I Definicja funkcji II Definicja zbioru wartości funkcji III Definicja

Funkcja. Podstawowe definicje dotyczące funkcji.
I Definicja funkcji
Niech A , B⊂ X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór
B nazywamy dowolny podzbiór F ⊂A× B taki, że dla każdego a ∈A istnieje dokładnie
jedno b∈ B dla którego (a ,b)∈F. Wtedy piszemy F : A → B. Funkcję nazywamy też
przekształceniem lub przyporządkowaniem.
Elementy a ∈A nazywamy argumentami funkcji F , zbiór
F. Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F.
A zaś-dziedziną funkcji
Jeśli a ∈ A , to jedyny element b∈ B taki, że (a ,b)∈ F nazywamy wartością funkcji
F w punkcie a i piszemy b=F (a).
Przykład 1.
x 2+2
dla D : x ∈(−∞ ; 0)∪(0 ;∞)
x
Jest to funkcja, ponieważ ∀ x∈ D istnieje dokładnie jeden
y=
y.
II Definicja zbioru wartości funkcji
Jeśli f : X →Y to element zbioru Y przyporządkowany przez przekształcenie
nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x lub obrazem elementu x przy
przekształceniu f i oznaczamy f (x ). Definicję tę można zapisać formalnie:
ImF ={F ( x) : x ∈ A}={y ∈B :∃ x∈ A y=F (x )}
f
Przykład 2.
f :ℝ →ℝ ,
2
f (x )=x ,
Dziedziną jest ℝ , przeciwdziedziną ℝ , a zbiorem wartości są liczby nieujemne. Przykład ten
pokazuje jednoznacznie, że przeciwdziedzina nie jest synonimem wyrazu zbiór wartości.
III Definicja funkcji różnowartościowej
Mówimy, że funkcja f : X →Y jest różnowartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych
a ,b∈ X , a≠b zachodzi f (a )≠ f (b) .
Przykład 3.
f (x )=e x , jest różnowartościowa, ponieważ ∀ y ∈(0 ; ∞) istnieje dokładnie jeden
x
Przykład 4.
f (x )=x 2 , nie jest różnowartościowa, bo ∃( x =−1∧x=1) takie, że
f (−1)= f ( 1).
IV Definicja obrazu i przeciwobrazu
Niech F : A → B. Jeśli C⊂ A , to zbiór {b∈B :∃ a∈C b= F ( a)} nazywamy obrazem
zbioru C i oznaczamy F (C) . Przeciwobrazem zbioru D⊂B nazywamy zbiór
{a∈ A: F (a )∈ D} i oznaczamy F −1( D) .
Przykład 5.
Niech f ( x )=x 2 . Znajdź obraz i przeciwobraz podanych zbiorów.
A=[−1 ; 2] , B=[−1 ; 1]
F (A)=[0 ; 4] , F −1 (B)=[−1 ;1] . Zobaczmy to na wykresie:
V Definicja złożenia funkcji
Jeśli f : X →Y oraz g : Z → W są funkcjami oraz f ( x )⊂Z , to funkcję h : X →W
określoną wzorem h ( x)=g ( f ( x)) dla x ∈X nazywamy złożeniem funkcji f oraz g i
oznaczamy g ∘ f. Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zaś zewnętrzną
złożenia g ∘ f.
VI Definicja funkcji odwrotnej
Mówimy, że funkcja f : X →Y jest odwracalna, gdy istnieje funkcja g :Y → X taka, że
dla każdego ( x , y )∈ X ×Y zachodzi y= f ( x )⇔ x=g ( y ). Wtedy funkcję g nazywamy
odwrotną do f i oznaczamy f −1 .
Twierdzenie 1.
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
Przykład 6.
y=10 x
log ( y )=log(10 x )
log ( y )=xlog (10)
x=log ( y) czyli f −1 ( x)=log ( y ).
Przykład 7.
D : x ∈ℝ ,
f (x )=4x2 −8
Funkcja ta nie jest różnowartościowa na ℝ , nie ma więc funkcji odwrotnej.
VII Definicja funkcji monotonicznej
Funkcją monotoniczną nazywamy funkcję, która zachowuje określony rodzaj porządku
zbiorów dla dowolnych a ,b.
a<b ⇒ f (a)< f (b)
• rosnąca
a<b ⇒ f (a)> f (b)
• malejąca
f (a )= f (b)
• stała
a<b
⇒ f (a)⩾ f (b)
• nierosnąca
a<b ⇒ f (a)⩽ f (b)
• niemalejąca