Problem z pomarańczy

Stosowane modele równowagi
ogólnej (CGE)
Wykład 4
Model wymiany
(z poprzednich zajęć)
Model wymiany składał się z równań:
• popytu na poszczególne dobra (np. popyt na
pomarańcze – funkcją dochodu gospodarstwa i
ceny pomarańczy),
• ograniczeń budżetowych (wydatki=dochody),
• równowagi (np. suma popytu na pomarańcze =
suma podaży/zasobów pomarańczy),
• definiujących użyteczność,
• definiujących dochód (jako sumę wartości
posiadanych przez gospodarstwo zasobów).
Oznaczenia
•
•
•
•
y – konsumpcja,
z – zasoby początkowe,
p – ceny dóbr,
wytot – wartości dochodów (zasobów
początkowych),
• u – użyteczności.
• Symbole zmiennych wyrażają procentowe
przyrosty odpowiednich kategorii.
Symulacja 1
Zakładamy wzrost zasobu początkowego (Z)
pomarańczy w II gospodarstwie o 10%.
Wyniki:
y(Gosp1)
Pomarancze
0
Jablka
-4,17
Gosp1
Gosp2
wytot
0
6,25
y(Gosp2)
6,25
2,08
p
0
4,17
u
-2,08
4,46
Wyniki uzyskane metodą Johansena (przybliżone).
Interpretacja wyników (ceny)
• W modelu CGE badamy zmiany cen
względnych.
• Przy stałej cenie pomarańczy (pomarańcze jako
dobro numeraire)
cena jabłek rośnie o 4,17%.
• Inaczej – cena jabłek w relacji do ceny
pomarańczy rośnie o 4,17%. Same nominalne
zmiany nie mają znaczenia.
• Jak wyjasnić ten efekt? Jabłka stają się dobrem
relatywnie rzadszym.
Interpretacja wyników (dochody)
wytot = S(”P”)·[z(”P”)+p(”P”)]
+ S(”J”)·[z(”J”)+p(”J”)]
Dla gospodarstwa 1:
1·(0+0) + 0·(0+4,17) = 0
Dla gospodarstwa 2:
25/70·(10+0) + 45/70·(0+4,17) = 6,25
Zmiany wartości dochodów nie są tożsame ze
zmianami realnych dochodów (siły nabywczej).
Interpretacja wyników (konsumpcja)
y(i) = wytot – p(i)
Dla gospodarstwa 1:
y(”P”) = 0 – 0 = 0
y(”J”) = 0 – 4,17 = –4,17
Dla gospodarstwa 2:
y(”P”) = 6,25 – 0 = 6,25
y(”J”) = 6,25 – 4,17 = 2,08
zmianami realnych dochodów (siły nabywczej).
Interpretacja wyników (użyteczność)
u = alfa·y(”P”)+(1–alfa)·y(”J”)
Dla gospodarstwa 1:
u = 0,5·0 + 0,5·(–4,17) = –2,08
Dla gospodarstwa 2:
u = 4/7·6,25 + 3/7·2,08 = 4,46
Zmiany użyteczności można tu utożsamiać ze
zmianami realnej całkowitej konsumpcji.
Interpretacja wyników c.d.
• Metodą Eulera można wyznaczyć
dokładne rozwiązanie …
• … ale wówczas równania dla
procentowych przyrostów nie są spełnione
dokładnie.
• W związku z tym dekompozycja wyników
jest także przybliżona.
Rozw. Metodą Eulera
Rozwiązanie na podstawie 3-stopniowej metody
Eulera (method=euler; steps=4 8 16).
Np. dla gospodarstwa 2:
y(”J”) = 2,00 ≈ 6,25 – 4,17
Symulacja 2
Wzrost zasobu początkowego pomarańczy w II
gospodarstwie o 10% (jak w sym. 1). Zmiana
numeraire!
Wyniki:
y(Gosp1)
Pomarancze
0
Jablka
-4,17
Gosp1
Gosp2
wytot
-4,17
2,08
y(Gosp2)
p
6,25
-4,17
2,08
0
u
-2,08
4,46
Wyniki uzyskane metodą Johansena (przybliżone).
Symulacja 2 c.d.
• Wyniki w ujęciu realnym (ilości) nie
zmieniają się (konsumpcja, użyteczności).
• Zmieniają się wyłącznie wyniki dla
wielkości nominalnych (dochody, ceny).
Funkcja produkcji CES
Elastyczność substytucji
wzgledny przyrost ( K / L)
σ≡
wzgledny przyrost ( PL / PK )
d ( K / L)
σ ≡ K/L
d( PL / PK )
PL / PK
Funkcja produkcji CES
• CES – constant elasticity of substitution.
[
Q = β ⋅ δ ⋅K
−ρ
]
− ρ −1 / ρ
+ (1 − δ ) ⋅ L
• Można sprawdzić, że tego typu funkcja
charakteryzuje się stałą elastycznością
substytucji σ = 1 /(1 + ρ )
Funkcja produkcji CES
– szczególne przypadki
• Im większa wartość σ tym łatwiejsza
zastępowalność czynników produkcji.
• σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa.
• σ = 1: funkcja produkcji Cobba-Douglasa.
• σ →∞: doskonale substytucyjne czynniki
produkcji.
Problem minimalizacji kosztów (1)
min K·PK+L·PL
−ρ
−ρ
β
⋅
δ
⋅
K
+
(
1
−
δ
)
⋅
L
Przy warunku
[
• Dane: produkcja i ceny czynników.
]
−1 / ρ
=Q
Problem minimalizacji kosztów (2)
Rozwiązanie (zmienne w postaci
procentowych przyrostów):
• k = q – σ·(pK – pave)
• l = q – σ·(pL – pave)
• pave = SK·pK+SL·pL
Rozszerzenie modelu wymiany
• Do modelu wymiany dodajemy rynki
czynników produkcji i opis technologii
produkcji.
Koszty
Koszty
(produkcja
(produkcja
pomarańczy) jabłek)
Zasób
Gosp.1
(wartość)
Zasób
Gosp.2
(wartość)
Kapitał
30
30
20
40
Praca
25
15
10
30