Algebra - zestaw 13 - 18-24 I 2017 Model przepływów

Algebra - zestaw 13 - 18-24 I 2017
Model przepływów międzygałęziowych Leontiewa.
Problem:
Jaki powinien być poziom produkcji poszczególnych gałęzi przemysłu, aby całkowity
popyt na wytwarzane przez nie produkty był zaspokojony?
Założenia: Gospodarka jest podzielona na 𝑛 gałęzi przemysłu, każda gałąź wytwarza
jeden, jednorodny produkt, każda gałąź zużywa do produkcji kombinację czynników w
ustalonej proporcji, 𝑘-krotna zmiana nakładów powoduje 𝑘-krotną zmianę
⎡ ⎤produkcji.
𝑥1
⎣
Oznaczenia: 𝑖, 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛} - numery gałęzi przemysłu. 𝑥 = ⋅ ⋅ ⋅⎦ to wektor
𝑥𝑛
produktów całkowitych (globalnych), gdzie 𝑥𝑖 to produkt całkowity gałęzi 𝑖, czyli
wielkość produkcji wytworzona przez gałąź 𝑖 w ustalonym okresie (wyrażona w tych
samych jednostkach pieniężnych).
𝑦𝑖𝑗 jest to ta część produktu globalnego produktu gałęzi 𝑖, która jest zużywana na potrzeby
produkcyjne gałęzi 𝑗. Macierz 𝑌 = [𝑦𝑖𝑗 ] nazywamy tabelą przepływów międzygałęziowych.
⎡ ⎤
𝑑1
𝑑 = ⎣⋅ ⋅ ⋅⎦ to wektor produktów końcowych lub popytów końcowych, gdzie 𝑑𝑖 to
𝑑𝑛
produkt końcowy gałęzi 𝑖, czyli wielkość produkcji, jaka pozostaje (np. na zaspokojenie
popytu zewnętrznego, eksport) po zużyciu na cele produkcyjne we wszystkich gałęziach
przemysłu.
𝑦
𝑐𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗𝑗 - zapotrzebowanie na nakłady produktu 𝑖 do wytworzenia jednostki produktu
𝑗. Interpretujemy to następująco: do wytworzenia 1 jednostki dobra 𝑗 potrzebne jest
𝑐𝑖𝑗 jednostek dobra 𝑖. Macierz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗 ] to macierz współczynników kosztów lub
nakładów (ew. macierz konsumpcji).
𝐿 = 𝐼 − 𝐶 nazywamy macierzą Leontiewa. Zawsze zachodzi det 𝐿 ∕= 0.
Konsekwencje:
𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + . . . + 𝑦𝑖𝑛 + 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 .
𝐿 ⋅ 𝑥 = 𝑑. Podobnie, gdy rozważamy zmianę poziomu produkcji Δ𝑥 lub zmianę produktu
końcowego Δ𝑑, dostajemy 𝐿 ⋅ Δ𝑥 = Δ𝑑.
Zadanie 1. Dana jest macierz przepływów międzygałęziowych pewnej gospodarki:
⎤
⎡
30 30 10
[𝑦𝑖𝑗 ] = ⎣60 10 20⎦
15 20 5
oraz wielkości produktów końcowych 𝑑1 = 80, 𝑑2 = 10, 𝑑3 = 10.
a) Jakie są wartości produkcji całkowitych poszczególnych gałęzi?
b) Znaleźć macierz współczynników kosztów.
Zadanie 2. Dana jest macierz przepływów międzygałęziowych:
⎡
⎤
200 0
50
[𝑦𝑖𝑗 ] = ⎣ 30 250 0 ⎦
0 100 180
oraz wielkości produktów końcowych 𝑑1 = 50, 𝑑2 = 70, 𝑑3 = 20.
a) Obliczyć o ile wzrośnie wielkość produktów końcowych, jeśli produkcja całkowita
wzrośnie odpowiednio o Δ𝑥1 = 30, Δ𝑥2 = 140, Δ𝑥3 = 60.
b) O ile powinny wzrosnąć produkcje całkowite poszczególnych gałęzi, jeżeli zażąda
się wzrostu wielkości produktów końcowych w każdej gałęzi odpowiednio o Δ𝑑1 = 20,
Δ𝑑2 = 21, Δ𝑑3 = 22.
1
2
c) Przy niezmienionych warunkach technologicznych, ustalić plan produkcji całkowitych
tak, by gałąź pierwsza wytwarzała produkt końcowy o wartości 30, druga 50, a trzecia 4.
Jakie będą wtedy przepływy międzygałęziowe z gałęzi pierwszej?
