teoria gier

Wykład monograficzny
Elementy teorii gier kombinatorycznych
Dr Wojciech Wieczorek
Teoria gier kombinatorycznych
O czym będzie mowa
◊ Motywacja
◊ Prezentacja kilku gier kombinatorycznych
◊ Teoria: notacja, liczby jako gry, suma gier
◊ Przydatne twierdzenia
◊ Program CGSuite
◊ Przykład rozpracowania gry
◊ Przymiarka do zaliczenia (test wyboru)
Teoria gier kombinatorycznych
Historia teorii gier
kombinatorycznych
◊ C. L. Bouton, Analysis
of Nim [1902]
◊ Sprague [1936], Grundy
[1939], Impartial games
and Nim
◊ Knuth Surreal Numbers
[1974]
◊ Conway On Numbers and
Games [1976]
◊ Prof. Elwyn Berlekamp
(UCB), Conway, & Guy
Winning Ways [1982]
Teoria gier kombinatorycznych
Kiedy gra jest kombinatoryczna?
• Dwaj gracze (L i R) naprzemiennie wykonują ruchy
• Brak losowości (rzucanie kostką lub tasowanie kart)
• Obaj gracze mają całkowitą informację o grze
◊ Brak ukrytej informacji, jak w niektórych grach
• Gra jest skończona
• Nie ma remisów
• Wygrywa ten, który wykonał ruch jako ostatni!
Teoria gier kombinatorycznych
Które gry „odpadają”, a które
wchodzą?
• Odpadają
◊ Gry karciane
◊ Z losowaniem
• Wchodzą
◊ Nim, Domineering, Amazons, Clobber i in.
• Wchodzą, ale pod warunkiem
◊ Szachy, Othello, Go i in.
Teoria gier kombinatorycznych
Klasyfikacja gier
• Impartial
• Partisan
◊ Obydwaj gracze mają
dokładnie te same
opcje
◊ Przykład: Nim
◊ Gracze mają różne
opcje
◊ Przykład: Domineering
Teoria gier kombinatorycznych
Nim: gra typu „impartial”
• Reguły:
◊ Kilka rzędów pionów
◊ Gdy twoja kolej, z wybranego
rzędu usuń dowolną liczbę pionów,
być może wszystkie
• Cel
◊ Usuń ostatni pion
• Przykład: 4 rzędy (2,3,5,7)
Teoria gier kombinatorycznych
2
3
5
7
Domineering: gra typu „partisan”
• Reguły:
◊ Połóż kostkę domina na planszy
◊ L kładzie pionowo
◊ R kładzie poziomo
• Cel
◊ Połóż kostkę jako ostatni
Left (bLue)
Right (Red)
• Przykładowa gra
• Pytanie: kto wygrywa?
Teoria gier kombinatorycznych
Co chcemy wiedzieć
o konkretnej grze?
• Jaka jest wartość gry?
◊ Kto prowadzi i jak dużą różnicą punktów?
◊ Jak duży jest następny ruch?
◊ Czy istotne jest na kogo przypada następny ruch?
• Jaka jest startegia wygrywająca?
◊ Znać wartość gry oraz strategię wygrywającą oznacza
mieć ją rozpracowaną
Teoria gier kombinatorycznych
Definicja gry kombinatorycznej
• Gra G pomiędzy dwoma graczami, L i R,
definiowana jest za pomocą zbiorów gier:
◊ G = {GL | GR }
◊ GL to opcje dla L (tj., pozycja do której L może
doprowadzić w nast. ruchu), podobnie dla R.
◊ Zatem jeśli G = {a, b, c, … | d, e, f, …}, GL
oznacza a albo b albo c albo … oraz GR oznacza
d albo e albo f albo ...
Teoria gier kombinatorycznych
Przykłady opcji i liczb
• Oblicz wartość
pozycji G:
G=
={
|
• Oblicz wartość
pozycji G:
}
={ 1 | –1 }
= ±1
Left
Right
G=
={
,
={–1 ,
|
}
0 | 1
}
={0 | 1}
= 1/2
To jest przykład liczby.
L wygrywa niezależnie, kto zaczyna.
Teoria gier kombinatorycznych
Negacja gier
• Negacja gry G - definicja
◊
◊
◊
◊
– G = {– GR | – GL}
Podobna do zamiany miejsc z przeciwnikiem
W grach typu „impartial” zachodzi – G = G
Przykłady:
Nim
Domineering
1
1
2
2
–G
G
G
Rotacja
90°
–G
Teoria gier kombinatorycznych
Drzewo gry
G
–G
Suma gier
• Definicja:
◊ G + H = {GL + H, G + HL | GR + H, G + HR}
◊ Gracz na którego przypada ruch wybiera jeden
ze składników i wykonuje tam ruch.
◊ Przykład:
+
={
,
+
,
+
Teoria gier kombinatorycznych
+
}
Dziwne wartości gier
• Jaka gra jest fuzzy?
◊ Nie jest > 0, < 0 ani = 0, lecz nieporównywalna 0
◊ Jej położenie na skali jest nieokreślone
• Przykłady gier/liczb i nie-liczb!
-2
-1.5 -1
-.5
0
.5
1
Teoria gier kombinatorycznych
1.5
2
Uwagi dodatkowe
• Pojęć jest więcej!
◊ Inne wartości
• Up, Down, Tiny i in.
◊ Upraszczanie
◊ Dominacja
• Rozważamy gry:
◊
◊
◊
◊
Ostatni grający wygrywa
Nieistotne czyj ruch
Klucz: Suma gier
Dużo (większość?) gier
nie spełnia tych założeń!
• Co wtedy?
Teoria gier kombinatorycznych