Wlasciwosci sygnalów i splot

Właściwości sygnałów i splot
Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów
Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe
charakteryzujące ten sygnał
wartość średnia
1
τ →∞ τ
Z
xsr = lim
τ
2
− τ2
x(t)dt
energia sygnału
τ
2
Z
Ex = lim
τ →∞ − τ
2
moc sygnału
1
Px = lim
τ →∞ τ
Z
τ
2
− τ2
|x(t)|2 dt
|x(t)|2 dt
znak wartości bezwzględnej jest istotny w przypadku sygnałów o
wartościach zespolonych
np, energia wydzielana na oporze
Z
τ
2
E = lim
τ →∞
− τ2
1
u(t)i(t)dt = lim
τ →∞ R
Z
τ
2
Z
2
τ
2
u (t)dt = lim R
− τ2
τ →∞
i2 (t)dt
− τ2
jeśli R = 1Ω, to E = Ex , zaś u(t) lub i(t) odgrywa rolę sygnału
x(t) jest sygnałem o ograniczonej energii jeśli 0 < Ex < ∞
x(t) jest sygnałem o ograniczonej mocy jeśli 0 < Px < ∞
prawdziwe są implikacje:
Ex ∈ (0, ∞) ⇒ Px = 0,
Px ∈ (0, ∞) ⇒ Ex = ∞
klasy sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonej mocy są
rozłączne; sygnał może należeć tylko do jednej z tych klas
Dla sygnału dyskretnego x[n] można zdefiniować wielkości
liczbowe charakteryzujące ten sygnał
wartość średnia
N
X
1
x[n]
N →∞ 2N + 1
n=−N
xsr = lim
energia sygnału
Ex = lim
N →∞
N
X
|x[n]|2
n=−N
moc sygnału
N
X
1
|x[n]|2
N →∞ 2N + 1
n=−N
Px = lim
ã Sygnał x(t) (x[n]) ma skończony czas trwania jeżeli przybiera
wartości niezerowe w przedziale o skończonej długości
ã Sygnały o skończonym czasie trwania – sygnały impulsowe
ã Sygnał x(t) (x[n]) na ograniczoną wartość (jest sygnałem
ograniczonym) jeżeli istnieje taka stała M o skończonej
wartości, że
∀t ∈ (−∞, +∞) |x(t)| 6 M
lub
−∞ < n < +∞
|x[n]| 6 M
ã Uwaga! Każdy sygnał ograniczony o skończonym czasie
trwania ma ograniczoną energię
ã Sygnały występujące w przyrodzie zawsze pochodzą ze
źródeł o ograniczonej energii
ã Sygnały o ograniczonej mocy nie mają fizycznych
odpowiedników, ale są wygodnymi modelami
teoretycznymi, zwłaszcza przy analizie sygnałów
okresowych
ã Nie można uzasadnić celowości stosowania sygnałów o
nieskończonej mocy
ã Sygnały o zerowej energii są mało interesujące i nie są
stosowane nawet teoretycznie
Przykład 1
1
Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc sygnału
x(t) = 2 sin(t) + cos(t) + 1
2
Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc impulsu
prostokątnego
x[n] =

1
dla |n| 6 5
0 dla |n| > 5
Uwaga! Wykorzystać zależności:
sin2 (x) = 12 (1 − cos(2x))
cos2 (x) = 12 (1 + cos(2x))
sin(x) cos(x) = 12 sin(2x)
Proste przekształcenia sygnałów
Przesunięcie w czasie
przejście sygnału x(t) przez układ (oprócz innych
zniekształceń) powoduje jego opóźnienie
opóźnienie sygnału jest spowodowane występowaniem w
układzie elementów magazynujących energię, np.
