STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego:
STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa
Wprowadzenie
Skręcanie pręta występuje w przypadku jego obciążenia parą sił P o równych wartościach
i przeciwnych zwrotach, działających w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta
(w płaszczyźnie przekroju normalnego). Moment tej par sił M sprowadza się do momentu
skręcającego o wartości Ms = M.
Ms
Ms
Rys. 1. Skręcanie pręta o przekroju kołowym: a) pary siły o równych wartościach
i przeciwnych zwrotach, działające w dwóch płaszczyznach przekroju normalnego pręta,
b) momenty skręcające.
Analiza odkształceń i naprężeń pręta skręcanego
W celu ułatwienia analizy zjawisk zachodzących przy skręcaniu pręta o przekroju kołowym
i długości l0 obciążonego momentem skręcającym Ms, na jego powierzchni naszkicowano
siatkę linii równoległych do osi oraz obwodowych, wyznaczających płaszczyzny przekrojów
poprzecznych pręta (rys. 2).
Rys.2. Pręt skręcany momentem Ms, OB - promień pręta, AB – tworząca pręta przed
skręceniem, AC - tworząca pręta po skręceniu, y – oś pręta.
1
Obserwując odkształcenia pręta można zauważyć, że:
1. Oś (y) pozostaje prosta.
2. Tworząca AB, początkowo równoległa do osi pręta, po deformacji przybiera kształt linii
śrubowej AC. Kąt nachylenia linii śrubowych jest jednakowy na całej długości pręta
i wynosi γ.
3. Przekroje końcowe pozostają płaskie, nie następuje ich deformacja, długość
i średnica pręta nie ulegają zmianie (nie występuje zmiana objętości).
3. Linie obwodowe pozostają nadal płaskie i zachowują kształt kołowy.
4. Promień przekroju pręta pozostaje prosty i obraca się o kąt φ.
Na podstawie powyższych obserwacji sformułowana została hipoteza płaskich przekrojów
(hipoteza Bernouli'ego):
„kołowe przekroje poprzeczne pręta pozostają po skręceniu płaskie i kołowe, obracając
się wokół osi pręta o niewielki kąt”.
Kąt γ, o jaki obrócą się tworzące warstw równoległych do osi pręta, jest miarą odkształceń
postaciowych i nosi nazwę kąta odkształcenia postaciowego:
=
(1)
Kąt φ, o jaki obrócą się w stosunku do siebie przekroje normalne pręta, nosi nazwę kąta
skręcenia:
=
(2)
Korzystając z powyższych zależności, które określają długość łuku BC:
= = można wyprowadzić zależność łączącą odkształcenia postaciowe z kątem skręcenia:
=
(3)
Kąty odkształcenia postaciowego warstw równoległych do osi pręta są proporcjonalne do
odległości od jego osi (rys. 3):
= = (4)
gdzie:
γ max - kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych,
γ - kąt odkształcenia postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości ρ od osi
próbki,
r - promień przekroju poprzecznego próbki,
ρ - promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej próbki.
2
ρ
ρ
Rys. 3 Odkształcenia warstw współśrodkowych z osią pręta.
W skręcanym pręcie występują jedynie odkształcenia postaciowe, stąd w jego przekrojach
poprzecznych nie występują naprężenia normalne, a jedynie naprężenia styczne (ścinające).
Można zatem zapisać prawo Hooke’a dla ścinania w postaci:
=∙
(5)
gdzie: G – moduł sprężystości postaciowej materiału (moduł Kirchhoffa)
τ – naprężenia styczne w przekroju
γ – kąt odkształcenia postaciowego.
W zewnętrznych włóknach pręta, oddalonych o r od jego osi, naprężenia styczne są
największe, ich wartość zmniejsza się aż do wartości zerowej w osi pręta (rys. 4):
= ∙ = ∙ ∙ (6)
= ∙ = ∙ ! ∙ (7)
Spełniona jest zatem zależność:
"
"
=
Rys. 4 Rozkład naprężeń stycznych w przekroju normalnym skręcanego pręta.
3
(8)
Opis stanowiska pomiarowego
Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach o przekroju zwartym, w postaci prętów
pełnych lub wydrążonych (rur), które obciąża się na końcach momentami skręcającymi,
działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Próby skręcania prowadzi się za
pomocą urządzeń zwanych skręcarkami, lub aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia,
którego schemat przedstawiono na rysunku 5.
Badania rura
ZWIERCIADŁA
Rys. 5 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia.
Zasada działania aparatu polega na pomiarze przemieszczeń S1 i S2 wiązek laserowych
odbitych przez zwierciadła umieszczone na badanym pręcie (rurze), wywołanych
przyłożonymi momentami skręcającym (rys. 6). Korzystając z zależności:
#$,&
'
= (2*,+ = 2*,+
(9)
gdzie: L - odległość między zwierciadłem odbijającym wiązkę a skalą, na której dokonywany
jest odczyt przemieszczeń,
możliwe jest wyznaczenie kąta skręcenia:
*,+ =
#$,&
+'
[-.]
∆ = * − + 4
(10)
(11)
ZWIERCIADŁO
Rys. 6 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia.
Opracowanie wyników próby
Korzystając z zależności (4) oraz (11), można wyznaczyć kąt odkształcenia postaciowego:
= ∆ ∙
(12)
gdzie: l0 – długość pręta (tu odległość między zwierciadłami).
Naprężenia maksymalne, występujące dla promienia r wyznacza się za pomocą zależności:
=
∙23
4
(13)
gdzie: Ms – moment skręcający, I0 – biegunowy moment bezwładności przekroju pręta.
Biegunowy, geometryczny moment bezwładności przekroju rury o średnicy wewnętrznej d
i zewnętrznej D wynosi:
56 =
7(9: ;<: )
>+
(14)
Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G. w zakresie proporcjonalności, jest
zdefiniowany jako stosunek naprężenia stycznego τ do odpowiadającego mu odkształcenia
postaciowego γ. Jest on równy co do wartości tangensowi kąta α nachylenia liniowego
fragmentu charakterystyki τ = f(γ) (rys. 7).
5
Rys. 7 Zależność τ = f(γ) dla pręta skręcanego w zakresie sprężystym.
Cel i zakres ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem prowadzenia próby skręcania,
przeprowadzenie próby na próbce w postaci rury oraz wyznaczenie modułu Kirchoffa
materiału, z którego jest wykonana próbka.
Sprawozdanie powinno zawierać:
•
•
•
•
•
Cel i zakres ćwiczenia laboratoryjnego.
Opis stanowiska badawczego.
Opis przebiegu realizacji eksperymentu.
Wykres τ = f (γ).
Moduł Kirchoffa wyznaczony na podstawie charakterystyki τ = f (γ) oraz z zależności:
2 ∙
3 = ∆∙4
.
•
•
Zestawienie wyników badań oraz ich analizę. Porównanie uzyskanych wartości
z danymi literaturowymi.
Wnioski.
Literatura:
• Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Wydawnictwa NaukowoTechniczne, 2007.
• Instrukcja do laboratorium z Wytrzymałości Materiałów: Swobodne skręcanie prętów
kołowych. Politechnika Lubelska.
• Michał i Tadeusz Niezgodziński, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, Wydawnictwa
Naukowe PWN, 2002.
6