FO W2 Prawa zachowania

Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
1
Prawa Zachowania
Zasady zachowania odgrywaj w fizyce szczególn rol“.
Oprócz zasad zachowania poznanych w szkole:
•
zasady zachowania p“du
•
zasady zachowania momentu p“du
•
zasady zachowania energii
istnieje wiele innych zasad zachowania jak np.
zasada zachowania »adunku
zasady zachowania masy
zasady zachowania liczby barionowej
(tj. liczby protonów, neutronów i innych tzw. czstek ci“ókich)
oraz bardziej egzotyczne
zasady zachowania dziwnoÑci
zasady zachowania parzystoÑci
i inne
Zasady te s ogólniejsze nió np. prawa Newtona.
Wynikaj z symetrii otaczajcego nas Ñwiata.
(twierdzenie Noether 1918 r)
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
2
Zasada zachowania p“du
II zasada dynamiki Newtona dla ruchu post“powego zawiera zasad“ zachowania p“du:
r
dp r
=F
dt
Wniosek:
r
F =0 ⇔
r
p = const.
Komentarz:
Zasada dynamiki Newtona jest równaniem wektorowym. Jest wi“c równowaóna 3 równaniom
skalarnym. Std jeÑli w uk»adzie wspó»rz“dnych kartezja½skich Fx ≠ 0 a pozosta»e sk»adowe si»y znikaj
to zasada zachowania p“du spe»niona jest w kierunku osi Oy i Oz ale nie w kierunku Ox.
Zasada zachowania p““du wynika z jednorodnoÑÑci przestrzeni
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
3
Przyk»ad:
Dana jest czstka o masie m i energii mechanicznej E.
Czstka ta przekracza granic“ pomi“dzy dwoma oÑrodkami padajc na ni pod ktem ϕ1.
Pod jakim ktem opuÑci ona granic“ pomi“dzy oÑrodkami jeÑli wiadomo, óe w oÑrodku, z którego nadlatuje
ma energi“ potencjaln Ep1 zaÑ w oÑrodku, do którego przechodzi ma energi“ Ep2 ?
Wskazówki:
energia mechaniczna jest to suma energii kinetycznej i energii potencjalnej
oba oÑrodki s zachowawcze std energia mechaniczna jest zachowana
r
F = - grad E p
E = E p + Ek
m v12
= E - E p1
2
m v22
= E - E p2
2
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
4
Si»a dzia»a tylko wzd»uó kierunku prostopad»ego do granicy oÑrodków (w tym kierunku wyst“puje gradient
energii potencjalnej).
Std wzd»uó tej granicy spe»niona jest zasada zachowania p“du:
m v1 sin ϕ 1 = m v 2 sin ϕ 2
v1 = sin ϕ 2
v 2 sin ϕ 1
Dla porównania prawo Sneliusa dla Ñwiat»a (fotony mają zerową masę !):
v1 sin ϕ 1
=
v 2 sin ϕ 2
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
5
Zasada zachowania
momentu p“du
r
dL r
=N
dt
Wyjdziemy z II zasady dynamiki Newtona
r
dp r r
= F |r ×
dt
r
r dp r r
r× =r×F
dt
r
r
r
r
dr r d
dr
r d(mv ) dr
r×
= × m + r × (m )
dt
dt
dt
dt
dt
r
d r r dL
= (r × p) =
dt
dt
r r r
L≡r×p
OtrzymaliÑmy II zasad“ dynamikirNewtona dla ruchu obrotowego:
Gdy moment si»y N znika moment pedu jest sta»y.
Zasada dynamiki Newtona wyraóa wi“c zasad““ zachowania.
Ta ostatnia ma zakres zastosowania o wiele szerszy: obowizuje równieó tam gdzie si»y nie s newtonowskie
oraz w mechanice kwantowej.