indukcyjności i pojemności
jeżeli przesunięcie czasowe T > 0 to opóźniona wersja sygnału
x(t) jest równa x(t − T )
rozpatruje się także wyprzedzanie sygnału x(t + T )
jest to operacja nierealizowalna w świecie fizycznym
(możliwość przewidywania przyszłości)
operację wyprzedzenia można zastosować w przypadku, gdy
dysponuje się uprzednio zmierzonym sygnałem
operacje opóźnienia dla sygnałów dyskretnych wyprowadza się
w podobny sposób
Zmiana skali czasu
załóżmy a > 0, sygnał x(at) jest przeskalowaną wersją x(t)
gdy a > 1 sygnał zostaje przyspieszony
gdy a < 1 sygnał zostaje spowolniony
rozpatrzmy nagranie muzyczne
1
2
t
nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie
2
mniejszą
gdy x(2t) nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie
większą
gdy x
Inwersja czasu
inwersja sygnału x(t) to sygnał x(−t)
inwersja czasu nie jest operacją realizowalną fizycznie
dla nagrania muzycznego to proces odtwarzania nagrania do
tyłu
Przykład 2
Narysować sygnały
1
x(t) = 1(t) + 1(t − T ) + 1(t − 2T ) − 3 · 1(t − 3T )
2
x(t) = r(t) − r(t − a)
gdzie r(t) = t dla t > 0
3
4
x[n] = 1[n + 2] + 1[n − 4]
dany jest sygnał
x(t) =

cos(t)
0
dla − π 6 t 6 π
w innych przypadkach
dokonać opóźnienia sygnału o 5 jednostek czasu, a
następnie dokonać jego inwersji
Składowe sygnału
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli
x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli
x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]
każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystą
xp (t) i nieparzystą xn (t)
x(t) + x(−t)
2
x(t) − x(−t)
składowa nieparzysta – xn (t) =
2
składowa parzysta – xp (t) =
Przykład 3
Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego
Składowe sygnału
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli
x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli
x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]
każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystą
xp (t) i nieparzystą xn (t)
x(t) + x(−t)
2
x(t) − x(−t)
składowa nieparzysta – xn (t) =
2
składowa parzysta – xp (t) =
Przykład 3
Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego
Sygnały okresowe
Sygnały okresowe tworzą ważną klasę sygnałów
Sygnał nazywa się okresowym o okresie T jeśli
∃T > 0, ∀t ∈ R
x(t) = x(t + T )
W każdej chwili czasu t przesunięcie na osi czasu o okres lub
jego wielokrotność nie zmienia wartości sygnału
Liczbę T nazywa się okresem podstawowym sygnału
Własności sygnałów okresowych
wartość średnia
xsr
1
=
T
Z
T
2
− T2
x(t)dt
lub xsr
1
=
T
Z
x(t)dt
<T >
Wartość średnia sygnału okresowego jest równa wartości
średniej w jednym okresie T
energia sygnału
Z
Ex = lim nEx (T ),
n→∞
Ex (T ) =
T
2
− T2
|x(t)|2 dt
Jeżeli energia sygnału przypadająca na podedynczy okres
Ex (T ) jest różna od zera, to całkowita energia sygnału Ex
jest nieskończona
moc sygnału
1
Px =
T
Z
T
2
− 2t
2
|x(t)| dt
lub
1
T
Z
|x(t)|2 dt
<T >
Moc średnia sygnału okresowego jest równa mocy średniej w
jednym okresie T
