BOGDAN SABALSKI

BOGDAN SABALSKI
TEORIA OBRAZU (1977 – 1983)
Wersja polska – strona 2
The English Version – page 5
1
II tekst źródłowy Teorii Obrazu. Ten list udostępniałem w mniejszych fragmentach w "GALOIS"
naziemnym, cytowany jest także w "Świat jest niemy".
Teoria Obrazu powstała z
początku jako uogólnienie tzw.
Zależności Galois. Autor,
BOGDAN SABALSKI,
stopniowo rozwijał ją, aż
"nabrała kolorów". Rezultat
nazwał Teorią Obrazu lub "związku lustra" z takiego oto powodu:
"(Płock, 12.12.83.);
... Najpierw zacytuję własne notatki sprzed paru lat (z 1979, a może wcześniej):
Jeśli stoję przed lustrem, to widzę swoje odbicie w pewnym otoczeniu i wydaje mi się, że
moje odbicie widzi mnie, też w pewnym otoczeniu, a więc mój obraz
JA
OTOCZENIE,
a stąd JA
OTOCZENIE, i tu pojęcie otoczenia jest tak pomyślane, ze skoro JA je mogę
obserwować, to i ONO mnie widzi:
JA widzę ICH
JA jestem widziany przez NICH.
Zdanie to, doprawdy, powstało wczesnym przedpołudniem, gdy to po jednym z
karkołomnych, wielodniowych pijaństw, znalazłem się na straszliwym kacu przed lustrem i
zetknąłem się z sobą odbitym w lustrze by dopełnić rachunku sumienia codziennie od nowa
zaczynanego i nigdy nie kończącego się inaczej jak przypięciem krawata i butelki do
zdeformowanej twarzy patrzącej drwiącymi, czerwonymi (!) oczyma spoza tafli drugiego
świata. Na skojarzenie to złożyć się nie mogły tylko notoryczne latami picia; potrzebna jest
inkluzja (zawieranie, implikacja, porządek); jakieś pojecie zbioru, a w zasadzie relacji częśćcałość; i nieznaczne obycie z pojęciem funkcji, odwzorowania, a przede wszystkim pojęcie
obrazu i przeciw-obrazu dla funkcji; może jeszcze kontakt z językiem formalnym; wszak
znaczy: wtedy i tylko wtedy, gdy.
,
By przejsć do formalizacji tych intuicji, które tkwią w formule widzenia, wypisanej przy
pomocy strzałek i kółek, trzeba wprowadzić jaki język formalny, potrzebne więc będą nam
zmienne: p, q, r, ..., x, y, z... i inne; oraz symbole funkcyjne:
,
, ..., f, g, h... i inne;
używać możemy zamiast indeksów różnych kolorów, np. a, a, ... i wtedy "a" o różnych
barwach będą się różnić tak jakby się różniły indeksami - można zresztą umówić się co do
wzajemnej odpowiednioci między indeksami i barwami. Potrzebne nam będą jeszcze
symbole relacyjne: , ..., R, Q, S, ... i inne. Zmienne oznaczają, jak zwykle w teorii, obiekty,
które są przedmiotem twierdzeń teorii, symbole funkcyjne są dowolne - nas interesować
będzie związek "widzenia" pary symboli, w jaki one czasami wchodzą, co na kształt związku
małżeńskiego, czy też związku twórczego dwóch artystów wymieniających obrazy w
symbolicznym dialogu furii listów miłosnych. Opisu formuł, w tym aksjomatów teorii,
dokonujemy w metajęzyku, tzn. w języku naszych listów, dorzucam jedynie parę
symbolicznych konwencji, których celem jest jedynie skrócenie napisów, a więc:
2
, , ... i inne, które oznaczają kolejno: równoważnoć, lub, i, jeżeli...to, istnieje,
dla każdego... . Niech dane będą dwa porządki częściowe: , , tzn. spełniające
,
,
,
zwrotność, przechodniość i słabą antysymetrię względem obiektów ze swego świata. Światy
te można, nie mając teorii mnogości, wyróżnić przy pomocy formuły z jedną zmienną, tak jak
wyróżnia się pojęcie klasy, np. klasa wszystkich zbiorów V= {x: x = x}, formułą wyróżniającą
jest "x = x". W naszym przypadku, ponieważ nie mamy symboli teorii zbiorów, będziemy
mówić o świecie tych x, które spełniają (tzn. dla których jest prawdziwa) formułę a(x); niech
więc formuła P(x) wyróżnia świat, w którym panuje porządek
(niebieski), a formuła Q(x)
świat, w którym panuje porządek (czerwony). Będziemy malować obiekty na niebiesko jesli
będą spełniać formułę P(x), a na czerwono, gdy będą spełniać formułę Q(x). A więc zamiast
pisać: "P(x) i P(y) i x
funkcyjne: (
y", wystarczy napisać x
y. Będziemy mówić, że dwa symbole
) tworzą związek lustra (albo widzenia) między swiatem niebieskim i
,
czerwonym
1. Symbole te są dobrze określone, to znaczy, że zdania:
'( x)[Q(
x)]', '( x)[P(
x)]' - są spełnione, co oznacza, że strzałki przenoszą
z jednego swiata do drugiego - zmieniają barwy.