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
6
Prosty sposób na obliczenie momentu p“du we wspó»rz“dnych kartezja½skich:
r
L = ( Lx , L y , Lz )=
r
i
r
j
r
k
x
y
z
px
py
pz
Zasada zachowania momentu p“du wióe si“ z izotropowoÑci przestrzeni:
uk»ad odoizolowany nie zmienia swoich w»asnoуi po obróceniu o dowolny kt.
przyk»ad si»a centralna
r r
r
r
Definicja si»a jest centralna gdy F _ r czyli gdy F = F ( r ) i r
wtedy:
r r r r
N = r xF ≡ 0
Przyk»ady si» centralnych
si»a grawitacyjna
si»a elektrostatyczna
r
L = const.
a wi“c
F ( r )= -
κ
r
F ( r )= -
2
κ
r
; κ ≡ - G m1 m2
; κ ≡2
F(r) < 0 oznacza si»“ przycigajc
q1 q 2
4π ε
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
r r
Przyk»ad: moment pędu czstki swobodnej tj. gdy N, F = 0
zgodnie z II zasad dynamiki Newtona.
L = m v r sin θ = m v b = const.
7
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
Praca, moc, energia
Definicja Pracy:
r
r
Praca si»y F na drodze dr jest równa
r r
dW = F ⋅ dr
Poniewaó praca na ogó» praca zaleŜy od drogi Γ po jakiej zosta»a wykonana.
r r
W = ∫ F ⋅ dr
Γ
Wniosek z definicji pracyr
r
Gdy si»a F ⊥ dr to dW = 0 .
Przyk»ady
r
r
sila doÑrodkowa
F = - m ω 2 r nie wykonuje pracy w ruchu po okr“gu
r
r r
dowód:
si»a Lorenza F = q ( v xB )
r r
r
r r r
dW = q ( v × B ) ⋅ dr = q( dr × v ) ⋅ B = 0
8
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
r
r
Przyk»ad praca si»y spr“óystej F = - k r
k jest sta» spr“óystoÑci.
r
r
od punktu A ( r = 0 ) do punktu B ( r ≠ 0 )
B
r
r r
r r
W = ∫ F ⋅ dr = - k ∫ r ⋅ dr = - k ∫ r dr
B
A
Γ
0
A
Γ
0
k r 02
W =2
Praca jest ujemna: trzeba j wykonaƒ aby ruch si“ odby»
Jednostk pracy jest dóul
1J = 1N 1m = 1
kg m2
s2
9
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
Moc
Moc chwilowa
dW
dt
r drr
P= F ⋅
dt
r r
P= F ⋅v
P=
PodzieliliÑmy infinityzymalnie ma»y przyrost pracy
przez czas potrzebny do wykonania infinityzymalnie ma»ego przesuni“cia.
Jednostk mocy jest wat
1J kg m2
1W = = 3
1s
s
Definiuje si“ teó moc Ñredni
W
1 t
< P >= =
W dt
∆t t1 - t 0 t∫
1
0
10
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
11
Energia Kinetyczna
r
r
Pomnoóymy obie strony II prawa Newtona przez ds = v dt
r
dv r r r
m ⋅ ds = F ⋅ ds
dt
Interesuje nas wielkoу po lewej stronie znaku równoÑci:
r
r
dv r
dv
1
r r
m ⋅ ds = m ⋅ dt = m v ⋅ dv = d ( m v 2 )
dt
dt
2
Wielkoу w nawiasie nazywamy energią kinetyczną
Std
r
dp r
d E k = ⋅ ds = dW
dt
Przyrost energii kinetycznej okazuje si“ równy pracy wykonanej na uk»adzie.
Jednostka energii kinetycznej jest teó dóul
ale bywa uóywana elektronowolt
1 eV = 1,602189 10-19 J
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
12
r r
Rozpatrzmy ruch badanego cia»a pomi“dzy punktami A i B toru Γ: ∫ d E k = ∫ F ⋅ dr = W
B
B
A
A
Γ
Wnioski
jest to sposób na pomiar pracy bez potrzeby znajomoÑci toru Γ
moc chwilowa wiaóe si“ z szybkosci zmian energii kinetycznej
r
dW r r
dv r
1 d r r d Ek
= F ⋅v = m v = m
(v ⋅ v ) =
dt
dt
2 dt
dt
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
r r rr
Na ogó» si»a F = F ( r ,v , t) .
13
Energia potencjalna
Cz“sto mamy do czynienia z si» niezaleón jawnie
od czasu
r r
rr
F = F ( r ,v )
przy czym zarówno po»oóenia jak i pr“dkoÑci s funkcjami czasu i s poszukiwane.
