obliczenia elektromechanicznych wartości własnych systemu

ELEKTRYKA
Zeszyt 4 (236)
2015
Rok LXI
Piotr PRUSKI, Stefan PASZEK
Instytut Elektrotechniki i Informatyki. Politechnika Śląska w Gliwicach
OBLICZENIA ELEKTROMECHANICZNYCH WARTOŚCI
WŁASNYCH SYSTEMU ELEKTROENERGETYCZNEGO
NA PODSTAWIE PRZEBIEGÓW PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ
PRZY ZAKŁÓCENIU SKOKOWYM
Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki obliczeń wartości własnych macierzy stanu systemu elektroenergetycznego (SEE) związanych ze zjawiskami elektromechanicznymi na podstawie analizy przebiegów nieustalonych prędkości kątowej generatorów zespołów wytwórczych SEE przy zakłóceniu w postaci skokowej zmiany napięcia
zadanego regulatora napięcia jednego z zespołów. Wykorzystana metoda obliczeń wartości własnych polega na aproksymacji przebiegów prędkości kątowej za pomocą przebiegów stanowiących superpozycję składowych modalnych o parametrach zależnych od poszukiwanych wartości własnych.
Słowa kluczowe: system elektroenergetyczny, wartości własne związane ze zjawiskami elektromechanicznymi, stabilność kątowa, stany nieustalone
CALCULATIONS OF POWER SYSTEM ELECTROMECHANICAL
EIGENVALUES BASED ON ANGULAR SPEED WAVEFORMS
AT A STEP DISTURBANCE
Summary. Rresults of calculations of power system (PS) state matrix eigenvalues
associated with electromechanical phenomena are presented in the paper. Calculations are
based on the transient waveforms of the angular speed of PS generating unit generators
resulting from disturbance in the form of a step change in the voltage regulator reference
voltage of one of the generating units. The method used to calculate the eigenvalues consists of approximation of the angular speed waveforms with the help of waveforms resulting from superposition of modal components whose parameters depend on the sought eigenvalues.
Keywords: power system, eigenvalues associated with electromechanical phenomena, angular stability, transient states
20
P. Pruski, S. Paszek
1. WSTĘP
Jednym z najważniejszych warunków koniecznych do prawidłowej pracy systemu elektroenergetycznego (SEE) jest zachowanie jego stabilności kątowej. Jej ocenę można przeprowadzić przy wykorzystaniu wskaźników stabilności kątowej [6] obliczanych na podstawie
wartości własnych macierzy stanu SEE, związanych ze zjawiskami elektromechanicznymi,
zwanych w artykule elektromechanicznymi wartościami własnymi. Elektromechaniczne wartości własne można obliczyć na podstawie macierzy stanu zlinearyzowanego modelu matematycznego SEE, jednak wówczas wyniki obliczeń zależą pośrednio od przyjętych modeli poszczególnych elementów SEE i ich parametrów. Wykorzystywane w obliczeniach wartości
parametrów tych modeli często nie są wystarczająco dokładne i wiarygodne [1]. Elektromechaniczne wartości własne można również obliczyć z dobrą dokładnością na podstawie analizy rzeczywistych przebiegów nieustalonych, pojawiających się w SEE po różnych zakłóceniach [8, 9, 10]. W tym przypadku na wyniki obliczeń nie ma wpływu przyjęty model SEE
i jego parametry, tylko rzeczywisty, aktualny stan pracy SEE [9].
Celem niniejszej pracy jest analiza dokładności obliczeń elektromechanicznych wartości
własnych na podstawie przebiegów zakłóceniowych prędkości kątowej generatorów zespołów
wytwórczych SEE. Wzięto pod uwagę przebiegi występujące po wprowadzeniu zakłócenia
skokowego do układu regulacji napięcia jednego z zespołów wytwórczych.
2. ZLINEARYZOWANY MODEL SEE
Model SEE zlinearyzowany w ustalonym punkcie pracy opisany jest równaniem stanu
i równaniem wyjścia [5, 8, 9]:
(1)
x  Ax  Bu,
Δy  Cx  Du,
(2)
gdzie: Δx, Δu, Δy – odchyłki od wartości ustalonych wektorów: zmiennych stanu, wymuszeń
i zmiennych wyjściowych, A – macierz stanu. Elementy macierzy A, B, C i D z równania
stanu (1) i równania wyjścia (2) SEE są obliczane dla ustalonego stanu pracy [8, 9].
Przebiegi wielkości wyjściowych zlinearyzowanego modelu SEE można obliczyć na
podstawie wartości własnych i wektorów własnych macierzy stanu A. Przebieg danej wielkości wyjściowej stanowi superpozycję składowych modalnych zależnych od wartości własnych
i wektorów własnych macierzy A [8, 9]. Przy zakłóceniu w postaci skokowej zmiany j-tej
wielkości wymuszającej uj(t) = U1(t–t0) przebieg i-tej wielkości wyjściowej (przy D = 0
i założeniu występowania tylko jednokrotnych wartości własnych) ma postać [9]:
Obliczenia elektromechanicznych wartości...
n
21


yi t    K ih e h t t0   1 U , t  t 0 ,
h1
(3)
przy czym:
K ih  Fih h 1 ,
Fih  CiVhWhT B j ,
(4)
gdzie: h  h  j h – h-ta wartość własna macierzy stanu; Fih – czynnik udziału h-tej wartości własnej w przebiegu i-tej wielkości wyjściowej; Ci – i-ty wiersz macierzy C; Vh, Wh – h-ty
prawostronny i lewostronny wektor własny macierzy stanu; Bj – j-ta kolumna macierzy B;
n – wymiar macierzy stanu A. Wartości h oraz Fih mogą być rzeczywiste lub zespolone [8].
2.1. Elektromechaniczne wartości własne SEE
W przypadku przebiegów zakłóceniowych prędkości kątowej generatorów zespołów wytwórczych SEE duże znaczenie mają składowe modalne związane z elektromechanicznymi
wartościami własnymi. Są to zespolone, parami sprzężone wartości własne, których części
urojone odpowiadają zwykle zakresowi częstotliwości (0,1÷2) Hz. Części urojone tych wartości własnych mieszczą się więc w przedziale ±(0,63÷12,6) rad/s [8, 9].
Te wartości własne w różny sposób ingerują w przebiegach zakłóceniowych poszczególnych zespołów wytwórczych, co związane jest z różnymi wartościami ich zespolonych, parami sprzężonych czynników udziału [8, 9].
3. METODA OBLICZEŃ ELEKTROMECHANICZNYCH WARTOŚCI WŁASNYCH
W obliczeniach wykorzystano przebiegi zakłóceniowe odchyłek prędkości kątowych Δω
zespołów wytwórczych, które pojawiają się po celowym wprowadzeniu małego zakłócenia do
układu regulacji napięcia jednego z zespołów. Przyjęto zakłócenie w postaci skokowej zmiany w przebiegu napięcia zadanego regulatora napięcia Vref w jednym z zespołów wytwórczych [9].
Wykorzystana w badaniach metoda obliczeń elektromechanicznych wartości własnych
polega na aproksymacji przebiegów zakłóceniowych prędkości kątowej poszczególnych zespołów wytwórczych za pomocą wyrażenia (3). Wartości własne i ich czynniki udziału są
nieznanymi parametrami tej aproksymacji. Aproksymacja przebiegów polega na iteracyjnym
doborze tych parametrów, tak aby zminimalizować wartość funkcji celu, zdefiniowanej jako
błąd średniokwadratowy εw, występujący między przebiegiem aproksymowanym a aproksymującym:
22
P. Pruski, S. Paszek
 w  λ,K    k ( m)  k (a )  λ,K 2 ,
N
(5)
k 1
gdzie: λ – wektor wartości własnych, K – wektor czynników udziału, Δω – przebieg czasowy
odchyłki prędkości kątowej, k – numery próbek przebiegów, N – liczba próbek przebiegów,
indeks „m” oznacza przebieg aproksymowany, a indeks „a” – przebieg aproksymujący, obliczony na podstawie wartości własnych i ich czynników udziału.
Z przeprowadzonych badań wynika, że w przebiegach odchyłek prędkości kątowej Δω
ingerują w znaczący sposób, oprócz elektromechanicznych wartości własnych, także inne
wartości własne. W celu umożliwienia poprawnej aproksymacji przebiegu Δω należy w przypadku zakłócenia skokowego uwzględnić dwie zastępcze aperiodyczne składowe modalne,
które odwzorowują wpływ składowych modalnych niezwiązanych z elektromechanicznymi
wartościami własnymi.
Pomiary przebiegów Δω są możliwe przy użyciu aparatury opracowanej w Instytucie
Elektrotechniki i Informatyki Wydziału Elektrycznego Politechniki Śląskiej [4].
Z powodu występowania dużej ilości minimów lokalnych funkcji celu, w których algorytm optymalizacyjny może utknąć, proces aproksymacji przeprowadzano wielokrotnie na
podstawie tego samego przebiegu prędkości kątowej. Odrzucano wyniki o wartościach funkcji celu większych niż pewna przyjęta wartość graniczna. Za wynik końcowy obliczeń części
rzeczywistych i części urojonych poszczególnych wartości własnych przyjęto średnie arytmetyczne z wyników nieodrzuconych w kolejnych obliczeniach [8, 9].
4. PRZYKŁADOWE OBLICZENIA
L5
L13
L3
L1
Przykładowe obliczenia przeprowadzono dla 7-maszynowego testowego SEE CIGRE
przedstawionego na rys. 1. Analizowano przebiegi pojawiające się po wprowadzeniu zakłócenia skokowego w zespole G4, o wysokości ΔVref = –5% Vref0 (Vref0 oznacza wartość początkową napięcia zadanego regulatora napięcia).
G5
Model SEE opracowano w środoG6
L4
5
L2
6
9
wisku Matlab-Simulink.
L1
0
7
W przeprowadzonych obliczeniach
G7
L6
8
wykorzystano modele: generatora synL1
2
4
1
2
chronicznego GENROU z nieliniową
L1
L9
10
1
L7
3
charakterystyką magnesowania [2, 5, 7],
L8
G4
G2
G1
G3
statycznego układu wzbudzenia, pracującego w Krajowym Systemie ElektroeRys. 1. Analizowany 7-maszynowy SEE CIGRE
Fig. 1. The analysed 7 – machine PS CIGRE
nergetycznym [5], turbiny parowej
IEEEG1 [7] i stabilizatora systemowego PSS3B [5, 7].
Obliczenia elektromechanicznych wartości...
23
W modelu SEE uwzględniono oddziaływanie centralnego regulatora częstotliwości (CRf)
[3], którego model przedstawiono na rys. 2. Sygnałem wejściowym tego modelu jest średnia
arytmetyczna odchyłek od wartości znamionowych prędkości kątowych poszczególnych zespołów wytwórczych (za blokiem „CRf_mean”). Sygnał ten w bloku „CRf_kI” jest mnożony
przez –1 oraz współczynnik wzmocnienia kI. Po scałkowaniu tego sygnału w bloku
CRf_Integrator otrzymuje się sygnał wyjściowy, który przesyłany jest do regulatora turbiny
zespołu G4 i dodawany do wartości zadanej mocy turbiny.
[W1 _ delta _ w]
[W2 _ delta _ w]
163
delta _ w_ mean
162
dPo
[W3 _ delta _ w]
[W4 _ delta _ w]
1 /7
CRf _ mean
[W5 _ delta _ w]
1
s
-CRf _ k_I
CRf _ kI
[W4 _ dPo ]
CRf _ Integrator
[W6 _ delta _ w]
[W7 _ delta _ w]
Rys. 2. Schemat blokowy modelu centralnego regulatora częstotliwości
Fig. 2. Block diagram of the central frequency regulator
Na rys. 3 przedstawiono przykładowe przebiegi mocy chwilowej P oraz odchyłki prędkości kątowej Δω zespołu G1 dla trzech różnych wartości współczynnika kI. Wartość kI = 0
oznacza wyłączenie CRf.
152
kI = 0
150
kI = 5
148
1
kI = 10
146
144
142
0
2
1,2
b)
1, rad/s
P1, MW
a)
4
6
t, s
8
10
0,8
0,6
0,4
kI = 0
0,2
kI = 5
0
0
kI = 10
2
4
6
8
10
t, s
Rys. 3. Przykładowe przebiegi mocy chwilowej (a) oraz odchyłki prędkości kątowej (b) zespołu G1
Fig. 3. Exemplary waveforms of instantaneous power (a) and angular speed deviation (b) of unit G1
Z rys. 3 wynika, że przy kI = 0 wartości ustalone przebiegów P i Δω po zakłóceniu różnią
się od ich wartości początkowych. Dla kI > 0 wraz ze wzrostem kI maleje czas ustalania się
tych przebiegów do ich wartości początkowych. Do dalszej analizy wybrano wartość współczynnika kI = 10.
Wartości własne (w tym elektromechaniczne wartości własne) macierzy stanu SEE można obliczyć bezpośrednio na podstawie modelu i parametrów SEE w programie Matlab-
24
P. Pruski, S. Paszek
Simulink. Obliczone w ten sposób elektromechaniczne wartości własne są nazywane w artykule oryginalnymi wartościami własnymi. Porównanie wartości własnych obliczonych na
podstawie minimalizacji funkcji celu (5) i oryginalnych wartości własnych przyjęto za miarę
dokładności obliczeń [8, 9]. W tabeli 1 zestawiono oryginalne wartości własne analizowanego
SEE CIGRE dla różnych wartości współczynnika kI. Pogrubiono wartości własne odpowiadające uwzględnionej w dalszej analizie wartości współczynnika kI = 10, dla której uzyskano
zadowalający czas ustalania się częstotliwości.
Tabela 1
Oryginalne wartości własne analizowanego SEE CIGRE
dla różnych wartości współczynnika kI
kI
0
5
10
λ1, 1/s
λ2, 1/s
λ3, 1/s
λ4, 1/s
λ5, 1/s
λ6, 1/s
-0,8805±j10,4425
-0,8262±j10,6203
-0,7632±j9,6686
-0,5273±j8,7481
-0,4165±j7,8724
-0,1887±j6,5420
-0,8784±j10,4437
-0,8293±j10,6192
-0,7630±j9,6686
-0,5274±j8,7481
-0,4165±j7,8724
-0,1887±j6,5421
-0,8763±j10,4448
-0,8324±j10,6182
-0,7627±j9,6686
-0,5274±j8,7481
-0,4165±j7,8724
-0,1888±j6,5421
Z tab. 1 wynika, że wartość współczynnika kI ma tylko niewielki wpływ na elektromechaniczne wartości własne.
4.1. Obliczenia elektromechanicznych wartości własnych
W tabeli 2 zestawiono błędy bezwzględne Δλ obliczeń elektromechanicznych wartości
własnych na podstawie przebiegów zakłóceniowych odchyłek prędkości kątowych Δω poszczególnych zespołów wytwórczych SEE CIGRE. W tabeli zestawiono także średnie arytmetyczne błędów uzyskanych wyników obliczeń poszczególnych wartości własnych na podstawie przebiegów kolejnych zespołów. Średnie te nie uwzględniają wyników (wyróżnionych
szarym tłem) o częściach rzeczywistych lub urojonych znacząco różniących się od pozostałych wyników obliczeń odpowiednich wartości własnych.
Tabela 2
Błędy bezwzględne obliczeń wartości własnych na podstawie przebiegów Δω
Zesp.
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
Średnia
Δλ1, 1/s
–
–
–
0,0703  j0,5372
-0,0857±j0,7264
-0,0550±j0,4136
–
-0,0235±j0,2009
Δλ2, 1/s
Δλ3, 1/s
Δλ4, 1/s
Δλ5, 1/s
Δλ6, 1/s
–
–
0,0455 j0,0753
–
-0,0164 j0,0033
0,2829  j0,0692 0,3118  j3,8641 -0,0348  j0,2780
–
-0,0129 j0,0612
0,5046  j2,5221 0,2755  j0,3413
–
-0,0206 j0,0029 -0,0157 j0,1002
-0,1066  j0,0712 0,0623  j0,2781
–
0,0874  j0,2137 0,0253 j0,1113
–
-0,0599 j0,1207
–
0,0612  j0,0057 -0,0235 j0,1121
-0,0211  j0,1488 -0,0239 j0,1346
–
-0,0007 j0,1343 -0,0274±j0,0418
–
-0,0338 j0,1724
–
0,0228  j0,1292 0,0304 j0,0789
-0,0639  j0,1100 -0,0138 j0,1764 0,0053 j0,1767 0,0300  j0,0972 -0,0057 j0,0607
Obliczenia elektromechanicznych wartości...
25
Z tabeli 2 wynika, że w większości przypadków dokładność obliczeń elektromechanicznych wartości własnych była zadowalająca. Błędy bezwzględne obliczeń na podstawie poszczególnych przebiegów na ogół były większe dla wartości własnych, odpowiadających silniej tłumionym składowym modalnym, mających małe znaczenie dla stabilności kątowej
SEE. Uśrednianie wyników obliczeń wartości własnych na podstawie przebiegów różnych
zespołów w większości przypadków poprawiło dokładność obliczeń.
Przykładowo, na rys. 4 przedstawiono przebiegi zakłóceniowe prędkości kątowej Δω zespołów G1 i G7 oraz pasma przebiegów aproksymujących, odpowiadających nieodrzuconym
wynikom obliczeń. Pasmo to określa zakres zmian prędkości kątowej, w którym zawierają się
wszystkie przebiegi aproksymujące, odpowiadające poszczególnym wynikom obliczeń.
0,5
a)
przebiegi aproksymujące
przebieg aproksymowany
0,3
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
0
przebiegi aproksymujące
przebieg aproksymowany
0,4
, rad/s
, rad/s
0,4
b)
0
2
4
6
t, s
8
10
0
2
4
6
8
10
t, s
Rys. 4. Przykładowe przebiegi odchyłki prędkości kątowej zespołów G1 (a) i G7 (b)
Fig. 4. Exemplary waveforms angular speed deviation of units G1 (a) and G7 (b)
5. PODSUMOWANIE
Na postawie przeprowadzonych badań sformułowano następujące wnioski:

Możliwe jest wyznaczenie z dobrą dokładnością elektromechanicznych wartości własnych na podstawie analizy przebiegów prędkości kątowej występujących po wprowadzeniu zakłócenia skokowego w układzie regulacji napięcia jednego z zespołów wytwórczych. Osiągnięto dobrą dokładność obliczeń na podstawie analizy większości przebiegów, w których wartości własne miały dostatecznie duże moduły czynników udziału.

Uśrednianie wyników obliczeń poszczególnych wartości własnych na podstawie analizy
przebiegów różnych zespołów wytwórczych w wielu przypadkach pozwoliło na zwiększenie dokładności obliczeń.

Zastosowanie centralnego regulatora częstotliwości pozwala na uzyskanie znamionowych
prędkości kątowych wszystkich zespołów wytwórczych w stanie ustalonym po zakłóceniu skokowym. Przy braku centralnej regulacji częstotliwości wartości ustalone prędkości
kątowych zespołów po zakłóceniu różnią się od ich wartości znamionowych.
26
P. Pruski, S. Paszek
BIBLIOGRAFIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cetinkaya H.B., Ozturk S., Alboyaci B.: Eigenvalues Obtained with Two Simulation
Packages (SIMPOW and PSAT) and Effects of Machine Parameters on Eigenvalues.
Electrotechnical Conference, 2004. MELECON 2004. Proceedings of the 12th IEEE
Mediterranean, 2004, Vol. 3, p. 943-946.
de Mello F.P., Hannett L.H.: Representation of Saturation in Synchronous Machines.
“IEEE Transactions on Power Systems” 1986, Vol. PWRS-1, November, No. 4, p. 8-18.
Machowski J.: Regulacja i stabilność systemu elektroenergetycznego. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2007.
Nocoń A.: Prosta metoda pomiaru kąta obciążenia generatora synchronicznego. XXXV
Międzynarodowa Konferencja z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwodów, IC-SPETO
2013, Gliwice – Ustroń 23-26.05.2013, s. 119-120.
Paszek S.: Wybrane metody oceny i poprawy stabilności kątowej systemu elektroenergetycznego. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2012.
Paszek S., Nocoń A.: The method for determining angular stability factors based on
power waveforms. AT&P Journal Plus2, Power System Modeling and Control, Bratislava, Slovak Republic 2008, p. 71-74.
Power Technologies, a Division of S&W Consultants Inc.: Program PSS/E Application
Guide. Siemens Power Technologies Inc., 2002.
Pruski P., Paszek S.: Analiza dokładności obliczeń elektromechanicznych wartości własnych na podstawie różnych przebiegów zakłóceniowych w systemie elektroenergetycznym. Prace Naukowe Politechniki Śląskiej „Elektryka”, Gliwice 2013, zeszyt 3,
s. 15-22.
9. Pruski P., Paszek S.: Obliczenia elektromechanicznych wartości własnych na podstawie
symulacyjnych i pomiarowych przebiegów mocy chwilowej zespołów wytwórczych.
Prace Naukowe Politechniki Śląskiej „Elektryka”, Gliwice 2012, zeszyt 2, s. 71-88.
10. Saitoh H., Miura K., Ishioka O., Sato H., Toyoda J., On-line modal analysis based on
synchronized measurement technology. Proc. of International Conference on Power System Technology, 2002, p. 817-822.
8.
Dr inż. Piotr PRUSKI, Prof. dr hab. inż. Stefan PASZEK
Politechnika Śląska
Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
Tel. (32) 237-1909; e-mail: [email protected]
Tel. (32) 237-1229; e-mail: [email protected]