Seria 1
Transkrypt
Seria 1
Classical mechanics 101 Zadania wstępne 1. Dla cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych, (ρ, φ, z) oraz (ρ, φ, θ), obliczyć macierz Jacobiego, współczynniki Lamé, wersory krzywoliniowe, krzywoliniowe składowe prędkości oraz przyspieszenia. x = ρsin(φ), (1) y = ρsin(φ), z=z x = rcos(φ)sin(θ), y = rsin(φ)sin(θ), z = rcos(θ) (2) ————–♠————– 2. Przybliżenia i początki Określić, jak w przybliżeniu będzie odbywał się ruch punktu materialnego w polu U (x) w otoczeniu punktu x = a. Przyjmij, że punkt pmaterialny początkowo znajduje się w punkcie a i nie porusza się. Wskazówka: Skorzystać z rozwinięcia U (x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x = a. Przedyskutować przypadki U ′ (a) 6= 0 oraz U ′ (a) = 0, U ′′ (a) 6= 0 ————–♠————– 3. 1 stopień swobody Podać definicję energii kinetycznej, potencjalnej oraz całkowitej dla układu dynamicznego o jednym stopniu swobody (czyt. cząstka 1D (czyt. w jednym wymiarze)), opisanego ogólnie równaniem różniczkowym: d2 x = ẍ = f (x) (3) dt2 Pokazać, że w tym ogólnym przypadku spełniona jest zasada zachowania energii, tzn, E(x(t), ẋ(t)) nie zależy od t. Innymi słowy, że energia całkowita jest całką ruchu dla tego zagadnienia. Wyznaczyć w/w wartości oraz narysować portret fazowy w przestrzeni fazowej dla przypadku: f (x) = −x (4) dla różnych wartości energii całkowitej. ————–♠————– 4. * Tweaking gravity Opisać jakościowo charakter ruchu punktu materialnego w polu: U (r) = − γ α − 3 r r (5) Wskazówka: skorzystać z zasady zachowania energii i zasady zachowania momentu pędu ————–♠————– Zagadnienie 2 ciał 1. * Niezależność ruchów Rozważ układ dynamiczny o dwóch stopniach swobody (czyt. cząstka w 2D, cząstka na płaszczyźnie)): ẍ = f (x), x = [ xx12 ] (6) ”Analyzing a general potential system with two degrees of freedom is beyond the capability of modern science” V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics Dla przypadku: x¨1 x¨2 = −x1 −ω0 x2 Wyznacz energię potencjalną, kinetyczną i całkowitą. Przeanalizuj ruch na płąszczyźnie x1 x2 . Patrz też: Figury Lissajous ————–♠————– 1 (7) 2. Całki ruchu Pokazać, że dla ruchu punktu materialnego pod wpływem siły newtonowskiej: F̄ = −α r̄ r3 (8) istnieją 3 całki ruchu, czyli wielkości niezależne od czasu: - energia: E = − αr + mv 2 2 - moment pędu: L̄ = mr̄ × v̄ - wektor Rungego-Lentz’a: R̄ = mv̄ × L̄ − α r̄r ————–♠————– 3. Zagadnienie 2 ciał Wyznaczyć tory skończonego ruchu dwóch cząstek o masach m1 i m2 , o prawie oddziaływania U (r) = − αr ————–♠————– 4. Planeta LV-426 Statek kosmiczny, lecąc z bardzo daleka z prędkością v, zbliża się do planety LV-426 o znanej masie M. Oblicz odległość h, na jaką statek zbliży się do planety (patrz też rysunek, uwaga, prędkość v2 nie jest dana!): Wskazówka: rozważ całki ruchu ————–♠————– Rysunek 1: Zadanie ”Planeta LV-426” 5. Zmiana orbity W wyniku tarcia w wyższych warstwach atmosfery energia mechaniczna sputnika ziemskiego po wielu okrążeniach zmniejszyła się o 2%. Orbita sputnika została przy tym orbitą kołową. Jak zmieniły się parametry orbity: jej promień r, prędkość sputnika na orbicie v̄, okres obiegu T ? ————–♠————– 6. Zagadnienie Keplera np. Landau & Lifszyc, strona 47 2