 1√
D1 = diag
r1 ,
+
1 − 4y 2 , r4 ,
2 2
(2.21)
√
√
√
√
√
√
√
√
1 1
1 1
D2 = diag 1 − r1 ,
+
1 − 4y 2 , 1 − r2 , 1 − r3 ,
−
1 − 4y 2 , 1 − r4 ,
2 2
2 2
(2.22)
wtedy operatory Krausa przyjmują postać:
√
r2
0
0
0
0
0
√
r1
0
0
0
0
0
√
0
r4
0
0
0
0
√
√
A1 =
,
1
1
2
0
0
0
+
1
−
4y
0
0
2
2
√
0
0
0
r
0
0
3
√
√
1
1
2
0
− 2 1 − 4y
0
0
0
0
2
(2.23)
√
0
√1 − r
1
0
A2 =
0
0
0
√
1
2
+
0
0
0
0
0
√
1
2
√
1 − 4y 2
1 − r2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
√
1 − r3
0
0
0
0
√
1
0
√ 0
1 − r4
√
1
− 2 1 − 4y 2
0
2
0
0
0
0
(2.24)
Zapiszmy warunki Knilla-Laflamme’a:
P3 T11 P3 = λ11 P3
P T P =λ P
3 22 3
22 3
P T P =λ P ,
3 12 3
12 3
(2.25)
.
24
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
gdzie P3 jest projektorem na szukaną, trójwymiarową podprzestrzeń kodu. Przy
przyjętych założeniach macierze Tij są diagonalne:
T11
2
= D1 =
T22
2
= D2 =
r1
0
0
0
0
0
1 − r1
0
0
0
0
0
1
2
1
2
√0
1
− 2 1 − 4y 2
0
0
0
0
0
0
r2
0
0
0
√0
+ 12 1 − 4y 2
0
0
0
0
0
0
1 − r2
0
0
0
0
0
0
1 − r3
0
0
0
y
0
0
0
0
0
0
0
r300
0
0
T12
= D1 D2 =
r100
0
0
0
0
0
0
0
0
r3
0
0
0
0
r200
0
0
0
1
2
0
0
0
√0
1
+ 2 1 − 4y 2
0
0
0
0
0
y
0
1
2
0
0
0
0
0
r400
0
0
0
0
0
r4
,
0
0
0
0
√
− 12 1 − 4y 2
0
.
(2.26)
0
0
0
,
0
0
1 − r4
(2.27)
(2.28)
Aby określić projektor P3 musimy znaleźć wektory bazowe podprzestrzeni kodu
|ψi i, i = 1, 2, 3. W tym celu stosujemy metodę zakresu numerycznego wyższego
rzędu konstruując szukane wektory jako odpowiednie kombinacje liniowe wektorów własnych operatorów Tij :
√
√
a
|1i
+
1 − a1 |4i
|ψ
i
=
1
1
√
√
|ψ2 i = a2 |2i + 1 − a2 |5i
√
√
|ψ3 i = a3 |3i + 1 − a3 |6i
P = ∑3 |ψ ihψ |.
i
i
3
i=1
(2.29)
Zapiszmy równania kompresji dla operatorów T11 i T12 (rozwiązanie dla T11 będzie
też rozwiązaniem dla operatora T22 ):
(
)
(
)
√
√
1
2 + (1 − a ) 1 +
2
λ
=
a
r
+
(1
−
a
)r
=
a
−
1
−
4y
1
−
4y
2
11
1 1
1 3
2 2
2
= a3 r2 + (1 − a3 )r4
λ12 = a1 r100 + (1 − a1 )r300 = a3 y + (1 − a3 )y = a2 r200 + (1 − a2 )r400 .
(2.30)
2.3. SZUM DLA N=4, K=2, L=2 I RÓŻNYCH MACIERZY P1 I P2
25
Rozwiązanie układu ze względu na współczynniki a1 , a2 i a3 jest następujące:
a1 =
a2 =
a3 =
y−r300
r100 −r300
1−a1 r1 −r2 −(1−a1 )r3
√
(2.31)
1−4y 2
y−r400
.
r200 −r400
W jawnej formie macierzowej P3 jest postaci:
√
a1
0
0
√
P3 =
a1 (1 − a1 )
0
√
0
a2
0
0
0
a3
0
0
0
0
1 − a1
0
0
0
1 − a2
0
0
a2 (1 − a2)
0
a1 (1 − a1 )
0
0
√
a3 (1 − a3 )
√
0
0
a2 (1 − a2)
√
a3 (1 − a3 )
.
