I Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2011

I Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2011
Zadanie 1
Niech X - zmienna losowa o skończonym drugim momencie. Udowodnić, że dla dowolnej zmiennej I zachodzi:
VarX Var(E( X | I )) E(Var( X | I )) .
Zadanie 2
Niech X oznacza ryzyko związane z bezpośrednimi skutkami finansowymi pewnego wypadku
ubezpieczeniowego, zaś Z ryzyko związane z jego pośrednimi konsekwencjami. Jednym słowem, wiemy że
P(Z > 0 | X = 0) = 0. Mamy nastepujące dane:
P(X > 0) = 0,5;
P(Z > 0 | X > 0) = 0,5;
E(X | X > 0 Z = 0) = 2;
E(X | X > 0 Z > 0) = 4;
E(Z | Z > 0) = 4;
Cov(X, Z | X > 0 Z > 0) = c.
Ile wynosi bezwarunkowa kowariancja Cov(X, Z)?
Zadanie 3
S1 to łączna wartość szkód z pierwszego portfela ryzyk, a S2 to łączna wartość szkód z drugiego portfela ryzyk.
Portfel pierwszy zawiera 300 niezależnych ryzyk, w tym:
Liczba ryzyk
P-stwo zajścia szkody
Oczekiwana wartość szkody Wariancja wartości szkody
100
0,1
1
4
100
0,1
2
4
100
0,1
3
4
Portfel drugi zawiera 300 niezależnych identycznych ryzyk: z p-stwem zajścia szkody równym 0,1, oczekiwaną
wartością szkody równą 2 i wariancją wartości szkody równą 14/3. Obliczyć różnicę Var(S2)-Var(S1).
Zadanie 4
Posiadacze polis w Zakładzie Ubezpieczeń prowadzącym ubezpieczenia samochodowe AC dzielą się na dwie
grupy:
Grupa
k
Liczność
grupy
P-stwo zajścia
szkody
Rozkład straty, Bk, opisany przez
parametry obciętego rozkładu
wykładniczego
L
1
2
500
1000
0,2
0,1
1
2
2.5
5.0
Rozkład obcięty wykładniczy zdefiniowany jest przez dystrybuantę
0
F ( x)
1 e
1
x
x
0
0
x
x
L
L.
Obliczyć , dla której prawdopodobieństwo zdarzenia, że całkowite żądania przewyższą zebrane składki,
wynosić będzie 0,05. Zakładamy, że dodatkowe bezpieczeństwo jest takie same dla obu klas.
Zadanie 5
Zakład Ubezpieczeń ma 16 000 polis na życie (wypłata w wypadku śmierci) na okres roku na następujące sumy:
Suma ubezp.
bk
Liczba polis
nk
10 000
20 000
30 000
50 000
100 000
8000
3500
2500
1500
500
Prawdopodobieństwo żądania (śmierci) dla każdej osoby jest q = 0,02 i te żądania są wzajemnie niezależne.
Firma chce ustalić limit udziału własnego. Dla każdego życia limit udziału własnego jest wielkością poniżej
której firma cedująca („nasza”) pokrywa żądania, a powyżej reasekuruje w firmie reasekurującej. Na
przykład, jeżeli limit udziału własnego wynosi 20 000, zakład zachowuje część sumy ubezpieczeniowej (do
20 000), natomiast nadwyżkę świadczenia bk ponad 20 000 dla 4500 osób ceduje na reasekuratora. Nasz
zakład chce zminimalizować prawdopodobieństwo tego, że zachowane żądania + suma, którą płaci za
reasekurację, przekroczy 8 250 000. Reasekuracja jest dostępna za 0,025 na jednostkę pokrycia. Znaleźć
limit udziału własnego minimalizującego prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia (założyć, że limit
może przyjmować wartości pomiędzy 30 000 a 50 000).
Zadanie 6
n
Niech Xi oznacza wypłatę ubezpieczyciela z i-tego ryzyka, a
X i łączną wartość wypłat z portfela
S
i 1
składającego się z n niezależnych ryzyk. Wiadomo, że jeśli rozkład S daje się dobrze aproksymować rozkładem
normalnym,
to
łączna
składka
dana
wzorem:
(S )
E ( S ) 1,645
VAR( S )
zapewnia,
iż
prawdopodobieństwo poniesienia straty wynosi 0,05. Załóżmy, iż wczoraj sprzedaliśmy pokrycie wszystkich
ryzyk składających się na portfel S w zamian za składkę w wysokości zgodnej z powyższym wzorem. Dziś
zgłosiło się do ubezpieczyciela ryzyko (n+1)-sze. Zakładamy, iż jest ono niezależne od innych ryzyk, oraz po
dołączeniu tego ryzyka do portfela aproksymacja rozkładem normalnym jest nadal uprawniona (w szczególności
zakładamy, iż wariancja dodatkowego ryzyka jest mała w stosunku do wariancji całego portfela). Chcemy, aby
nadal spełniony był ten sam postulat bezpieczeństwa, a więc aby: P(S X n 1
(S )
( X n 1 )) 0,05.
Która z poniższych formuł składki za ryzyko (n+1)-sze najlepiej przybliża spełnienie tego postulatu ?
a)
(X n 1)
E( X n 1 ) 1,645
VAR( X n 1 )
b)
(X n 1)
c)
(X n 1)
d)
(X n 1)
e)
(X n 1)
E( X n 1 ) 1,645 VAR( X n 1 )
VAR( X n 1 )
E ( X n 1 ) 1,645
VAR( S )
VAR( X n 1 )
E ( X n 1 ) 1,645 2
VAR( S )
VAR( X n 1 )
E ( X n 1 ) 1,645
2 VAR( S )
Zadanie 7.
Korzystając z przykładu podanego na wykładzie pokazać, że składka H2 (S) nie spełnia Własności 4’.
Zadanie 8.
Pokazać, że składka H3 (S) nie spełnia Własności 1 (Wsk.: Rozważyć n identycznych ryzyk X / n).
Zadanie 9.
Sprawdzić czy składka określona wzorem H 4 ( S )
ES
'
Var S
'
Var S spełnia Własności 1-4’.