Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT Lista 3 – 5

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT
Lista 3 – 5 października 2012
temat: wielomiany i ich pierwiastki
1. Bez wykonywania dzielenia, sprawdź przy który z wielomianów x + 1, x − 1, x + i dzieli
się wielomian x3 + 1. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź?
2. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x−2 jest równa 5, a reszta z dzielenia
przez dwumian x − 3 jest równa 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez
(x − 2)(x − 3).
3. Wyznacz krotność pierwiastka x0 wielomianu w(x):
w(x) = 3x5 + 2x4 + x3 − 10x − 8,
x0 = −1.
4. Niech x0 = 4 oraz w(x) = x4 − 3x3 + 6x2 − 10x + 16. Zastosuj schemat Hornera do
obliczenia w(x0 ) oraz ilorazu z dzielenia wielomianu w(x) przez x − x0 .
5. Wyznacz wielomian najmniejszego stopnia o współczynnikach zespolonych mający podwójny pierwiastek i oraz pierwiastek pojedyńczy −1 − i.
6. Wyznacz wielomian najmniejszego stopnia o współczynnikach rzeczywistych mający:
podwójny pierwiastek i oraz pojedyńczy pierwiastek −1 − i.
7. W ciele liczb zespolonych rozwiąż następujące równania:
• z 2 + 4z + 5 = 0,
• z 4 + 2z 2 − 3 = 0.
8. Znając pierwiastek x1 = −3 wielomianu w(x) = x3 + 7x2 + 20x + 24, wyznacz pozostałe jego pierwiastki oraz zapisz wielomian w(x) w postaci iloczynu wielomianów
rzeczywistych stopnia 1 lub 2.
9. Wyprowadź wzory Viéte’a dla wielomianu stopnia 3, czyli wyraź współczynniki tego
wielomianu za pomocą jego pierwiastków. Zastosuj te wzory do obliczenia sumy i iloczynu wszystkich pierwiastków stopnia 3 z jedynki. Uwaga. Rozważ wielomian x3 − 1.
10. Rozłóż wielomian x4 +16 na iloczyn wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych. Wskazówka. Rozważ najpierw wielomian t2 + 16 i następnie podstaw t = x2 (zob. też zadanie
15 z listy 2).
11. (∗) Niech z i w będą liczami zespolonymi. Niech
√
n
z = {z1 , . . . , zn }
oznacza zbiór wszystkich pierwiastków n-tego stopnia liczby z. Wykaż, że
√
√
√
√
√
n
z̄ = {z̄1 , . . . , z̄n }, n z n w = z n w, n zw = u n w,
gdzie u jest jednym z pierwiastków n-tego stopnia liczby z. Uwaga. W treści zadania
√
zastosowano następujące oznaczenie: u n z = {uz1 , . . . , uzn }.
Krystyna Ziętak
1