Interpolacja Lagrange'a

Metoda elementów
skończonych
Agnieszka Śledzińska
Lechosław Trębacz
MES – ogólne reguły
Metoda elementów skończonych oparta jest na
kilku prostych ideach. Podstawową jest skończony
podział obszaru Ω , w którym problem jest
definiowany ,,oddzielnie” na każdym z
podobszarów, zwanych elementami. Dobór
elementów dokonywany jest w taki sposób, aby:
- posiadały one nieskomplikowany kształt
geometryczny,
- można było na nich zadać proste funkcje
aproksymujące, przybliżające rozwiązanie
wewnątrz każdego z nich.
MES – ogólne reguły
Zależnie od wymiaru przestrzeni , elementy te to
zazwyczaj:
1-D — odcinki 2- lub 3-węzłowe (czasem
więcej) prostoliniowe lub krzywoliniowe,
2-D — trójkąty 3-, 4-, 6- lub 10-węzłowe (lub
więcej), bądź czworokąty 4-, 5-, 8-, (lub więcej)
— w obu przypadkach krzywo- lub
prostoliniowe,
3-D — czworościany lub sześciościany.
MES – ogólne reguły
Najczęściej stosowanymi funkcjami
aproksymującymi są wielomiany lub funkcje
otrzymane z wielomianów przez zamianę
zmiennych.
Rozwiązania uzyskane na wszystkich elementach
składających się na dany obszar Ω łączone są w
sposób zapewniający odpowiednią ciągłość
szukanego rozwiązania w całym obszarze.
Użycie elementów o tym samym kształcie i
właściwościach (ewentualnie o podobnych
parametrach) powoduje daleko idącą
automatyzację procesu obliczeń.
MES – ogólne reguły
Na danym elemencie może być zadana różna
interpolacja. Najczęściej spotykanymi są:
- interpolacja Lagrange’a — funkcjonały w
węzłach elementów wykorzystują tylko wartości
funkcji w węzłach,
- interpolacja Hermite’a — w węzłach
wykorzystywane są wartości funkcji oraz
pochodnych.
Interpolacja liniowa
Tj+1
Tj
∆xj+1
∆xj
j−1
j
j+1
Interpolacja kwadratowa
Tj − 1
Tj
Tj+1
Tj − 2
2∆xj
2∆xj+1
Tj+2
Ogólny schemat MES
1. podział obszaru na elementy
2. rozwiązanie zagadnienia na każdym z
elementów:
– wybór metody wariacyjnej (metoda Ritza,
Galerkina, itp.)
– dobór funkcji interpolujących na elemencie
– sformułowanie algebraicznego układu równań
na elemencie dla wybranej metody i interpolacji
3. budowa jednego dla całego obszaru układu
równań algebraicznych z uwzględnieniem
warunków ciągłości pomiędzy elementami
Ogólny schemat MES
4. wprowadzenie do układu równań warunków
brzegowych (o ile nie zostało to zrobione na
etapie tworzenia macierzy elementarnych)
5. rozwiązanie otrzymanego układu równań
6. ,,post-processing” — wykonanie dalszych
obliczeń, np. obliczanie gradientu rozwiązania,
bądź innych zależnych wartości, prezentacja
wyników, estymacja błędów, itp.
Jest to schemat bardzo ogólny, wspólny dla
szerokiego spektrum zagadnień.
MES – interpolacja
Interpolacja Lagrange’a:
u 
x 
n
= ∑ Q  x u
i
i
i =1
ui – zadane wartości w węzłach
Qi(x) - wielomiany Lagrange’a
1
Qi ( x j ) = δ ij = 
0
i= j
i≠ j
u ( x ) = Q1 ( x )u1 + Q2 ( x )u 2 + .... + Qn ( x )u n
MES – interpolacja - przykład
u
u2
Q1 =
u1
Q2 =
x1
x2
x
x2 − x
u ( x ) = Q1
x2 − x1
x − x1
x2 − x1
∂u
− u1
u2
u 2 − u1
=
+
=
∂x
x2 − x1
x2 − x1
h
u( x) =
MES – funkcje kształtu
Wielomiany używane do interpolacji to funkcje kształtu.
1. Element 1-D – odcinek – funkcje kształtu Ni
N1 =
x1
x2
x2 − x
x2 − x1
x − x1
N2 =
x2 − x1
MES – funkcje kształtu dla trójkąta
2. a) Element 2-D - trójkąt
u ( x, y ) = N1u1 + N 2u2 + N 3u3
(x ,y )
3
3
0 (x,y)
(x1,y1)
S 023
S123
N2 =
S 013
S123
N3 =
S 012
S123
(x2,y2)
x1
S123
N1 =
1
= x2
2
x3
y1 1 itd. pozostałe; stąd
y2 1
xy 2 + x 2 y 3 + x3 y1 − x3 y 2 − x 2 y1 − xy 3
N1 =
y3 1
x1 y 2 + x 2 y 3 + x3 y1 − x3 y 2 − x 2 y1 − x1 y 3
Pozostałe funkcje kształtu wyglądają analogicznie.
MES – dyskretyzacja
Dyskretyzacja obszaru za pomocą elementów trójkątnych
MES – funkcje kształtu dla czworokąta
2. b) Element 2-D - czworokąt
1
N1 = (1 − ξ )(1 − η )
4
N2 =
1
(1 + ξ )(1 − η )
4
N3 =
1
(1 + ξ )(1 + η )
4
1
N 4 = (1 − ξ )(1 + η )
4
Funkcje kształtu dla elementu czworokątnego, 2D
Funkcje kształtu dla
elementu
prostokątnego
Funkcje kształtu dla elementu
kwadratowego
Dwuwymiarowe podziały niektórych elementów i
ich odwzorowanie
Współrzędne lokalne
Układ kartezjański
MES – funkcje kształtu dla czworościanu
3. a) Element 3-D - czworościan
Funkcje kształtu:
x4y4z4
N1 =
0 xyz
x3y3z3
N2 =
V0134
V1234 V1234
N3 =
V0124
V1234
N4 =
V0123
V1234
x1y1z1
x2y2z2
V0234
V1234
x1
1 x2
=
6 x3
x4
y1
y2
y3
y4
z1
z2
z3
z4
1
1
1
1
Trójwymiarowe odwzorowanie niektórych
elementów
Współrzędne lokalne
Układ kartezjański
MES – równanie przewodzenia ciepła
∂
∂u ∂
∂u ∂
∂u
∂u
kx +
ky +
kz + Q = A
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂t
gdzie:
kx , ky , kz – współczynniki przewodzenia ciepła
Q – wewnętrzne źródło ciepła
A – pojemność cieplna
t - czas
MES – równanie przewodzenia ciepła
I etap rozwiązania.
∂
∂u
∂
∂u
kx
+
ky
+Q= 0
∂x
∂x ∂y
∂y
Przechodzimy do równania całkowego przy pomocy metody
wariacyjnej.
b
du 