2.
x y
x
y.
(...)
Ta zależność jest bardzo prosta i jest chyba dalekim echem twierdzenia Talesa, w którym
obraz odcinków z jednej prostej powstaje na drugiej po przepuszczeniu pęku równoległych i
zostaje zachowany porządek punktów jak i ponadto (co nas już nie intersuje)
proporcjonalność, można to tak narysować:
i widzimy, że
x y
x
y (= y), przy czym porządki w światach to bycie na prawo
od 0, punktu przecięcia światów, a więc x Ł y , gdyż y leży dalej od x na prawo od 0.
Oczywiście nie jest ważne by światy się przecinały, ani nie jest też ważne by proste
"rodzące" obrazy-przeciwobrazy były równoległe, wystarczy by zachowywany był porządek i
to niekoniecznie tak zdefiniowany jak w powyższym przykładzie. Można to narysować
choćby tak:
3
Związek lustra ma więc swoje najgłębsze skojarzenia geometryczne nawiązujące do
mitycznego Talesa, a jego związki z geometrią są i dalsze, aż do programu Kleina o grupach
niezmienniczych, jako że związek widzenia (używam zamiennie słów: lustro i widzenie) jest
"uogólnieniem" koncepcji przekształceń zachowujących się niezmienniczo względem relacji
inkluzji, porządku, a zatem pojęcie niezmiennika i przekształceń zachowujących ten
niezmiennik jest w zasadzie powtarzane w związku lustra..
Można od razu uogólnić naszą kolorową równoważność: r(ox, y)
r'(x, o'y), gdzie r, r' są
relacjami zastępującymi nasze porządki , a symbole funkcyjne o, o' zastępują strzałki i
wtedy otrzymujemy już bezpośrednio związek z teorią przekształceń zachowujących z góry
ustaloną własność, w tym przypadku relację r. (...)".
Bogdan Sabalski i "GALOIS".
W oryginale listu jest jeszcze jeden, wspomagający rysunek, podobny do tego (bez
czarnych liter):
.
4
The Mirror Connection in the Theory of an Image
Excerpts from a letter BOGDAN SABALSKI sent to me in 1983. It is one of
the source texts, and here in the site some concepts are derived from this source.
"Plock, 12.12.1983.
First of all I'll quote
my own notes from
several years before
(1979 or earlier): If I stand
in front of the mirror I see
my own reflection in a certain surroundings and it appears to me that my
reflection sees me in a certain surroundings too. Here, the concept of
surroundings means that since I can observe it, so it can also sees me.
In other words: I can see THEM
I
surrounding, and hence I
I am being seen by THEM:
surrounding.
(...) We need an inclusion (containing, implication, ordering like ), some idea of a
set and, in principle, and a relation between a part and wholeness. We need a
slight understanding of the idea of function, projection and above all, the concept
of an image and a counter image for the function; perhaps a contact with a formal
language is useful. The sign ' ' symbolizes the logical equality. We read it as "if
and only if".
In our case, yet we have no symbols of the theory of sets, so we will be talking
about the world of x'es which fulfill (i.e. for those it is true) the formula
(x). Let
the formula P(x) distinguishes the world in which the order prevails, the formula
Q(x) distinguishes the world with order . We will paint objects blue if they fulfill
formula P(x) and will paint hem red if they fulfill Q(x). This way, instead of writing
"P(x) P(y) x y", it is suffice to write " x y".
We will say that two functional symbols, (
,
), create the mirror's connection
(or seeing con.) between the blue world and the red one
5
1. These symbols are well defined:
Formulas ( x)[Q (
x)] and ( x) [P(
x)] are fulfilled; it means that the arrows
transmit objects from one world to the other world in the same way for each object.
We understand expressions
"
x = x" and "
x = x" as "arrows change colors".
2. 'Arrows' fulfill the formula below, called 'formula of image' or 'the formula of
mirror connection':
x
y
x
y:
One of the possible heuristics of the formula is:
The interdependence is very simple and it is perhaps a remote echo of
Tales' theorem in which a picture of segments from one straight line appears on
the other one after letting out a pair of parallel lines:
6
The proportionality is no longer of interest to us, so we jot down little
sketch in order to observe the ordering preservation described at point 2. above:
.
Bogdan Sabalski and 'GALOIS'
On the right sketch at the paper above the lines which are crossing two
parallel lines, red and blue, are not crossing each other between parallel lines.
Thus lines, however "drunken", preserve orderings. This example serves as an
example for our viewing a social phenomena: the narrow perspective the better
feeling even a complacency we can ensure. But this is just the sketch.
7