wartość skuteczna
xsk =
p
Px
Wartość skuteczna jest często wykorzystywana w analizie
obwodów elektrycznych
Dystrybucja Diraca (delta Diraca, impuls jednostkowy)
Dystrybucja Diraca – impuls o nieskończenie krótkim czasie
trwania, nieskończonej amplitudzie i polu równym jedności
Sygnał spełnia warunki
1
δ(t) = 0 dla t 6= 0
2
Z
∞
δ(t)dt = 1
−∞
Stosując przesunięcie w czasie
1
δ(t − t0 ) = 0 dla t 6= t0
2
Z
∞
δ(t − t0 )dt = 1
−∞
Właściwości dystrybucji Diraca
Z ∞
kδ(t)dt = k
−∞
0δ(t) = 0
x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 )
Całka dystrybucji Diraca
Z t
δ(τ )dτ = 1(t), czyli
−∞
d
1(t) = δ(t)
dt
Reprezentacja sygnału ciągłego
Sygnał ciągły x(t) można zaproksymować za pomocą sumy
przesuniętych przeskalowanych impulsów
K
A
A
x(t)
x̂(t)
0∆
x̂(t) = x(k∆),
t
k∆ < t < (k + 1)∆
impuls jednostkowy δ∆ (t)
1
∆
δ∆ (t) – pole powierzchni = 1
0 ∆
t
⇒
x(k∆)δ∆ (t − k∆)∆
x(k∆)
⇓
k∆ (k+1)∆
t
x̂(t) =
∞
X
x(k∆)δ∆ (t−k∆)∆
−∞
w granicy, gdy ∆ → 0
Z ∞
x(t) =
−∞
x(τ )δ(t − τ )dτ
δ(t) – impuls jednostkowy
impuls jednostkowy jest sygnałem, który podany na
wejście dowolnego liniowego układu stacjonarnego
powoduje wygenerowanie odpowiedzi równej odpowiedzi
impulsowej tego układu:
δ(t) ∗ h(t) = h(t) ∀h(t)
gdzie h(t) – odpowiedź impulsowa
x(t)
y(t)
System
ciągły
δ∆ (t) −→ h∆ (t)
x̂(t) =
∞
X
x(k∆)δ∆ (t−k∆)∆
−→
ŷ(t) =
k=−∞
∞
X
x(k∆)h∆ (t−k∆)∆
k=−∞
Odpowiedź impulsowa
δ(t) → h(t)
w granicy, gdy ∆ → 0
Z ∞
x(t) =
x(τ )δ(t − τ )dτ
−→
Z ∞
y(t) =
−∞
x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
|
{z
splot
}
Operowanie splotem w czasie ciągłym
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
Z ∞
x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
odwróć
h(τ ) −−−−→
przesuń
−−−−→
h(−τ )
pomnóż
scałkuj
−−−−→ x(τ )h(t − τ ) −−−−→
h(t − τ )
R∞
−∞ x(τ )h(t
− τ )dτ
Przykład 4
x(t)
1
h(t)
1
*
1
3
t
-2
t
-1
h(t − τ )
1
x(τ)
1
1
3
τ
t+1 t+2
τ
Operowanie splotem w czasie ciągłym
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
Z ∞
x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
odwróć
h(τ ) −−−−→
przesuń
−−−−→
h(−τ )
pomnóż
scałkuj
−−−−→ x(τ )h(t − τ ) −−−−→
h(t − τ )
R∞
−∞ x(τ )h(t
− τ )dτ
Przykład 4
x(t)
1
h(t)
1
*
1
3
t
-2
t
-1
h(t − τ )
1
x(τ)
1
1
3
τ
t+1 t+2
τ
Przykład 4 – cd
Przedział
x(τ ) ∗ h(t − τ )
t < −1
0
Wyjście
⇒
y(t) = 0
⇒
y(t) = 12 (t + 1)2
⇒
y(t) =
⇒
y(t) = 12 − 12 (t−1)2
⇒
y(t) = 0
t+1
−1 < t < 0
1
0<t<1
t+2
1
1
2
t+1 t+2
1<t<2
1
t+1 3 t+2
t>2
0
Pytanie: Jak wygląda y(t) w całej dziedzinie?
Właściwości splotu w czasie ciągłym
1
Przemienność: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
2
Łączność:
x(t) ∗ (v(t) ∗ w(t)) = (x(t) ∗ v(t)) ∗ w(t)
3
Rozdzielność względem dodawania:
x(t) ∗ (v(t) + w(t)) = x(t) ∗ v(t) + x(t) ∗ w(t)
4
Przesunięcie w dziedzinie czasu:
y(t − t0 ) = x(t − t0 ) ∗ h(t) = x(t) ∗ h(t − t0 )
5
Splot z impulsem jednostkowym:
x(t) = x(t) ∗ δ(t),
x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )
6
Pochodna splotu:
d
dx(t)
(x(t) ∗ v(t)) =
∗ v(t)
dt
dt