0
0
Szum dla N=4, k=2, l=2 i różnych macierzy
p1 i p2
Szczególną cechą obydwu poprzednich modeli jest fakt, że obydwa operatory
Krausa powstają w wyniku przemnożenia tej samej macierzy permutacji przez
macierze Di : Ai = pDi , i = 1, 2. Udało się także znaleźć ogólniejszy model szumu
w przestrzeni czterowymiarowej z różnymi macierzami permutacji dla obydwu
operatorów błędu, ale wymagało to przyjęcia silniejszych założeń co do ich postaci.
Niech współczynniki ri spełniają zależność:
0 < r1 < r2 = r4 < r3 < 1.
(2.33)
Macierze Di z równania (2.1) przyjmują wtedy postać:
√ √ √ √
D1 = diag ( r1 , r2 , r3 , r2 ) ,
D2 = diag
(√
)
√
√
√
1 − r1 , 1 − r2 , 1 − r3 , 1 − r2 .
0
1 − a3
(2.32)
Otrzymany projektor wyznacza szukany kod kwantowej korekcji błędów. Detekcji
błędu dokonuje się za pomocą operatorów detekcji, a korekcji za pomocą operatorów korekcji. Metoda poszukiwania operatorów detekcji i korekcji jest opisana
m. in. w [8].
2.3
(2.34)
(2.35)
26
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
Niech p0 będzie następującą macierzą permutacji:
p0 =
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
.
(2.36)
Macierz p1 może być dowolną macierzą permutacji o wymiarze 4, a macierz p2 =
p1 p0 . Na przykład niech p1 wynosi:
p1 =
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
.
(2.37)
Wtedy p2 przyjmuje postać:
p 2 = p1 p 0 =
0
1
0
0
.
(2.38)
Przy tych warunkach operatory błędu Ai wyglądają następująco:
√
r1
0
0
0
√
0
0
r3
0
√
A1 =
,
0
r2
0
0
√
0
0
0
r2
√
1 − r2
0
0
0
√
0
0
0
1 − r2
A2 = p1 p0 = √
.
1 − r1
0
0
0
√
0
0
1 − r3
0
(2.39)
(2.40)
Zapiszmy warunki Knilla-Laflamme’a:
P2 T11 P2 = λ11 P2
P2 T22 P2 = λ22 P2
(2.41)
P2 T12 P2 = λ12 P2 .
Operator T22 = I − T11 , więc nie trzeba go rozpatrywać. Operatory T11 i T12
wyrażają się wzorami:
T11 = A†1 A1 =
r1
0
0
0
0
r2
0
0
0
0
r3
0
0
0
0
r2
,
(2.42)
2.3. SZUM DLA N=4, K=2, L=2 I RÓŻNYCH MACIERZY P1 I P2
T12
√
0
√
r2 (1 − r1 )
= A†1 A2 =
0
r1 (1 − r2 )
0
0
0
0
0
√
0
0
ozn.
=
√
r3 (1 − r2 )
0
0
r2 (1 − r3 )
0
(2.43)
0
27
s2 0 0
0 0 0
.
(2.44)
0 0 s4
0 0 s3 0
W ogólności, dla r1 6= r2 6= r3 , operator T12 nie jest normalny, więc nie można
zastosować do niego standardowej metody poszukiwania wyższego zakresu numerycznego. Zamiast tego można zastosować metodę opisaną w pracy [18]. Dowolny
operator T12 rozkłada się na część symetryczną i antysymetryczną:
ozn. s1
=
0
S
A
+ iT12
,
T12 = T12
(2.45)
S
S †
T12
= (T12
),
A
A †
T12
= (T12
),
(2.46)
(2.47)
gdzie:
S
A
i rozwiązuje wspólny problem kompresji dla trzech operatorów: T11 , T12
i T12
:
P2 T11 P2 = λ11 P2
P T S P = λS P
(2.48)
2 12 2
22 2
P T A P = λA P .
2 12 2
12 2
S
A
Operatory T12
i T12
są postaci:
S
T12
=
†
1
T12 + T12
=
2
2
A
T12
†
1
T12 − T12
=
=
2i
2i
0
s1 + s2
0
0
s1 + s2
0
0
0
0
0
0
s3 + s4
0
0
s3 + s4
0
0
s1 − s2
0
0
s2 − s1
0
0
0
0
0
0
s3 − s4
0
0
s4 − s3
0
,
(2.49)
.
(2.50)
S
:
Obliczamy wartości i wektory własne operatora T12
− 12 (s3 + s4 ):
− 21 (s1 + s2 ):
1
(s1 + s2 ):
2
1
(s3 + s4 ):
2
|1S i =
|2S i =
|3S i =
|4S i =
√1
2
√1
2
√1
2
√1
2
(0, 0, −1, 1)
(−1, 1, 0, 0)
(1, 1, 0, 0)
(0, 0, 1, 1),
(2.51)
28
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
A
oraz operatora T12
:
− 12 (s4 + s3 ):
− 21 (s2 + s1 ):
1
(s2 + s1 ):
2
1
(s4 + s3 ):
2
|1A i =
|2A i =
|3A i =
|4A i =
√1
2
√1
2
√1
2
√1
2
(0, 0, i, 1)
(i, 1, 0, 0)
(−i, 1, 0, 0)
(0, 0, −i, 1).
