Teoria Pola
Transkrypt
Teoria Pola
Teoria Pola Denicja 1. Odwzorowanie dziaªaj¡ce na przestrzeni funkcji ró»niczkowalnych (równie» wielu zmiennych) którego warto±¢ b¦d¡ca funkcj¡ jest obliczana z wykorzystaniem rachunku ró»niczkowego nazywamy ratorem ró»niczkowym. Przykªad 1. Niech T : C (∞) (R) −→ C (∞) (R) × C (∞) (R) b¦dzie okre±lone T (f ) = Przykªad 2. Niech d2 f df , dx2 dx . T : C (2) (R) −→ C (0) (R) b¦dzie okre±lone df d2 f +2 . 2 dx dx −x 2 Warto±¢ tego operatora dla funkcji f (x) = e (x + 1) wynosi T (f ) = Przykªad 3. Operator ró»niczkowy ∇ (nabla) okre±lony ∇ : C (1) (Rn ) −→ C(Rn )n o warto±ciach zadanych przez ∇= d d d , ,..., dx1 dx2 dxn . Dla np. n = 2 i funkcji ró»niczkowalnej f (x, y) operator ∇ dziaªa nast¦puj¡co ∇f = df df , dx dy . ope- Denicja 2. Funkcj¦ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni Rn , w szczególno±ci na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni R3 b¦dziemy nazywa¢ polem. Denicja 3. Pole o warto±ciach liczbowych nazywamy polem skalarnym, o warto±ciach wektorowych, polem wektorowym. z z f(x,y)=5-x2-y2 f(x,y)=5-x2-y2 U U 0 0 y x y x Niech pole skalarne okre±la nat¦»enie ±wiatªa w pomieszczeniu, pole wektorowe okre±laj¡ wektory o kierunku i zwrocie najwi¦kszego przyrostu nat¦»enia ±wiatªa czyli, je»eli istniej¡, ¹ródeª ±wiatªa jak lampa, okna itp. Denicja 4. Niech f : Rn ⊃ U −→ R b¦dzie polem skalarnym, ró»niczkowalnym.Gradientem pola skalarnego nazywamy pole wektorowe ∇f. Wªasno±ci gradientu: ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g, ∇(f g) = f ∇g + g∇f. Denicja 5. Niech b¦dzie dane pole wektorowe −−→ F : R3 3 ~v −→ F (~v ) ∈ R3 . Dywergencj¡ pola nazywamy div F = ∇ ◦ F. −−−−→ Przy oznaczeniu ~v = [x, y, z] oraz F = [Fx , Fy , Fz ] dywergencja okre±lona jest zatem wzorem dFx dFy dFz , , . div F = dx dy dz Denicja 6. Dla pola F jak w denicji dywergencji rotacj¡ nazywamy rot F = ∇ × F. Przy oznaczeniach pola jak wy»ej rotacja jest okre±lona przez dFz dFy dFx dFz dFy dFx rot F = − , − , − . dy dz dz dx dx dy