Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2
Transkrypt
Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2
Analiza Rzeczywista i Zespolona — lista 2 1. Jeżeli A, B ⊂ R, m(A) > 0 oraz m(B) > 0, to A + B zawiera nietrywialny odcinek. (Jest to lemat Steinhausa. Wsk. Użyć punktów gęstości lub splotu.) 2. Niech C będzie zbiorem Cantora. Czy C + C zawiera przedział? 3. Podać rozkład Lebesgue’a miary Lebesgue’a na [0, 2] względem miary Lebesgue’a na [1, 3]. 4. Jeżeli miary σ-skończone spełniają nierówność 0 ¬ ν ¬ µ, to dν = f dµ, gdzie 0 ¬ f ¬ 1 (µ p.w.). 5. Podać |ν|, jeżeli ν(E) = R E f dµ, dla miary µ 0 i f ∈ L1 (µ). 6. Jeżeli µ jest miarą zespoloną, to dµ = hd|µ|, gdzie |h| = 1. 7. Użyć twierdzenia Radona-Nikodyma dla dowodu rozkładu Hahna miary rzeczywistej (skończonej). 8. Funkcja f (x) = P∞ n=1 2n 1|x−rn |<3−n jest skończona p.w., gdy rn jest wyliczeniem liczb wymiernych. 9. Niech (X, A, µ) będzie σ-skończoną przestrzenią miarową, i niech F będzie pod-σ-algebrą A. Dla każdego u ∈ L1 (A) istnieje (warunkowa wartość oczekiwana) uF ∈ L1 (F) o własności, Z F F u dµ = Z udµ , F ∈F . F P. Sztonyk, Politechnika Wrocławska