(2.52)
S
A
Wartości własne operatorów T12
i T12
są rozłożone symetrycznie wokół
√ zera. Parując wektory własne |1S i z |4S i oraz wektory |2S i z |3S i z wagami 1/ 2, można
S
uzyskać rozwiązanie problemu kompresji dla operatora T12
do wartości λS12 = 0.
A
W identyczny sposób, parując wektory własne operatora T12
: |1A i z |4A i oraz
A
wektory |2A i z |3A i, uzyska się rozwiązanie problemu kompresji T12
do wartości
A
S
A
λ12 = 0. Co więcej, rozwiązania dla T12 i T12 będą identyczne, więc automatycznie
będą rozwiązaniem zagadnienia kompresji T12 do wartości kompresji λ12 = 0. Warunek (2.33) na macierze Di zapewnia, że będzie to również rozwiązanie problemu
kompresji operatorów T11 i T22 do wartości kompresji λ11 = r2 i λ22 = 1 − r2 .
Projektor P2 na podprzestrzeń kodu przyjmuje postać:
|ψ1 i =
|ψ2 i =
P2 =
√1
2
(|1S i + |4S i) =
√1
2
(|1A i + |4A i) = (0, 0, 0, 1)
√1
2
(|2S i + |3S i) =
√1
2
(|2A i + |3A i) = (0, 1, 0, 0)
∑2
i=1
(2.53)
|ψi ihψi |.
Jego postać w jawnej formie macierzowej:
P2 =
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
.
(2.54)
Powyższy projektor wyznacza podprzestrzeń kodu kwantowej korekcji. Należy
zauważyć, że projektor P2 da się zapisać w postaci:
P2 = |01ih01| + |11ih11| = I ⊗ |1ih1|.
(2.55)
Oznacza to, że podprzestrzeń kodu jest podprzestrzenią o ustalonej wartości drugiego kubitu.
Warto w sposób jawny sprawdzić, jak działa procedura detekcji
√ i korekcji
√
błędu dla otrzymanego kodu. Niech początkowy stan |ψi = η|ψ1 i + 1 − η|ψ2 i.
Po zakodowaniu za pomocą rozważanego kodu odpowiadająca mu macierz gęstości ma postać:
0
0
0 √ 0
0
η
0
η(1 − η)
ρ=
.
(2.56)
0
0
0
0
√
0
η(1 − η) 0
1−η
2.3. SZUM DLA N=4, K=2, L=2 I RÓŻNYCH MACIERZY P1 I P2
29
Następnie stan doświadcza błędu A1 lub A2 przechodząc do stanu zaszumionego
ρcor :
ρcor (A1 ) =
A1 ρA†1
= r2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 √ η
η(1 − η)
0
η(1 − η)
1−η
ρcor (A2 ) =
A2 ρA†2
,
√
η
η(1 − η) 0
0
1−η
0
0
√
= (1 − r2 ) η(1 − η)
0
(2.57)
0
0 0
.
0 0
0 0
(2.58)
Zauważmy, że operatory błędu A1 i A2 przeprowadzają macierz gęstości do ortogonalnych podprzestrzeni. Dlatego operatory detekcji błędów A1 i A2 są operatorami rzutowymi K1 i K2 na obie podprzestrzenie:
K1 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
,
K2 =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
(2.59)
Detekcja błędu polega na wykonaniu pomiarów K1 i K2 , a korekcja - zastosowaniu
operatora korekcji (w zależności od wyniku od wyniku detekcji) R1 lub R2 :
R1 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
,
R2 =
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
.
(2.60)
W efekcie, po wykonaniu operacji detekcji-korekcji otrzymujemy naprawioną macierz gęstości ρpop . Jeśli na przykład zaszedł błąd A1 otrzymujemy:
ρpop ∝ R1 K1 ρcor K1† R1† = r2 ρ ∝ ρ.
(2.61)
Dla błędu A2 uzyskujemy:
ρpop ∝ R2 K2 ρcor K2† R2† = (1 − r2 )ρ ∝ ρ.
(2.62)
W obu przypadkach poprawione macierze gęstości ρpop są proporcjonalne do oryginalnej macierzy ρ. Oznacza to, że pomimo działania operatorów szumu A1 i
A2 , zakodowanie kwantowej informacji za pomocą opracowanego kodu pozwala
na jej pełne odtworzenie.
