wpływ parametrycznej niepewności modelu na

WpłyW parametrycznej niepeWności modelu
na zmiany WspółczynnikóW Wzmocnień
automatycznej stabilizacji samolotu
Jerzy Graffstein
Instytut Lotnictwa
Streszczenie
Jakość automatycznej stabilizacji dla wybranych praw sterowania jest zależna od wartości
współczynników wzmocnienia. W pracy zaproponowano metodykę syntezy praw sterowania wykorzystującą całkowo-kwadratowy wskaźnik jakości. Przy tak przyjętej metodzie decydujący wpływ
na wartość omawianych współczynników ma dynamika sterowanego obiektu i otaczające go środowisko. Poprawność wyznaczenia tych wartości zależy od jakości matematycznego modelu rozważanego obiektu. Wskazano czynniki determinujące niepewność modelu. Pokazano wpływ
wybranych właściwości obiektu na zmiany wartości parametrów automatycznej stabilizacji. Omówiono sposób wyliczania zakresu zmian tych parametrów. Przedstawiono i omówiono przykłady
wyników obliczeń zakresu zmian badanych współczynników dla różnego stopnia niepewności modelu.
WSTĘP
Sposób działania automatycznej stabilizacji i jej efektywność zależy w sposób istotny od struktury praw sterowania i wartości współczynników wzmocnienia. Dla przyjętej formy praw sterowania decydujący wpływ na wartość współczynników ma dynamika automatycznie
stabilizowanego obiektu. Poprawność wyznaczenia tych współczynników dla rozważanej metody zależy od jakości matematycznego modelu ruchu danego obiektu.
Przy ocenie matematycznego modelu bierzemy przede wszystkim pod uwagę zgodność z zachowaniem rzeczywistego obiektu – podobieństwo reakcji wywołanej zmianami wartości sterujących. Do istotniejszych źródeł powodujących niezgodności z rzeczywistym obiektem należy
zaliczyć:
• uproszczenia matematycznego opisu modelu dynamiki – określane jako niepewność strukturalna,
• błędy identyfikacji modelu wpływające na wartości parametrów matematycznych równań –
nazywane niepewnością parametryczną,
• pominięcie oddziaływań o charakterze wewnętrznych zakłóceń pochodzących od różnego
rodzaju systemów pokładowych np. urządzenia pilotażowo-nawigacyjne, układ sterowania,
układ napędu, itp.,
• uproszczenia opisu wpływu zakłóceń zewnętrznych pochodzących od warunków otoczenia
np. ruch powietrza, oblodzenie, opady itp.
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
65
Wymagania stawiane przy tworzeniu matematycznego modelu dotyczą uzyskania najlepszej
dokładności odwzorowania reakcji nie tylko na sygnały sterujące ale również na zakłócenia
zewnętrzne i wewnętrzne.
Badając wpływ różnych źródeł niezgodności modelu na wartości współczynników praw
sterowania należy uwzględnić najbardziej niekorzystne przypadki ale jednocześnie takie, które
mogą wystąpić w rzeczywistych warunkach.
meToda Wyliczania WSPóŁczynnikóW PraW STeroWania
auTomaTycznie STabilizoWaneGo SamoloTu
Sterowanie stabilizujące ruch samolotu w rozważanym przypadku odbywa się w czterech kanałach: pochylania, odchylania, przechylania i prędkości według poniżej przedstawionych praw
sterowania:
(1)
(2)
(3)
(4)
Ogólny, nieliniowy model dynamiki ruchu zapisany w formie [7], [10], [3]:
(5)
(macierze
opisano w [7], [10]) można poddać linearyzacji wokół chwilowego punktu równowagi, określonego przez wektory x0 i u0 tak, że f (x0, u0) = 0 i wybranego w otoczeniu
typowych warunków eksploatacji. Otrzymany model liniowy o postaci
, dobrze odzwierciedla zachowanie rozważanego obiektu w pewnym otoczeniu punktu (x0, u0). Gdzie
x = [U, V, W, P, Q, R, z1, F, Q, W]T – wektor zmiennych stanu, u = [dL, dH, dL, dT]T – wektor sterowań
(kątowe położenia trzech powierzchni sterowych i położenie manetki gazu) oraz macierze stanu:
a = [Aij]iÎ{1,...,n}, jÎ{1,...,n} Î R[n·n] i sterowania b = [Bij]iÎ{1,...,n}, jÎ{1,...,m} Î R[n·m] są określone jako
odpowiednie pochodne cząstkowe f = [f1,…,fn]T przy czym przybliżone wartości ich elementów
można obliczyć z zależności [4], [7]:
(5)
Wykorzystując zlinearyzowany matematyczny model dynamiki samolotu rozwiązano algebraiczne równanie Riccatiego [1], [4] i [9]:
(6)
spełniające warunek minimalizacji całkowego wskaźnika jakości [7]:
(7)
gdzie Qw i Rw oraz Nw są dodatnio określonymi wagowymi macierzami. Odzwierciedlają one
z jednej strony udział w procesie jakość sterowania (np. wielkość uchybu i czas regulacji) a z drugiej strony ilości energii wydatkowanej w procesie sterowania. W pracy przyjęto, że macierze
Qw i Rw oraz Nw posiadają tylko nie zerowe elementy diagonalne i są wyliczane wg zależności:
66
PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
(8)
gdzie:
ximax – maksymalny zakres zmian i-tej wartości zmiennej stanu,
uimax – maksymalny zakres zmian i-tej wartości zmiennej sterującej.
Wyliczona z równania (7) symetryczna macierz P pozwala na wyznaczenie współczynników
kWS zgodnie z:
(9)
Zgodnie z (9) wyliczone współczynniki wzmocnień praw sterowania automatycznej stabilizacji samolotu o nominalnych parametrach masowych (1050 kg) i aerodynamicznych lecącego
poziomo na wysokości 200 m, z prędkością 50 m/s zamieszczono w tabeli 1. Podane wartości
wykorzystano w pracy jako punkt odniesienia dla omawianych badań.
Tab. 1. Współczynniki wzmocnień
0.3041
0.1764
-1.7733
0.1152
-13.658
0.0316
0.075
-1.928
-0.1881 -0.3219
0.0107
1.083
-0.3166
6.2263
2.4792
452.1
23.5
-177.1
-3.9
-140.1
Współpraca układu automatycznej stabilizacji ruchu samolotu z elementami stanowiącymi
jego wyposażenie została w sposób schematyczny pokazana na rysunku 1.
Rys. 1. Ogólny schemat funkcjonowania automatycznej stabilizacji lotu
Zgodnie z przedstawioną strukturą uchyb stanowi różnicę pomiędzy zmiennymi zadanymi
a wartościami zmierzonymi przez systemy pomiarowe. Na podstawie wartości tych uchybów
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
67
prawa sterowania wyznaczają sygnały służące do sterowania układami wykonawczymi. Wspomniane układy zapewniają odpowiednie położenie kątowe powierzchni sterowych samolotu i regulację układu napędowego. Na zachowanie się obiektu automatycznie stabilizowanego mają
wpływ zakłócenia pochodzące od niepewności modelu (oznaczone symbolem D) i czynniki pochodzące od otoczenia, w którym odbywa się ruch obiektu.
WPŁyW ParameTryczneJ niePeWnoŚci modelu na WSPólczynniki
Wzmocnień –PrzykŁady elemenTarne
Parametryczna niepewność modelu spowodowana jest ograniczoną dokładnością identyfikacji
matematycznego modelu i błędami pochodzącymi z przyjętych uproszczeń. Należy przede
wszystkim uwzględnić błędy identyfikacji wartości sił i momentów sił aerodynamicznych i masowych oraz sterujących. Wynika to z problemów związanych z określeniem współczynników
pochodnych aerodynamicznych Cajk oraz momentów bezwładności Jij, masy m, położenia środka
masy xcs dla rozważanego obiektu. W równaniu (5) opisującym matematyczny model ruchu samolotu następujące macierze są funkcjami wyżej wymienionych parametrów:
,
,
. Tego typu zależności po zlinearyzowaniu modelu (5) wywołują zmiany elementów macierzy stanu a i b. To pociąga za sobą odpowiednie zmiany współczynników kWS
wyliczanych z równań (6) do (9).
Na dynamikę stabilizowanego obiektu mają wpływ różnego rodzaju czynniki:
• odkształcenia konstrukcji płata skrzydła, stateczników oraz powierzchni sterowych
powodujące zmianę charakterystyk aerodynamicznych samolotu,
• zmiany wielkości parametrów masowych samolotu wynikające ze zużycia paliwa oraz jego
przemieszczania a także niedokładnej znajomości położenia dodatkowych ładunków
w różnych obszarach samolotu [7],
• różnice pomiędzy zmiennymi sterującymi zadawanymi a realizowanymi wynikające z odkształceń, luzów i niedokładności mechanicznych elementów systemów wykonawczych oraz
opóźnienia reakcji serwomechanizmów [5],
• błędy i opóźnienia systemów pomiarowo-wyliczających [6],
• zakłócenia pochodzące od pracy układu napędowego.
Ponadto na obiekt działają zewnętrzne zakłócenie wpływające na przebieg ruchu między innymi przemieszczanie się otaczającego powietrza, które w zależności od charakteru określane
jest jako np. wiatr lub turbulencja.
Rys. 2. Wpływ niepewności modelu (zmienne masowe) na współczynniki wzmocnienia
68
PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Pełna lista wszystkich parametrów wpływających w różnym stopniu na zmiany współczynników wzmocnienia jest dłuższa od podanej powyżej [7]. Większość najistotniejszych czynników
można podzielić na trzy oddzielne grupy: zmienne opisujące ruch obiektu, zmiany i niedokładności charakterystyk aerodynamicznych oraz zmiany i błędy danych masowych.
Rys. 3. Wpływ niepewności modelu (zmienne aerodynamiczne) na współczynniki wzmocnienia
W początkowym etapie pracy badano wrażliwość współczynników wzmocnienia na niepewność modelu oddzielnie dla poszczególnych odchyleń wartości aerodynamicznych i ma
sowych. Przykładowe wyniki takich obliczeń pokazano na wykresach (rys. 2¸3) gdzie błąd
wybranych parametrów mieścił się przeważnie w przedziale
Widoczne jest duże zróżnicowanie oddziaływania na wzmocnienia nie tylko co do wartości
ale i kształtu przebiegu Występuje nieliniowy charakter a także zmiany w przybliżeniu liniowe.
Pokazana na wykresie zmiany masy samolotu (rys. 2) wywołują nieliniowe zachowanie
współczynników wzmocnienia – dla współczynnika
widoczny jest punkt siodłowy. Naj-
większą wrażliwość na zmiany masy odnotowuje się dla współczynnika . Błędy momentów
bezwładności wywołują w przybliżeniu liniowe zmiany wzmocnień w zilustrowanych kanałach:
pochylania, przechylania i odchylania. Zmiany współczynników spowodowane niepewnością
modelu aerodynamicznego mają także w przybliżeniu linowy charakter. Analiza stopnia wpływu
tego ostatniego typu niepewności modelu wskazuje na bardzo duże zróżnicowanie. Współczynnik
ulega dużym wahaniom wywołanym zmianami pochodnej aerodynamicznej
(momentu odchylania po wychyleniu lotek), ale jest znacznie mniej wrażliwy na błędy pochodnej
(momentu odchylania po prędkości przechylania). Przedstawione wyżej przykłady pozwalają na ogólne zorientowanie się w jaki sposób elementy niepewności modelu wpływają na
parametry automatycznej stabilizacji. Nie zaprezentowano kompletu uzyskanych wyników
ponieważ wymaga to zamieszczenia zbyt dużej ilości wykresów (240 charakterystyk) co przekracza sensowną objętość artykułu.
meToda i PrzykŁady zinTeGroWaneGo badania zmian WSPóŁczynnikóW
Wzmocnienia dla ParameTryczneJ niePeWnoŚci modelu
Oddzielne badanie wpływu poszczególnych parametrów modelu na zmianę współczynników
wzmocnienia [7] nie pozwala na jednoczesne oszacowanie zakresu zmian tych współczynników
w wyniku istnienia niepewności w rzeczywistych warunkach stabilizowanego lotu. Z drugiej
strony podejście globalne polegające na badaniu wszystkich czynników niepewności jednocześnie jest zadaniem skomplikowanym. Przystępując do próby rozwiązania omawianego zadania
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
69
analizowano oddziaływanie całej grupy parametrów aerodynamicznych i całej grupy masowej
oraz obu tych grup jednocześnie. W ten sposób kolejne współczynniki można opisać jako funkcje:
Ostatecznie w dalszej części pracy ograniczono się do analizy jednoczesnego (zintegrowanego) wpływu całej wybranej grupy zmiennych aerodynamicznych
i masowych.
Istnieje pewna ilość metod, które mogą posłużyć do wyliczenie największych zmian współczynników wzmocnienia jakie wystąpią dla danego poziomu niepewności modelu. Jedną z nich
opisano w pracy [2] ale w pracy wybrano metodę polegającą na przebadaniu wszystkich możliwych kombinacji wartości minimalnych i maksymalnych badanych parametrów. Ta metoda stanowi kompromis pomiędzy stopniem złożoności i jakością wyników.
W powyższej metodzie posługujemy się wartością maksymalnego odchylenia od wartości nominalnej każdego badanego parametru określonych symbolem
. Jest to spodziewany błąd
z jakim wyznaczono współczynniki aerodynamiczne i dane masowe na drodze obliczeniowej
albo eksperymentalnej (dmuchania tunelowe lub badania w locie oraz badania naziemne).
W dalszych rozważaniach rozpatrywano różne poziomy tego błędu z przedziału
Obliczenia z wykorzystaniem przyjętej metody dla wszystkich 15 współczynników wzmocnienia praw sterowania (1-4) przeprowadzono na przykładzie niedużego samolotu o masie 1050 kg
i lecącego na wysokości 200 m z prędkością 50 m/s.
Rys. 4. Rozkład wartości współczynników
70
i
dla grupy zmiennych aerodynamicznych
PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Rys. 5. Rozkład wartości współczynników
i
dla grupy zmiennych masowych wzmocnienia
W dalszej części pracy pokazano na wybranych przykładach maksymalne zakresy zmian
współczynników zależne od wielkości błędu wybranych parametrów aerodynamicznych i masowych. Do dalszych rozważań wybrano 10 współczynników aerodynamicznych, masę samolotu,
przesunięcie środka masy wzdłuż osi x i 4 momenty bezwładności (10):
dla których ilość możliwych niepowtarzających się kombinacji uwzględnianych w obliczeniach
dla każdego współczynnika wzmocnienia w przyjętej metodzie wynosiła N = 65536. Oddzielnie
badany wpływ błędów grupy parametrów masowych wymaga N = 64 kombinacji a dla analizowanej grupy współczynników aerodynamicznych ilość ta wynosi N = 1024. Charakterystyczną
cechą otrzymanych wyników jest nierównomierny rozkład wartości współczynników oraz ograniczona ilość poziomów w zależności od badanego współczynnika.
Rys. 6. Rozkład wartości współczynników
i
dla obu grup jednocześnie
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
71
Rys. 7. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji obu grup jednocześnie
Na rysunku 4 pokazano uzyskane za pomocą przyjętej metody (dla
) wartości współ-
czynnika
od zmian parametrów aerodynamicznych skupione w trzech obszarach. Ten sam
współczynnik (rys. 5) dla zmiennych masowych grupuje swoje wartości w dwóch obszarach, ale
dla badanych jednocześnie obu typów parametrów (rys. 6) skupiony jest w 4 strefach. Drugi
z przykładowo pokazanych współczynników
posiada bardziej regularny obraz z większą
liczbą wartości (rys. 6). Dla obu współczynników obserwowana jest podobna prawidłowość najmniej poziomów wartości osiągają dla zmian parametrów masowych, więcej dla aerodynamicznej a najwięcej dla przypadku jednoczesnych zmian w obu grupach.
Rys. 8. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji zmiennych aerodynamicznych
72
PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Rys. 9. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji zmiennych masowych
W rozważanej metodzie procentowe zmiany wartości poszczególnych współczynników
wzmocnienia w funkcji poziomu niepewności modelu (dla założonego przedziału zmian) przyjmują w zależności od wybranego współczynnika różne przebiegi i szeroką gamę maksymalnych
wartości. Dla skrajnych przypadków pokazanych na wykresie (rys. 8) maksymalna zmiana
współczynnika
jest poniżej 0.3% a dla współczynnika
osiąga 1100% (rys. 8). Jednoczesne
zmiany w obu badanych grupach powodują wzrost maksymalnych wartość współczynników
a w skrajnym przypadku
do poziomu 1300% (rys. 7). Wyraźnie mniejsze wahania badanych
współczynników wywołują niedokładności parametrów masowych – wszystkie maksymalne
wartości poniżej 72% (rys. 9). Procentowe zmiany badanych wielkości wskazują w wielu przypadkach na brak symetrii względem osi Oy. Szczególnie wyraźnie obserwuje się to zjawisko na
przykładzie współczynników
(rys. 7 i 8). Takie zachowanie powoduje konieczność analizy
zmian współczynników oddzielnie dla błędów z ich dolnego i oddzielnie dla górnego zakresu.
Rys. 10. Porównanie zmian współczynników:
i
w funkcji różnych grup zmiennych
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
73
Rys. 11. Porównanie zmian współczynników:
i
w funkcji różnych grup zmiennych
Porównanie zmian na rysunkach 10 i 11 wybranych współczynników świadczy o dużym zróżnicowaniu wrażliwości parametrów stabilizacji na niepewność modelu. Błędy parametrów aerodynamicznych mają dominujący wpływ i nadają przebiegom wzmocnień charakter nieliniowy.
Udział parametrów masowych w przebiegach wzmocnień jest mniejszy i bardziej zróżnicowany,
dla współczynnika
przy dodatnich zmianach parametrów nie obserwuje się wpływu. Biorąc
pod uwagę częściej spotykany zakres błędów parametrów masowych i aerodynamicznych mieszczący się w przedziale
maksymalne procentowe zmiany wszystkich
współczynników wzmocnień z wyjątkiem jednego ( K ΦV ) nie przekraczają 100%. Zaprezentowana metoda pozwala na uzyskanie najszerszego zakresu zmian współczynników wzmocnień
przy uwzględnieniu najbardziej niekorzystnych sytuacji, które mogą wystąpić w rzeczywistych
warunkach dla wybranego obiektu.
WnioSki
W oparciu o analizę wyników uzyskanych z cyfrowych obliczeń można wyciągnąć następujące
wnioski stanowiące istotne wskazówki przy analizie algorytmów automatycznej stabilizacji
ruchu samolotu:
1. Parametryczna niepewność modelu posiada zróżnicowany wpływ na wartości współczynników wzmocnień w całym ich zbiorze i poszczególnych kanałach automatycznej stabilizacji.
2. Zwiększenie ilości badanych czynników niepewności powoduje znaczny wzrost ilości kombinacji i niezbędnych obliczeń.
3. Jednoczesne uwzględnienie obu grup parametrów powoduje zwiększenie zakresu zmian analizowanych wzmocnień w porównaniu z przedziałami otrzymywanymi oddzielnie dla każdej
z badanych grup.
4. Dla wszystkich wzmocnień wpływ błędów parametrów masowych jest mniejszy niż danych
aerodynamicznych.
5. W badaniach skutków niepewności modelu na wartości współczynników wzmocnień niezbędna jest analiza wpływu oddzielnie dla błędów z ich dolnego i oddzielnie dla górnego zakresu.
74
PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
liTeraTura
[1] athans m., Falb P.: Sterowanie optymalne, wstęp do teorii i jej zastosowania. WNT, Warszawa
1969.
[2] avanzini G.: Trajectory tracking for a helicopter model. The Aeronautical Journal, No. 2, 2000,
pp. 69-76.
[3] baarspul m.: Review of Flight Simulation Techniques. Progress in Aerospace Sciences, vol.
27, No.1, Pergamon Press, 1990.
[4] Graffstein J., krawczyk m.: Możliwości uproszczeń układu automatycznego sterowania
małym samolotem bezpilotowym. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Mechanika
Nr 56, T 2, Rzeszów, 2001.
[5] Graffstein J.: Wpływ dynamiki układu wykonawczego na ruch automatycznie sterowanego
obiektu. Materiały XI Ogólnopolskiej Konferencji Mechanika w lotnictwie, PTMTiS, Warszawa 2004.
[6] Graffstein J.: Wpływ dynamiki pomiaru prędkości kątowej na ruch automatycznie sterowanego obiektu. Monografia Automatyzacja i eksploatacja systemów sterowania i łączności,
Gdynia 2005.
[7] Graffstein J.: Wpływ charakterystyk obiektu i przebiegu jego ruchu na parametry układu stabilizacji lotu. Materiały XI Ogólnopolskiej Konferencji „Mechanika w lotnictwie”, PTMTiS,
Warszawa, 2008, s. 109-126.
[8] Graffstein J.: Metoda sterowania samolotem i jej dokładność podczas ruchu wzdłuż zadanej
trajektorii. Zeszyty Naukowe Akademia Marynarki Wojennej, Nr 177B Gdynia, 2009, s. 79-88.
[9] kaczorek T.: Teoria sterowania. PWN. Warszawa, t. 1, 2, 1981.
[10]Maryniak J.: Ogólny model matematyczny sterowanego samolotu. Mechanika w Lotnictwie,
PTMTiS, Warszawa 1992.
J. Graffstein
an inFluence oF model ParameTric uncerTainTy on Gain FacTorS
VariaTion in aircraFT auTomaTic STabilizaTion
Abstract
A quality of automatic stabilisation, assessed for selected control laws, depends on gain parameters values. In the method of control law synthesis with integral – quadratic quality index is proposed. In case of such a method, the dynamics of considered object and environment has a decisive
impact on values of discussed parameters. Correctness of assessment of these values depends on
the quality of mathematical model of the object. Factors generating the model uncertainty are
identified. An influence of selected features of the object on variations of automatic stabilisation
parameters is showed. Method for computing the range of these parameters variations are discussed. Results of computations of the range of parameters variations are presented for several
levels of model uncertainty.
WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY ...
75