Gdzie tu problem? Dobry wynik i błędne rozwiązanie
Transkrypt
Gdzie tu problem? Dobry wynik i błędne rozwiązanie
Gdzie tu problem? Dobry wynik i błędne rozwiązanie? Nadspodziewanie często zdarza się, ze uczeń rozwiązuje zadanie, otrzymuje dobry wynik, ale jego rozwiązanie zawiera błędy w rozumowaniu. 1. Najczęściej ma to miejsce wtedy, gdy przeoczył on w czasie rozwiązywania zadania szczególne przypadki, które nie mają rozwiązań. Przykład: Dla jakich wartości parametru m funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie? f ( x ) = ( 4 − m )x 2 − 3x + m + 4 Często rozwiązanie wygląda tak: Wykresem funkcji musi być parabola: - z ramionami skierowanymi w górę, czyli 4 − m > 0 , - leżąca nad osią OX, czyli ∆ < 0 (brak pierwiastków). Rozwiązując układ równań: 4 − m > 0 ∆ < 0 m < 4 ⇔ 9 − 4(m + 4)(4 − m ) < 0 55 55 otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ − , , 2 2 i jest to rzeczywiście rozwiązanie zadania. Zwróćmy jednak uwagę, że nie została rozpatrzona jedna ewentualność: gdy m = 4 , to funkcja f(x) nie jest funkcją kwadratową i jej wykresem nie jest parabola. Należy sprawdzić, czy wtedy nie zachodzi taki przypadek, że przyjmuje ona tylko wartości dodatnie. W tym zadaniu dla m = 4 funkcja ma postać: f ( x) = −3x + 8 . Funkcja liniowa o takim równaniu przyjmuje wartości różnych znaków, więc m = 4 nie jest rozwiązaniem zadania. Gdyby jednak po wstawieniu za m liczby 4 funkcja przyjmowała postać np. f ( x) = 7 , to m = 4 byłoby rozwiązaniem zadania. Tak, czy inaczej, ten przypadek należy w rozwiązaniu zadania rozpatrzyć. 2. Dobry wynik, a złe rozumowanie spotykamy także wtedy, gdy uczeń pominął/przeoczył takie rozwiązania, które w oparciu o temat zadania byłyby odrzucone. Przykład 1: Wiadomo, że cos x = − 5 π i x ∈ , π . Oblicz sin x . 13 2 Rozwiązanie: sin 2 x + cos 2 x = 1 i cos x = − 5 13 2 144 5 sin x = 1 − − = 169 13 12 sin x = 13 2 Komentarz: Wynik sin x = jest dobry, ale równanie sin 2 x = 144 169 ma dwa rozwiązania: 12 12 lub sin x = − . 13 13 π Wartość ujemną należy odrzucić, bo w przedziale , π funkcja y = sin x przyjmuje 2 wartości dodatnie. Dlatego też należy napisać obydwa rozwiązania, a następnie uzasadnić, dlaczego 12 . rozwiązaniem jest tylko sin x = 13 Przykład 2: Rozwiąż nierówność: x2 − 3 < x + 1 Rozwiązanie: Wyznaczenie dziedziny nierówności: x ∈ − ∞ , − 3 ∪ ( x2 − 3 < x + 1 3 , ∞) . 2 x 2 − 3 < x 2 + 2x + 1 2x < −2 x > −1 Po uwzględnieniu dziedziny nierówności otrzymujemy x ∈ 3 , ∞) . Komentarz: Rzeczywiście rozwiązaniem zadania jest podany zbiór. Wykonano jednak niepoprawne działanie: podniesiono do kwadratu obydwie strony nierówności w sytuacji, gdy mogą one być różnych znaków, co ma miejsce dla x∈ − ∞ , − 3 . ( Dlaczego tak nie można robić wyjaśniłem w poradzie o rozwiązywaniu nierówności. ( Przypadkowo zbiór − ∞ , − 3 , który powinien zostać odrzucony z innych powodów, nie przecina się ze zbiorem rozwiązań nierówności – stąd poprawny wynik. Nierówność powinna być rozwiązana w następujący sposób: x2 − 3 < x + 1 ( Wyznaczenie dziedziny nierówności: x ∈ − ∞ , − 3 ∪ ( 3 , ∞) . a) dla x ∈ − ∞ , − 3 prawa strona nierówności jest ujemna, więc nie jest większa od lewej strony – nierówność jest sprzeczna. b) dla x ∈ 3 , ∞ ) obydwie strony nierówności są nieujemne – można podnieść nierówność obustronnie do kwadratu, gdyż funkcja y = x 2 , x ≥ 0 jest rosnąca. ( x − 3 ) < (x + 1) 2 x∈ 2 2 - z czego otrzymujemy x > −1 i po uwzględnieniu warunku 3 , ∞ ) mamy rozwiązanie punktu b: x ∈ 3 , ∞) . Podsumowując a) oraz b) mamy rozwiązanie nierówności: x ∈ 3 , ∞) . 3. Ostatnia sytuacja, jaką napotkałem, i która „podpada” pod tytuł porady: „Dobry wynik i złe rozwiązanie”, to zupełnie nonsensowne, wręcz kuriozalne obliczenia prowadzące do dobrego wyniku. Spotkałem ich w ciągu 20 lat pracy w szkole nie więcej niż kilkanaście. Tego przypadku omawiać nie będziemy. Niestety nie zgromadziłem archiwaliów na ten temat. Trochę żałuję, bo byłoby z czego się pośmiać przed stresem maturalnym…