30
2.4
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
Inny model szumu N=4, k=2, l=2
Rozważmy model szumu opisywany dwoma operatorami Krausa:
A1 = p1 D1 + p1 pD2 = p1 (D1 + pD2 ),
(2.63)
A2 = p1 D2 − p1 pD1 = p1 (D2 − pD1 ),
(2.64)
gdzie p1 jest dowolną macierzą permutacji, p - symetryczną i różną od jednostkowej macierzą permutacji:
p=
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
lub
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
lub
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
.
Przypadek każdej z trzech powyższych macierzy p należy rozważyć osobno. W
dalszej części pracy podam szczegółowe wyprowadzenia dla pierwszej z nich. Wyprowadzenia dla dwóch pozostałych są analogiczne. Jedyną różnicą są inne bazy
wektorów własnych operatorów A†i Aj . Przy powyższych założeniach operatory Tij
wyrażają się wzorami:
1
T11 = A†1 A1 = I + D2 pD1 + D1 pD2
2
1
T22 = A†2 A2 = I − D2 pD1 − D1 pD2
2
†
T12 = A1 A2 = D2 pD2 − D1 pD1 .
(2.65)
(2.66)
(2.67)
W dalszej części pracy przyjmuję:
p1 =
p=
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
,
(2.68)
.
(2.69)
Niech diagonalne macierze D1 i D2 opisują wzory:
√ √ √ √
D1 = diag( r1 , r2 , r3 , r4 ),
√
1
D2 = diag
− r1 ,
2
√
1
− r2 ,
2
√
1
− r3 ,
2
√
(2.70)
1
− r4 .
2
(2.71)
2.4. INNY MODEL SZUMU N=4, K=2, L=2
31
Parametry ri , i = 1, ..., 4 należą do przedziału [0, 1/2]. Przy tych założeniach
zapisujemy operatory Ai :
√
0
0
√
A1 =
1
− r1
2
√
√
√
0
A2 =
√
− r1
√
0
0
0
1
2
− r1
− r3
√
r3
1
2
0
− r2
√
− r2
0
1
2
− r2
1
2
r1
√
r2
0
√
0
√
r4
1
2
√
− r3
√
1
2
0
− r3
0
0
0
0
− r4
√
0
− r4
√
− r4
1
2
.
(2.72)
.
(2.73)
Warunki Knilla-Laflamme’a mają postać:
P2 T11 P2 = λ11 P2
P T P =λ P
(2.74)
2 22 2
22 2
P T P =λ P .
2 12 2
12 2
Zapisujemy jawną postać operatorów Tij :
1
2
0
1
2
0
X
Y
X
0
0
0
0
T11 =
T22 =
1
2
0
0
0
−Y
−X
0
T12 =
1
2
0
0
0
W
0
0
Z
0
1
2
Y
0
0
,
(2.75)
1
2
−Y
0
0
0
−X
1
2
,
(2.76)
1
2
0
0
Z
0
0
W
0
0
0
,
(2.77)
32
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
gdzie parametry X, Y , Z i W wynoszą:
√
X =
(
r2
√
Y
=
(
r1
√(
Z =
√(
W =
1
2
1
2
)
1
− r3 +
2
)
1
− r4 +
2
√
(
r3
√
(
1
− r2
2
)
(2.78)
)
1
r4
− r1
2
)(
)
√
1
− r2
− r3 − r2 r3
2
)(
)
√
1
− r1
− r4 − r1 r4 .
2
(2.79)
(2.80)
(2.81)
Macierze Tij mają wspólną bazę wektorów własnych (tak zwaną bazę Bella, tworzoną przez cztery ortogonalne stany maksymalnie splątane):
|1i =
|2i =
|3i =
|4i =
√1
2
(−1, 0, 0, 1)
√1
2
(0, −1, 1, 0)
(2.82)
√1
2
(0, 1, 1, 0)
√1
2
(1, 0, 0, 1).
Wektory i odpowiadające im wartości własne przedstawiono na rysunkach 2.1 i
2.2.
1
2
wektory
wÇasne:
1
-Y
2
È1\
-X
1
2
X+
È2\
1
2
Y+
È3\
1
2
È4\
Rysunek 2.1: Wartości własne i odpowiadające im wektory własne operatora T11 .
Należy znaleźć dwa wektory bazowe, |ψ1 i i |ψ2 i, rozpinające podprzestrzeń kodu,
jako kombinacje liniowe wektorów własnych operatorów T11 i T12 . Można tego
dokonać na dwa sposoby:
√
√
√
√
a) |ψ1 i = a1 |1i + 1 − a1 |4i, |ψ2 i = a2 |2i + 1 − a2 |3i,
b)
|ψ1 i =
√
a1 |1i +
√
1 − a1 |3i,
|ψ2 i =
√
a2 |2i +
√
Każdy z powyższych przypadków zostanie rozważony osobno.
1 − a2 |4i.
