Skrypt z inwersji - Mat

INWERSJA – podstawowe wlasnosci
Inwersja – przeksztalcenie geometryczne, zdefiniowane wzgledem okregu
o=(O,r), dla ktorego obrazem punktu A jest punkt A' taki, ze:
A '∈OA oraz OA⋅OA '=r 2
Inwersja zachowuje katy – tj, obrazy dwoch prostych, prostej i okregu, badz dwoch
okregow przecinaja sie pod takim samym katem.
Uwaga: kat przeciecia dwoch okregow to kat pomiedzy stycznymi do danych okregow w ich punkcie
przeciecia – w przypadku gdy dane okregi sie nie przecinaja nie uzywamy tego pojecia.
Bezposrednio z definicji wynika ze:
• zlozenie dwoch inwersji wzgledem tego samego okregu jest tozsamoscia.
• zlozenie dwoch inwersji o roznych promieniach, ale tym samym srodku jest
jednokladnoscia (wniosek: w wiekszosci przypadkow mozna pominac promien
inwersji – stad potocznie mowimy “wezmy inwersje wzgledem [punktu] X”)
• (*) OB'A' ~ OAB - obraz trojkata OAB jest do niego podobny:
• kat AOB = kat A'OB'
2
• stosunek bokow OA/OB = OB'/OA' (poniewaz OA⋅OA '=r =OB⋅OB ' )
• (tozsame z (*)) na czworokacie AA'BB' mozna opisac okrag
Obrazem prostej k w inwersji moze byc:
• gdy prosta k przechodzi przez srodek inwersyjny: ta sama prosta,
• w przeciwnym wypadku: okrag przechodzacy przez srodek inwersyjny.
Dowod (**): wezmy polprosta przechodzaca przez O i prostopadla do prostej
k w punkcie A, znamy polozenie obrazu punktu A (punkt A') – lezy na
poprowadzonej polprostej. Jednoczesnie wiemy, ze dla dowolnego B∈k
trojkat OB'A' jest podobny do OAB (*), zatem kat przy wierzcholku B' jest
rowny katowi przy wierzcholku A, czyli jest prosty – tj. B lezy na okregu o
srednicy OA'.
Obrazem okregu o w inwersji jest:
• gdy okrag przechodzi przez O – prosta (dowod analogiczny do (**), albo
wykorzystanie (**) i faktu ze zlozenie dwoch inwersji o tym samym srodku jest
tozsamoscia)
• w przeciwnym wypadku – okrag
Dowod: wezmy polprosta przechodzaca przez O oraz srodek okregu o.
Oznaczmy punkty przeciecia przez polprostej z okregiem o jako A i B. Dla
dowolnego punktu C mamy: ACB=90 , BAC= , ABC= , oraz =90 ,
korzystajac z faktu (*) otrzymujemy: OC ' A '=OAC=180−BAC=180− ,
oraz OC ' B '=OBC= , a stad
A ' C ' B '=OC ' A '−OC ' B '=180−−=180−=180−90=90 .
Zatem istotnie dla dowolnego punktu z okregu o, jego obraz lezy na okregu o
srednicy A'B'.
Figury stale oraz figury punktow stalych.
W inwersji figura punktow stalych jest okrag inwersyjsny (gdyz OA=OA'=r).
W inwersji stnieje nieskonczenie wiele prostych stalych (tj kazdy punkt z prostej
przechodzi na inny punkt z tej prostej; wszystkie proste stale przechodza przez O)
oraz nieskonczenie wiele okregow stalych (tj kazdy punkt z okregu przechodzi na
inny punkt z tego samego okregu). Warunki na okrag staly (rownowazne):
• okrag styczny do polprostej przechodzacej przez srodek okregu inwersyjnego w
punkcie przeciecia tej polprostej z okregiem inwersyjnym
• potega [punktu] srodka okregu inwersyjnego wzgledem rozpatrywanego okregu
wynosi r 2
• okrag przecina okrag inwercyjny pod katem prostym
• okrag opisany na czworokacie AA'BB' (patrz (*))
Konstrukcja obrazu punktu A:
1. Gdy A lezy na zewnatrz okregu:
prowadzimy styczna do okregu inwersyjnego przechodzaca przez A, punkt
stycznosci (oznaczony B) rzutujemy na polprosta OA, otrzymujac punkt A'
bedacy obrazem punktu A.
2. Gdy A lezy wewnatrz okregu:
analogicznie tylko, ze w druga strone.
Dowod poprawnosci wynika z podobienstwa trojkatow OBA do OA'B –
OA /OB=OB/OA '  OA⋅OA '=OB2=r 2