Funkcjonał
J = ∫ F  x, u ( x ),
 dx
dx 

a
2
 k  ∂u  2

k


∂
u
y
x

J = ∫

 +
 ∂y 
 − Qu dS
2
∂
x
2





S 


MES – równanie przewodzenia ciepła
Jednoznaczne rozwiązanie tego problemu wymaga uwzględnienia
warunków brzegowych dla funkcjonału.
1. u ( x0 , y0 ) = u0 (t ) warunek Dirichleta
2.
3.
∂u
∂u
+ ky
= q (t )
warunek
∂x
∂y
∂u
∂u
kx
+ ky
= α ( u0 − u )
∂x
∂y
kx
Neumanna
gdzie:
α- współczynnik wymiany ciepła
u0 – temp. otoczenia
MES – równanie przewodzenia ciepła
Szukamy minimum tego wyrażenia:
u= N u
T
J =
∫
V
∂J
=
∂ uT
k
 x
 2
∫
V
2
2

k y  ∂ NT 
 ∂ NT 
T


u  +
u  − QN u  dV −
2  ∂y

 ∂x




∂ N ∂ NT
∂ N ∂ NT
k
u
+
k
u
−
Q
N
y
 x
 dV −
∂
x
∂
x
∂
y
∂
y


∫
S
2
α

T
T
(
)
q
+
α
u
N
u
−
N
u
dS
0


2

(
∫ [( q + α u ) N − α NN u]dS =
T
0
S
)
0
MES – równanie przewodzenia ciepła
Hu = P
Otrzymujemy:
 ∂ N ∂ NT
∂ N ∂ NT
T
H = ∫  kx
+ ky
+ α NN  dV
∂x ∂x
∂y ∂y

V 
P = − ∫ [ ( q + α u 0 ) N ]dS +
S
∫ QNdV
= 0
V
Pojedynczy element macierzy:


∂ Ni ∂ N j
∂ Ni ∂ N j

H ij = ∫  k x
+ ky
+ α N i N j 
∂x ∂x
∂y ∂y

V 
MES – równanie przewodzenia ciepła
Po otrzymaniu układu równań dla pojedynczego elementu
należy zbudować jeden dla całego obszaru układ
równań algebraicznych z uwzględnieniem
warunków ciągłości pomiędzy elementami,
wprowadzić do układu równań warunki brzegowe
(o ile nie zostało to zrobione na etapie tworzenia
macierzy elementarnych). Następnie pozostaje
już tylko rozwiązać tak zbudowany układ równań
np. metodą Gaussa.
Zastosowanie MES
Proces wyciskania - temperatura
Wyciskanie – pole odkształceń
Tłoczenie – pole naprężeń
MES - Literatura
1. Wykłady prof. M. Pietrzyka – WIMiM, AGH
Kraków.
2. Wykłady prof. J. Osiki – WMN, AGH Kraków
3. Praca magisterska mgr inż. Lechosława Trębacza
4. Internet.
DZIĘKUJEMY ZA UWAGE !!!
<< POWRÓT