2.4. INNY MODEL SZUMU N=4, K=2, L=2
-W
-Z
È1\
È2\
wektory
wÇasne:
33
0
Z
W
È3\
È4\
Rysunek 2.2: Wartości własne i odpowiadajace im wektory własne operatora T12 .
Parowanie: a) wektory |1i z |4i i |2i z |3i
2.4.1
Niech wektory bazowe podprzestrzeni kodu powstają z konstrukcji:
√
√
|ψ1 i = a1 |2i + 1 − a1 |3i,
√
√
|ψ2 i = a2 |1i + 1 − a2 |4i.
(2.83)
(2.84)
Zapiszmy równania kompresji:
)
)
(
)
)
(
(
(
1
1
1
1
λ11 = a1 2 − Y + (1 − a1 ) 2 + Y = a2 2 − X + (1 − a2 ) 2 + X ,
λ = −a W + (1 − a )W = −a Z + (1 − a )Z.
12
1
1
2
2
(2.85)
Rozwiązanie powyższego układu równań jest następujące: a1 = a2 = 12 , co prowadzi do następującej podprzestrzeni kodu:
|ψ1 i = (0, 0, 1, 0)
|ψ2 i = (0, 0, 0, 1)
P2 =
∑2
i=1
(2.86)
|ψi ihψi |.
W postaci macierzowej projektor na podprzestrzeń kodu ma postać:
P2 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
[
0 0
0 1
]
⊗ I.
(2.87)
Oznacza to że podprzestrzeń kodu składa się z pierwszego kubitu w stanie |1i, a
drugi kubit może przyjmować dowolny stan.
Dla lepszego przedstawienia działania kodu policzymy operatory detekcji błędów K1 i K2 :
1 − 2r3
√
2 ( 12 − r3 )r3
K1 =
0
0
√
2 ( 12 − r3 )r3
0
0
2r3
0
0
0
2r4
2 ( 21 − r4 )r4
2 ( 12 − r4 )r4
1 − 2r4
0
√
√
, (2.88)
34
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
√
2r3
√
−2 ( 12 − r3 )r3
K2 =
0
−2 ( 12 − r3 )r3
0
0
1 − 2r3
0
0
0
1 − 2r4
−2 ( 12 − r4 )r4
−2 ( 12 − r4 )r4
2r4
0
√
√
0
,
(2.89)
oraz operatory korekcji R1 i R2 :
R1 =
0
√ 0
1 − 2r3
0
0
√0
2r3
0
0
0
√0
2r4
0
0
√ 0
1 − 2r4
,
(2.90)
0
0
0
0
0
0
0
0
√
R2 = √
.
(2.91)
− 2r3
1 − 2r3 √ 0
0
√
1 − 2r4 − 2r4
0
0
Na końcu sprawdźmy, jak działa√procedura detekcji i korekcji
na ogólnym, zakodo√
√ √
wanym stanie |ψi = η|ψ1 i + 1 − η|ψ2 i = (0, 0, η, 1 − η). Macierz gęstości
stanu:
0 0
0
0
0 0
0
0
√
ρ=
.
(2.92)
η(1 − η)
η
0 0
√
0
η(1 − η)
0
1−η
Rozważmy przypadek, gdy na stan ρ zadziałał szum A1 (działanie szumu A2 liczy
się analogicznie):
†
1
ρA
cor ∝ A1 ρA1 =
=
η
√
1
2
√
)
(1
− r3 η
2
√ (
)
1
r3
η
− r3
2
r4 ( 1
− r3 )η(1 − η)
2
(1 − 2r3 )(1 − 2r4 )η(1 − η)
√(
1
2
√
√
− r3
)
r3 η
r3 r4 η(1 − η)
r3 ( 1
− r4 )η(1 − η)
2
√
1 − r )η(1 − η)
r4 ( 2
3
√
√ (
1
(1 − η)
r4
2
− r4
√
(1 − 2r3 )(1 − 2r4 )η(1 − η)
√
r3 ( 1
− r4 )η(1 − η)
2
r3 r4 η(1 − η)
r4 (1 − η)
1
2
√ (
1
)
(1 − η)
(1
2
r4
− r4
)
2
− r4
)
(1 − η)
(2.93)
Po przeprowadzeniu detekcji i korekcji otrzymujemy poprawioną macierz gęstości
ρpop :
† †
1
(2.94)
ρpop ∝ R1 K1 ρA
cor K1 R1 ∝ ρ.
Łatwo sprawdzić, że w przypadku błędu A2 zachodzi:
† †
2
ρpop ∝ R2 K2 ρA
cor K2 R2 ∝ ρ.
(2.95)
Poprawione macierze gęstości ρpop są proporcjonalne do macierzy oryginalnej ρ,
a więc informacja kwantowa została odtworzona prawidłowo.
.
