Zadanie 17.3

Rozwiązać podaną belkę ukośną (sporządzić wykresy M, Q, N )
Uwaga: Narysowane tak jak poniżej obciążenie ciągłe, oznacza że na każdy z 4m rzutu
poziomego oddziałują 3kN.
3 kN/m
Obliczenie reakcji (przy podporze
przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje
poziomą i pionową, później okaże się że taka
droga nie będzie najwygodniejsza):
ΣM(A)=0 => 3·4·2-3 HB=0 => HB=8kN
ΣX=0 => HA-HB=0 => HA=8kN
ΣY=0 => -3·4+RA=0 => RA=12kN
Chcąc zredukować siły przekrojowe N, Q w
dowolnym układzie lokalnym, trzeba znaleźć
składowe równoległe i prostopadłe do osi
pręta pochodzące od sił pionowych i
poziomych
HB
3m
HA
α
RA
4m
sinα=3/5=0,6
cosα=4/5=0,8
HA cosα=6,4
HA sinα=4,8
RA sinα=7,2
α
RA=12
HA=8
RA cosα=9,6
RQ =4,8
α
Obok przedstawiono
składowe równoległe i
prostopadłe do osi
pręta pochodzące od
reakcji poziomej i
pionowej działające w
punkcie A.
Po zsumowaniu wektorów odpowiednio na kierunku
równoległym i prostopadłym do osi pręta otrzymano
siły które nazwano RN=13,6 kN oraz RQ=4,8 kN , a
działają one w punkcie A. Można było je otrzymać
od razu gdyby w punkcie A przyjęto je zamiast RA
oraz HA.
RN =13,6
α
3 kN/m
HB
η
3m
RN
α
RQ
Obliczenie reakcji (przy podporze
przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje
równoległą i prostopadłą do osi pręta):
ΣM(A)=0 => 3·4·2-3 HB=0 => HB=8kN
ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·4·2=0 => RQ=4,8kN
Ση=0 => RN -3·4 sinα-HB cosα=0 =>
RN=13,6kN
Ostatnie równanie to suma rzutów
wszystkich sił na kierunek równoległy do osi
pręta – nazwano go η
4m
3
Położenie układu lokalnego (klamerka)
można określić względem punktu A przy
pomocy współrzędnej x (równoległa do
rzutu poziomego osi pręta) albo przy
pomocy x1 (równoległa do osi pręta)
Q
N
x1
13,6
x1 =
x
4,8
x
cos α
Równania opisujące funkcje sił przekrojowych wyrażone przy pomocy współrzędnej x:
N(x)= -13,6+3 x sinα = -13,6+1,8 x
Q(x)= 4,8-3 x cosα = 4,8-2,4 x
x
M(x)= 4,8
-3 x x/2 = 6 x-1,5 x2
cos α
∂M ( x )
nie jest taka sama jak funkcja Q(x). Powodem
Należy zwrócić uwagę że pochodna
∂x
tego jest to że współrzędna x nie jest równoległa do osi pręta. Jeżeli funkcje sił
przekrojowych wyrazimy przez x1:
Q(x1)= 4,8-3 x1 cosα cosα = 4,8-1,92 x1
M(x1)= 4,8 x1 -3 (x1 cosα)2 /2 = 4,8 x1-0,96 x12
∂M ( x1 )
to wtedy:
= Q(x1).
∂x1
Do narysowania wykresów N, Q, M można posłużyć się współrzędną x albo x1 pamiętając że:
W p.A:
x=0, x1=0
W p.B:
x=4m, x1=5m
W środku belki:
x=2m, x1=2,5m
4,8
6,4
N [kN]
Q [kN]
4,8
13,6
M [kNm]
6
Obciążenie ciągłe rysowane tak jak do tej pory, może być też przedstawione w postaci
statycznie równoważnego obciążenia przyłożonego do osi pręta.
3 kN/m
2,4 kN/m
α
α
Wypadkowa w pierwszym przypadku to 3kN/m·4m a w drugim to 2,4kN/m·5m , czyli 12kN
w obu przypadkach, prosta działania tej wypadkowej jest pionowa i przechodzi przez środek
belki. W równaniach zamiast pisać 3 x w pierwszym przypadku, zapisze się 2,4 x1 w drugim,
co da ten sam wynik
Gdyby obciążenie o wartości 3kN/m było przyłożone do osi pręta, to było by równoważne
obciążeniu 3,75kN/m przyłożonemu do rzutu poziomego
3,75 kN/m
3 kN/m
α
α
Wypadkowa w pierwszym przypadku to 3,75kN/m·4m a w drugim to 3kN/m·5m , czyli 15kN
w obu przypadkach, prosta działania tej wypadkowej jest pionowa i przechodzi przez środek
belki. W równaniach zamiast pisać 3,75 x w pierwszym przypadku, zapisze się 3 x1 w
drugim, co da ten sam wynik
Dla takiego, czyli zwiększonego o 25% obciążenia, reakcje wyniosą (przy podporze
przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje równoległą i prostopadłą do osi pręta):
ΣM(A)=0 => 3·5·2-3 HB=0 => HB=10kN
ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·5·2=0 => RQ=6kN
Ση=0 => RN -3·5 sinα-HB cosα=0 => RN=17kN
Ostatnie równanie to suma rzutów wszystkich sił na kierunek równoległy do osi pręta –
nazwano go η
Na wykresach N, Q, M pojawią się wartości zwiększone o 25%.
6
8
N [kN]
Q [kN]
6
17
M [kNm]
7,5
Kolejny przykład to belka skośna obciążona na swojej długości (5m) obciążeniem
„prostokątnym” prostopadłym do osi belki,
HB
3 kN/m
3m
RN
α
RQ
4m
Obliczenie reakcji (przy podporze
przegubowej nieprzesuwnej przyjęto reakcje
równoległą i prostopadłą do osi pręta):
ΣM(A)=0 => 3·5·2,5-3 HB=0 => HB=12,5kN
ΣM(B)=0 => 5 RQ-3·5·2,5=0 => RQ=7,5kN
Ση=0 => RN -HB cosα=0 => RN=10kN
Ostatnie równanie to suma rzutów
wszystkich sił na kierunek równoległy do osi
pręta – nazwano go η
Równania opisujące funkcje sił przekrojowych wyrażone przy pomocy współrzędnej x1:
N(x1)= -10
Q(x1)= 7,5-3 x1
M(x1)= 7,5 x1 -3 x12 /2
7,5
N [kN]
Q [kN]
10
7,5
M [kNm]
9,375