Zadanie 3. W modelu
Leontiewa
dane jest:
[
]
[ ]
0, 4 0, 3
21
a) Macierz 𝑌 =
oraz wektor produktów końcowych 𝑑 =
. Wyznaczyć
0, 1 0, 6
42
wektor produkcji globalnej i tabelę przepływów międzygałęziowych. O ile powinna wzrosnąć produkcja globalna, jeśli zażądamy wzrostu wielkości produktów końcowych o
Δ𝑑1 = 3, Δ𝑑2 = 3?
⎡
⎤
⎡ ⎤
0, 8 0, 1 0, 1
80
b) Macierz 𝑌 = ⎣0, 1 0, 5 0, 2⎦ i wektor produkcji globalnej 𝑑 = ⎣50⎦. Wyznaczyć
0, 1 0, 2 0, 7
70
wektor produktów końcowych. O ile wzrośnie wielkość produktów końcowych, jeśli produkcja całkowita wzrośnie o Δ𝑥1 = 20, Δ𝑥2 = 50, Δ𝑥⎡3 = 30?
⎤
50 20 20
c) Tablica przepływów międzygałęziowych 𝑌 = ⎣30 30 10⎦ i wektor produkcji
20 50 15
⎡ ⎤
150
⎣
globalnej 𝑥 = 90 ⎦. Wyznaczyć macierz współczynników kosztów i wektor produk130
tów końcowych.
[ 5
]
0
8
d) Macierz Leontiewa 𝐿 =
. Jakie będą wartości produkcji globalnych, gdy
− 81 12
wartości produktów końcowych są odpowiednio równe 10 i 20? Jakie będą przepływy z
gałęzi pierwszej, gdy produkcja globalna tej gałęzi zmaleje o 10?
Zadanie 4. Rozważamy gospodarkę złożoną z trzech gałęzi produkcji: węgla, elektryczności i kolei. Wyprodukowanie węgla o wartości 1 dolara wymaga wykorzystania
energii elektrycznej o wartości 0,25 dolara i transportu o koszcie 0,25 dolara. Produkcja
energii elektrycznej o wartości 1 dolara wymaga zużycia węgla o wartości 0,65 dolara,
elektryczności o wartości 0,05 dolara na jego przerób i 0,05 dolara na jego transport.
Dostarczenie usługi transportowej o wartości 1 dolara wymaga wykorzystania węgla o
wartości 0,55 dolara i energii elektrycznej o wartości 0,1 dolara. Tygodniowy popyt
zewnętrzny na węgiel jest na poziomie 50 000 dolarów, na elektryczność zaś na poziomie
się 25 000 dolarów. Nie ma ustalonego popytu zewnętrznego na transport kolejowy.
Wyznacz tygodniowy plan produkcji dla omawianych gałęzi.
Zadanie
[
]5. W modelu Leontiewa dana jest macierz współczynników nakładów 𝑌 =
0, 5 0, 3
Jaka będzie zmiana produkcji globalnej (całkowitej) Δ𝑥, jeśli zażądamy wzrostu
0, 4 0, 5
produktów końcowych (eksportowych) o Δ𝑑1 = 50, Δ𝑑2 = 100? O ile zmienią się elementy drugiego wiersza tabeli⎡przepływów
międzygałęziowych?
⎤
⎡
⎤
150
0, 2 0, 3 0, 2
Odpowiedzi: Zadanie 1. a) ⎣100⎦, b) 𝐴 = ⎣0, 4 0, 1 0, 4⎦.
50
0, 1 0, 2 0, 1
Zadanie 2. a) Δ𝑑1 = 0, Δ𝑑2 = 37, Δ𝑑3 = −16, b) Δ𝑥1 = 130, Δ𝑥2 = 119, Δ𝑥3 = 140,
c) 𝑥1 = 180, 𝑥2 = 238,
[ 𝑥3 ]= 180, 𝑦11
[ = 120,] 𝑦12 = 0,[𝑦13]= 30.
100
40 39
10
Zadanie 3. a) 𝑌 =
, [𝑦𝑖𝑗 =
, Δ𝑌 =
,
130
10 78
10
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡1 2 2⎤
4
−4
60
3
9
13
1
1
1 ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎣
b) 𝑦 = 3 , Δ𝑦 = 17 , c) 𝐴 = 5 3 13 , 𝑦 = 20⎦;
2
5
3
3
−3
45
15
9
26
[ ]
16
d) 𝑌 =
, 𝑦11 = 2, 25 , 𝑦12 = 0.
44
3
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski