Zestaw 5
Transkrypt
Zestaw 5
Ćwiczenia z Techniki analogowej Zestaw 5. Zad. 5.1. Obliczyć operatorowe funkcje immitancji (impedancji lub admitancji) dwójników, których schematy pokazano na rys. 5.1. C1 R1 C2 R1 R2 L L1 R1 = 1Ω, R2 = 2 Ω, C1 = 12 F, C2 = 1F, L = 1H. R2 L2 C R3 R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, R3 = 12 Ω, C = 13 F, L1 = 1H, L2 = 12 H. (a ) (b) Rys. 5.1. Wynik: a) Z (s) = 3s 3 + 5 s 2 + 5 s + 2 , 2 s ( s + 1) b) Y (s) = 3s 3 + 11s 2 + 23s + 12 . s ( 3s 2 + 17 s + 12 ) Zad. 5.2. Obliczyć wskazane operatorowe funkcje transmitancji układów, których schematy pokazano na rys. 5.2. C R1 L1 L2 i (t ) p ( t ) = u1( t ) u1( t ) R2 L u 2( t ) r ( t ) = u2 ( t ) H (s) = u (t ) U 2( s ) =? U1( s ) i1( t ) R2 u (t ) i2( t ) r (t ) = u (t ) H (s) = R1 I (s) =? U (s) C R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, C = 12 F, L = 2 H. (d ) Rys. 5.2. Wynik: s2 , 2s2 + 2s + 1 1 c) H ( s ) = 2 , s + 3,5s + 1 R2 b) H ( s ) = p ( t ) = i1( t ) r ( t ) = i2( t ) H (s) = R1 = 2 Ω, R2 = 1Ω, C1 = 1F, C2 = 12 F. (c) a) H ( s ) = L p (t ) = i (t ) C2 I (s) =? U (s) R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, L1 = 2 H, L2 = 1H. (b) R1 C1 r (t ) = i (t ) R2 H (s) = R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, C = 1F, L = 1H. (a ) i (t ) R1 p (t ) = u (t ) 1 , 2s + 7s + 2 s d) H ( s ) = 2 . 2 s + 5s + 4 2 I 2( s ) =? I1( s ) Zestaw 5 str. 2 Zad. 5.3. Wyznaczyć operatorową impedancję dwójnika, którego schemat pokazano na rys. 5.3. γ u (t ) R1 C2 R2 u (t ) C1 R3 L R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, R3 = 2Ω, L = 1H, C1 = 1F, C2 = F, γ = 3S. 1 2 Rys. 5.3. Wynik: Z ( s ) = 3s 3 + 11s 2 + 14s + 10 . 3s 3 + 8s 2 + 10s + 8 Zad. 5.4. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 5.4. Pobudzeniem jest napięcie u1( t ) , a reakcją — prąd i2( t ) . i (t ) R1 L i2( t ) R2 u1( t ) R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, L = 1H, C = 1F, ρ = 3 Ω. C ρ i (t ) H (s) = I2 ( s ) =? U1 ( s ) Rys. 5.4. Wynik: H ( s ) = 4s . s + 2s + 5 2 Zad. 5.5. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 5.5. Pobudzeniem jest napięcie u1( t ) , a reakcją — napięcie u2( t ) . Określić, dla jakich wartości α układ ten będzie BIBO stabilny. i (t ) u1( t ) C1 R1 R2 C2 α i (t ) u2( t ) R1 = 12 Ω, R2 = 1Ω, C1 = 1F, C2 = 2Ω. H (s) = Rys. 5.5. Wynik: H ( s ) = C1 sC2 ( R1 − α R2 ) + 1 − α (1 − 2α ) s + 1 − α . = s + 3 −α sC1C2 R1 + C2 + (1 − α ) C1 Układ będzie BIBO stabilny gdy α < 1 + C2 = 3. C1 U 2( s ) =? U 1( s ) Zestaw 5 str. 3 Zad. 5.6. Wyznaczyć operatorowe transmitancje napięciowe układów przedstawionych na rys. 5.6. Elementem aktywnym jest źródło napięciowe sterowane napięciem, o współczynniku sterowania β . Zbadać dla jakich wartości β układy te będą BIBO stabilne. R1 C1 C2 β u1( t ) R2 u2 ( t ) H (s) = U 2( s ) =? U1( s ) u2 ( t ) H (s) = U 2( s ) =? U1( s ) (a) R2 C2 R1 u1( t ) β C1 R3 (b) Rys. 5.6. Wynik: a) s 2C1C2 R1R2 H ( s) = β 2 . s C1C2 R1 R2 + s R1 ( C1 + C2 ) + (1 − β ) C2 R2 + 1 Układ BIBO stabilny gdy β < b) H ( s) = β C1R1 R1 + + 1. C2 R2 R2 sC2 R2 R3 . s C1C2 R1R2 R3 + s C1 R1 R2 + C2 R1R2 + C2 R2 R3 + (1 − β ) C2 R1 R3 + R1 + R2 2 Układ BIBO stabilny gdy β < C1 R2 R2 R2 + + + 1. C2 R3 R1 R3 Zad. 5.7. Reakcją układu SLS o zerowych warunkach początkowych na pobudzenie p ( t ) = 1 ( t ) jest 2 − t 2 2 r ( t ) = 1 − e 2 cos t + sin t 1 ( t ) . Obliczyć operatorową transmitancję tego układu. 2 2 Wynik: H (s) = 1 . s + 2 s +1 2 Zestaw 5 str. 4 Zad. 5.8. Do układu SLS, o zerowych warunkach początkowych, przyłożono pobudzenie p1( t ) = cos 2t1 ( t ) . Reakcja na to pobudzenie r1( t ) = − ( t − 1) e− t 1 ( t ) . Obliczyć: a) operatorową transmitancję tego układu H ( s ) , b) charakterystykę impulsową h ( t ) , c) reakcję na pobudzenie p2( t ) = 1 ( t ) . Wynik: a) H ( s ) = s2 + 4 , 2 ( s + 1) b) h ( t ) = δ ( t ) + ( 5t − 2 ) e −t 1 ( t ) , c) r2( t ) = 4 − ( 5t + 3 ) e − t 1 ( t ) . Zad. 5.9. Charakterystyka impulsowa układu SLS jest równa h ( t ) = e − t 1 ( t ) . Obliczyć reakcję tego obwodu na pobudzenia: a) p1( t ) = 2sin t 1 ( t ) , b) p2( t ) = 1 ( t ) − 1 ( t − 1) , c) p3( t ) = te− t 1 ( t ) . Wynik: a) r1( t ) = ( e − t + sin t − cos t ) 1 ( t ) , − t −1 b) r2( t ) = (1 − e− t ) 1 ( t ) − 1 − e ( ) 1 ( t − 1) , 1 c) r3( t ) = t 2 e− t 1 ( t ) . 2