2.4. INNY MODEL SZUMU N=4, K=2, L=2
2.4.2
35
Parowanie: b) wektory |1i z |3i i |2i z |4i
Przy parowaniu wektorów własnych operatorów Tij , |1i z |3i oraz |2i z 4i, równania kompresji przyjmują postać:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
(1
)
(1
)
λ
=
a
−
Y
+
−
a
+
X
=
a
−
X
+
−
a
+
Y
,
1 2
1
2 2
2
11
2
2
λ = −a W + (1 − a )Z = −a Z + (1 − a )W .
12
1
1
2
2
(2.96)
Powyższy układ równań ma rozwiązanie a2 = a1 , a2 ∈ [0, 1], przy spełnionym
następującym warunku:
X
Z
=
.
(2.97)
Y
W
Aby powyższy warunek zachodził można zacieśnić założenia odnośnie szumu,
przyjmując r3 = r1 i r4 = r2 . Wtedy współczynniki X, Y , Z i W z równań (2.78)
- (2.81) przyjmują wartości:
√
X=Y =
(
r2
)
1
− r1 +
2
√(
√
(
r1
)(
1
− r2
2
)
= X 0,
ozn.
(2.98)
)
√
1
1
ozn.
− r1
− r2 − r1 r2 = Z 0 .
(2.99)
Z=W =
2
2
Przy tych dodatkowych założeniach projektor opisujący szukaną podprzestrzeń
kodu ma postać:
√
√ √
√
1
|ψ1 i = √2 (− a1 , 1 − a1 , 1 − a1 , a1 )
|ψ2 i =
√
√1 (
2
√ √ √
1 − a1 , − a1 , a1 , 1 − a1 )
(2.100)
∑
P2 = 2i=1 |ψi ihψi |
a1 ∈ [0, 1].
W zapisie macierzowym projektor opisuje równanie:
1
2
√
− a1 (1 − a1 )
P2 =
0
1
2
− a1
√
− a1 (1 − a1 )
0
1
2
1
2
− a1
0
1
2
√
− a1
1
2
a1 (1 − a1 )
1
2
− a1
,
√
a1 (1 − a1 )
0
a1 ∈ [0, 1].
1
2
(2.101)
Stosując drugie parowanie wektorów własnych operatorów Tij i przyjmując dodatkowe założenia odnośnie szumu doświadczanego przez układ udało się uzyskać
całą rodzinę rozwiązań na podprzestrzeń kodu, parametryzowaną przez ciagły
36
ROZDZIAŁ 2. PERMUTACYJNE MODELE SZUMU
parametr a1 ∈ [0, 1]. Aby lepiej poznać właściwości znalezionego kodu zapiszmy
macierz współczynników kompresji Λ = λij ,
[
Λ=
λ11
λ21
λ12
λ22
]
[
=
1
2
+ (1 − 2a1 )X 0
(1 − 2a1 )Z 0
1
2
(1 − 2a1 )Z 0
− (1 − 2a1 )X 0
]
.
(2.102)
Macierz Λ w istocie jest macierzą gęstości podprzestrzeni kodu. Jej wartości własne wynoszą: λ1 = a1 , λ2 = 1 − a1 . Entropia S(a1 ) podprzestrzeni kodu dana jest
wzorem ([22]):
S(a1 ) = −a1 ln a1 − (1 − a1 ) ln(1 − a1 ).
(2.103)
Przedstawiono ją na wykresie 2.3.
entropia
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a1
Rysunek 2.3: Entropia podprzestrzeni kodowej w funkcji parametru a1 .
Podprzestrzeń jest stanem czystym dla a1 = 0 lub a1 = 1. Dla tych szczególnych
przypadków projektor P2 określający kod przyjmuje postać:
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
P2 (a1 = 0) =
1
2
P2 (a1 = 1) =
1
2
0
0
0
− 12
− 21
0
1
2
1
2
0
0
,
1
2
0
− 12
− 12
0
0
0
1
2
1
2
(2.104)
,
(2.105)
co odpowiada sytuacji Decoherence Free Subspaces. Sprawdźmy jak w przypadku
kodu DFS wygląda operacja detekcji oraz korekcji błędu. Niech parametr a1 = 0
2.4. INNY MODEL SZUMU N=4, K=2, L=2
37
(dla wartości a1 = 1 przeprowadza się analogiczne
√ rachunki). Macierz gęstości ρ
√
dowolnego zakodowanego stanu |ψi = η|ψ1 i + 1 − η|ψ2 i ma postać:
1−η
2
0
0
ρ=
1−η
2
0
0
η
2
η
2
η
2
η
2
0
0
1−η
2
0
0
.