Wtedy:
r
r r
r
zawodzi proste ca»kowanie po czasie funkcji F = F ( r (t) ,v (t) ) :
jeÑli chcemy znaleïƒ
pr“dkoу z równania ruchu Newtona tj. z
r r rr r r
to nawet jeÑli funkcja F = F ( r ,v ) = F ( r (t) ) tylko to i tak nie moóemy wykonaƒ
r
1 r
r
calkowania
bez jawnej postaci r (t) .
v (t) = ∫ F dt
m
Szukamy więc takiego sposobu rozwiązania zagadnienia ruchu aby ca»kowaƒ po dr
a nie po dt.
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
14
Istnieje obszerna klasa si»: si»»y zachowawcze
dla których nie jest potrzebna znajomoу kszta»tu toru aby móc wyznaczyƒ prac“.
r
Definicja: F jest si» zachowawcz jeóeli
rrr
rr
F(r ,v ,t) = F(r )
tak, óe
r r
dW = F ⋅ dr = - d E p
r
gdzie Ep jest jednoznaczną funkcją skalarn promienia wodzącego r , która jest ciąg»a wraz z pochodnymi i
niezaleóna od czasu.
Ep nazywamy potencja»em si»y
lub energi potencjaln
WaŜny
związek:
r
F = − grad E p ( x, y, z )
 ∂f ∂f ∂f 
gdzie gradient funkcji f(x,y,z) jest wektorem o składowych  , ,  (w układzie kartezjańskim)
 ∂x ∂y ∂z 
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
15
Konsekwencje definicji energii potencjalnej:
Niech Ep istnieje.
Wtedy
B
r r
W = ∫ F ⋅ dr = - ∫ d E p = - ( E p - E p ) = E p - E p
B
B
A
Γ
A
A
B
A
Praca si»y zachowawczej pomi“dzy dwoma punktami A i B nie zaleóy od wyboru drogi pomiedzy tymi
punktami.
cyrkulacja si»»y zachowawczej po drodze zamkniętej Γ znika
r r
∫ F ⋅ dr = 0
Γ
to wyraóenie moóe s»uóyƒ jako definicja si»y zachowawczej
w analizie wektorowej dowodzi si““, óe znikanie cyrkulacji danego wektora jest równoznaczne
r
z istnieniem związanej z nim funkcji Ep( r ).
Energia potencjalna okreÑlona jest z dok»adnoÑci do pewnej sta»ej addytywnej, która zaleóy od
wyboru punktu odniesienia.
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
16
Zasada zachowania energii
Dla si»» zachowawczych
(
)
d Ek + dE p = 0
Ta sama zasada zachowania w postaci ca»kowej:
r r
W = ∫ F ⋅ dr = E k - E k = E p - E p
B
B
A
A
B
A
Porzdkujc otrzymuje si“
( E k + E p )B = ( E k + E p ) A
Wniosek
Energia mechaniczna Ek + Ep = E
pozostaje sta»a podczas ruchu pod wp»ywem si» zachowawczych.
Zasada
zachowania dla si»» niezachowawczych
r r r
Na ogó» si»y niezachowawcze F = F ( v ) i s przeciwnie skierowane do kierunku pr“dkosci.
r
r
=
γ
v
Fo
r
Przyk»ad si»a tarcia lepkiego
r
r
r r
r dr
dW = F o ⋅ dr = - γ v ⋅ dr = - γv ⋅ dt = - γ v 2 dt
dt
dW
P=
= - γ v2
dt
Fizyka Ogólna:
Wyk»ad 2
Gdy na punkt materialny dzia»ają jednoczeÑnie si»y zachowawcze i niezachowawcze:
r
r
r r r r
r
dW = ( F z + F nz ) ⋅ dr = F z ⋅ dr + F nz ⋅ dr
= - d E p + dW nz
Zawsze:
dlatego
r r
r
dW = F ⋅ dr = dE k dla dowolnej si»y F
dE k + dE p = dE = dW nz
Zasada zachowania energii:
Zmiana energii mechanicznej jest równa pracy si»» niezachowawczych.
Przyk»ad
Wyóej wymieniona si»a oporu jest si»ą niezachowawcz stąd
dW nz = - γ v 2 dt < 0
17