(2.106)
1−η
2
Niech na stan ρ zadziała szum A1 :
†
1
ρA
cor ∝ A1 ρA1 =
1
8
1
=
8
[
2qη
rη
0
0
rη
2qη
0
0
η
0
0
1−η
0
0
0
0
2q(1 − η) r(1 − η)
r(1 − η) 2q(1 − η)
]
[
2q
r
⊗
(2.107)
]
r
2q
,
(2.108)
gdzie parametry r i q wynoszą:
(
√
√
r = 2 r1 + 2 − 4r2
)(
)
√
√
2 r2 + 2 − 4r1 ,
(2.109)
√
q = 1 − 2r1 + 2r2 + 2 2r2 − 4r1 r2 .
(2.110)
Operator korekcji R dla kodu DFS jest proporcjonalny do A†1 (i jednocześnie do
A†2 ):
†
†
†
(2.111)
R = UDF
S ∝ A1 ∝ A2 .
Łatwo sprawdzić, że poprawiona macierz gęstości ρpop jest proporcjonalna do
macierzy oryginalnej:
1
(2.112)
ρpop ∝ A†1 ρA
cor A1 ∝ ρ,
innymi słowy, informacja kwantowa może być poprawiona do stanu oryginalnego.
Dla wartości parametru a1 = 1/2 podprzestrzeń stanowi stan maksymalnie
splątany, opisywany projektorem:
1
2
- 12
0
P2 (a1 = 1/2) =
0
- 12
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
.
(2.113)
Powyższy projektor określa szukaną podprzestrzeń kodu kwantowej korekcji błędów. Dla pośrednich wartości parametru a1 (różnych od 0, 1 i 12 ) podprzestrzeni
kodu jest zadana przez stany splątane, lecz nie maksymalnie splątane.
Rozdział 3
Podsumowanie
Celem pracy było zbadanie przydatności pojęcia zakresu numerycznego wyższego
rzędu operatora do poszukiwania kodów kwantowej korekcji błędów dla nieunitarnych modeli szumu. Kody kwantowej korekcji błędów muszą spełniać warunki
Knilla-Laflamme’a, dane równaniami (1.8) i (1.9), które można zapisać w równoważnej postaci:
P A†i Aj P = λij P,
(3.1)
gdzie P jest projektorem na podprzestrzeń kodu, a Ai są operatorami Krausa
opisującymi szum. W niniejszej pracy badano modele szumu, dla których operatory Ai były nieunitarne a T12 = A†1 A2 w ogólności, operatorami nienormalnymi.
Definicja zakresu numeryczego rzędu k operatora normalnego T pokrywa się z
warunkiem Knilla-Laflamme’a (1.11):
Λk (T ) = {λ ∈ C : P T P = λP, P ∈ Pk },
(3.2)
co pozwoliło na wykorzystanie jego właściwości do poszukiwania kodów kwantowej korekcji błędów. W tym celu rozwiązywano układ równań kompresji algebraicznej do każdej pary operatorów A†i Aj . O ile stosunkowo łatwo jest rozwiązać
równanie kompresji dla pojedynczego operatora Tij , to znalezienie wspólnego projektora dla całego układu z reguły stanowi poważny problem.
W niniejszej pracy poszukiwano kodów korekcji zanurzonych w podprzestrzeniach czterowymiarowych (dwóch fizycznych kubitach) i sześciowymiarowych (układzie kubitu i kutrytu). Zgodnie z właściwościami zakresu numerycznego, w układzie czterowymiarowym można znaleźć podprzestrzeń kodu o wymiarze co najwyżej dwa (kodującym logiczny kubit), a w układzie sześciowymiarowym kod o
wymiarze co najwyżej trzy (a więc mogącym zakodować kubit lub kutryt). Dla
modeli szumu opisywanych liczbą l operatorów Krausa trzeba znaleźć wspólne
rozwiązanie równań kompresji dla l(l + 1)/2 operatorów A†i Aj .
Modele szumu, dla których udało się skonstruować kody korekcji, były opisywane dwoma operatorami Krausa Ai . Skutkowało to koniecznością znalezienia wspólnego rozwiązania dla trzech równań kompresji (dla operatorów A†i Aj ,
39
40
ROZDZIAŁ 3. PODSUMOWANIE
i = 1, 2). Szum z dwoma operatorami Krausa ma tę korzystną właściwość, że rozwiązanie dla operatora A†1 A1 jest jednocześnie rozwiązaniem dla A†2 A2 (ponieważ
A†2 A2 = I − A†1 A1 ). Upraszczało to problem, gdyż wystarczało znaleźć wspólne
rozwiązania dla A†1 A1 i A†1 A2 . Liczba niezależnych problemów kompresji do rozwiązania rośnie z liczbą l operatorów Krausa kwadratowo, i już dla l = 3 należy
rozważać 6 równań algebraicznych, co znacznie utrudnia rozwiązanie problemu.
Szczególnie trudne jest szukanie podprzestrzeni kodu dla operatorów krzyżowych A†1 A2 , których postacie są z reguły dość skomplikowane. Zmusza to to
przyjmowania pewnych restrykcyjnych założeń odnośnie macierzy Ai . W jednym
z modeli operator krzyżowy A†1 A2 nie jest normalny, co wykluczało zastosowanie standardowej metody zakresu numerycznego. W tym przypadku zastosowano
uogólnioną metodę, opisaną w pracy [18], polegającą na rozłożeniu badanego
operatora na części symetryczną i antysymetryczną i rozwiązywaniu łącznego
problemu kompresji dla obydwu operatorów.
Wydaje się, że dalsze prace powinny koncentrować się na szukaniu bardziej
ogólnych, cztero- lub sześciowymiarowych modeli szumu. W szczególności można
próbować znaleźć modele szumu opisywane większą niż dwa liczbą operatorów
Krausa, dla których dałoby się znaleźć kody kwantowej korekcji błędów. Warto
byłoby również poświęcić uwagę przypadkom, w których operatory krzyżowe
A†i Aj , i 6= j, nie są normalne. Dla większej liczby operatorów Krausa problem
szukania kodów staje sie bardzo skomplikowany, więc można by rozważyć zastosowanie metod numerycznych lub poszukiwania przybliżonych kodów korekcji
błędów opisywanych w pracy [18].
Bibliografia
[1] Man-Duen Choi, David W. Kribs, and Karol Życzkowski. Higher-rank numerical ranges and compression problems. Lin. Alg. Appl., (418):828–839,
2006.
[2] Man-Duen Choi, David W. Kribs, and Karol Życzkowski. Quantum error
correction and higher-rank numercial range. Rep. Math. Phys., 58:77–91,
2006.
[3] Krzysztof Majgier. Kody kwantowej korekcji błȩdów dla unitarnych modeli
szumu. Master’s thesis, Instytut Fizyki UJ, 2007.
[4] Krzysztof Majgier, Hans Maasen, and Karol Życzkowski. Protected subspaces in quantum information. Quantum Inf Process, (9):343–367, 2010.
[5] Emanuel Knill and Raymond Laflamme. A theory of quantum errorcorrecting codes. Physical Review A, 55:900–911, 1997.
[6] William Wootters and Wojciech Hubert Żurek. A single quantum cannot be
cloned. Nature, 299:802–803, 1982.
[7] Asher Peres. Quantum Theory, Concepts and Methods. Kluwer Academic
Publishers, 1993.
[8] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.
[9] Daniel A. Lidar and K. Birgitta Whaley, editors. Irreversible Quantum Dynamics, chapter Decoherence-Free Subspaces and Subsystems, pages 83–120.
Springer Berlin, 2003.
[10] Paolo Zanardi and Mario Rasetti. Noiseless quantum codes. Phys. Rev.
Lett., 79:3306–3309, 1997.
[11] Paolo Zanardi and Mario Rasetti. Error avoiding quantum codes. Modern
Physics Letters B, 11:1085–1093, 1997.
41
42
BIBLIOGRAFIA
[12] Daniel Gottesman. Stabilizer Codes and Quantum Error Correction. PhD
thesis, California Institute of Technology, 1997.
[13] Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991.
[14] Chi-Kwong Li, Yiu-Tung Poon, and Nung-Sing Sze. Condition for the higher
rank numerical range to be non-empty. Linear and Multilinear Algebra,
57:365–368, 2009.
[15] Hwa-Long Gau, Chi-Kwong Li, Yiu-Tung Poon, and Nung-Sing Sze. Quantum error correction and higher-rank numercial ranges of normal matrices.
arXiv:0902.4869v1, 2009.
[16] Chi-Kwong Li and Yiu-Tung Poon. Quantum error correction and generalized numerical ranges. arXiv:0812.4772v1, 2008.
[17] Claude Crepeau, Daniel Gottesman, and Adam Smith. Approximate quantum error-correcting codes and secret sharing shemes. arXiv:quantph/0503139v1, 2005.
[18] Łukasz Skowronek. Code carriers and approximate higher rank numerical
ranges. W przygotowaniu, 2010.
[19] Simon J. Devitt, Kae Nemoto, and William J. Munro. The idiots guide to
quantum error correction. arXiv:0905.2794v2, 2009.
[20] Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, John A. Smolin, and William K.
Wootters. Mixed state entanglement and quantum error correction. Phys.
Rev. A, 54:3824–3851, 1996.
[21] Kurt Schreiter, Aron Pasieka, Rainer Kaltenbaek, Kevin Resch, and David W. Kribs. Optical implementation of a unitarily correctable code. Phys.
Rev. A, 80, 2009.
[22] Karol Życzkowski, David W. Kribs, and Aron Pasieka. Entropy of a quantum
error correction code. Open Systems & Information Dynamics, (15):329–343,
2008.