założenia: (i) funkcja x(t) jest różniczkowalna, (ii) splot x(t) ∗ v(t)
istnieje i jest różniczkowalny
7
Całka splotu:
Z t
−∞
x(τ ) ∗ v(τ )dτ =
Z t
−∞
x(τ )dτ ∗ v(τ ) = x(τ ) ∗
Z t
v(τ )dτ
−∞
Próbkowanie
Sygnał dyskretny (spróbkowany) otrzymujemy z ciągłego
(próbkowanego) poprzez próbkowanie
Do próbkowania wykorzystuje się sygnał próbkujący
Jako sygnału próbkującego wykorzystuje się sygnał impulsowy o
okresie Ts
∞
X
δ(t − nTs )
(1)
δTs (t) =
n=−∞
sygnał (1) nosi nazwę okresowego sygnału impulsowego lub sygnału
grzebieniowego
Sygnał spróbkowany ma postać
∞
∞
∞
X
X
X
xs (t) = x(t)
δ(t−nTs ) =
x(t)δ(t−nTs ) =
x(nTs )δ(t−nTs )
n=−∞
n=−∞
n=−∞
Sygnał spróbkowany jest równy zeru z wyjątkiem dyskretnych chwil
czasowych, w których jest reprezentowany przez impulsy δ o polu
równym x(nTs )
1.01
2
x(t)
δTs(t)
1.5
1.005
1
1
0.5
0
0.995
-0.5
0.99
-1
0.985
-1.5
-6
-4
-2
0
2
4
t
6
-6
-4
-2
0
2
4
2
xs(t)
1.5
x(t)
1
xs (t)
0.5
0
δTs (t)
-0.5
-1
-1.5
-6
-4
-2
0
2
4
t
6
t
6
Reprezentacja sygnału dyskretnego
Sygnał dyskretny można reprezentować jako kombinację liniową
przesuniętych sygnałów δ[n]
x[0]
x[1]
x[2]
-1
0
1
x[n]
2
n
x[−1]
x[1]
x[1]δ[n−1]
1
n
x[0]
x[0]δ[n]
0
n
x[2]
2
-1
x[−1]
x[2]δ[n−2]
n
x[−1]δ[n+1]
n
Sposób formalny
x[n] = · · ·+x[−2]δ[n+2]+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+. . .
czyli
x[n] =
∞
X
x[k]δ[n − k]
k=−∞
gdzie
x[k] – współczynniki, δ[n − k] – sygnały bazowe
x[n]
System
dyskretny
y[n]
Załóżmy, że system jest liniowy
Zdefiniujmy hk [n] jako odpowiedź na sygnał δ[n − k]
δ[n − k] → hk [n]
Z zasady superpozycji otrzymujemy
x[n] =
∞
X
k=−∞
x[k]δ[n − k] → y[n] =
∞
X
k=−∞
x[k]hk [n]
Odpowiedź impulsowa
Załóżmy, że system jest liniowy i niezmienny w czasie
δ[n] → h[n]
Z zasady niezmienności w czasie otrzymujemy
δ[n − k] → h[n − k]
Ostatecznie
x[n] =
∞
X
x[k]δ[n − k] → y[n] =
k=−∞
∞
X
x[k]h[n − k]
k=−∞
|
{z
splot
}
Operowanie splotem w czasie dyskretnym
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
∞
X
x[k]h[n − k]
k=−∞
Interpretacja
1
0
δ[n]
h[n]
−→
n
0
n
⇓
x[k]δ[n−k]
x[k]h[n−k]
−→
k
n
k
n
sumujemy po wszystkich k
Przykład 5
2
x[n]
1
0
h[n]
1
0
n
n
-1
-1
-1
⇓
y[n] = 0,
x[k]
1
k
-1
2
y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] + x[2]h[−1] =
1 · [−1] + 0 · 2 + [−1] · 1 = −2
y[2] = x[0]h[2] + x[1]h[1] + x[2]h[0] =
1 · [−1] + 0 · [−1] + [−1] · 2 = −3
1
n
-1 -1
n < −1
y[0] = x[0]h[0] + x[1]h[−1] = 1 · 2 + 0 · 1 = 2
0
h[n−k]
dla
y[−1] = x[0]h[−1] = 1 · 1 = 1
y[3] = x[1]h[2]+x[2]h[1] = 0·[−1]+[−1]·[−1] = 1
k
y[4] = x[2]h[2] = [−1] · [−1] = 1
y[n] = 0,
dla
n>4
Schemat obliczeniowy splotu w czasie dyskretnym
h[0]
h[1]
h[2]
h[3]
x[0]
x[0]h[0] x[0]h[1] x[0]h[2] x[0]h[3]
x[1]
x[1]h[0] x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]
x[2]
x[2]h[0] x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3]
x[3]
x[3]h[0] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]
Właściwości splotu w czasie dyskretnym
1
Przemienność:
x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
2
Łączność:
x[n] ∗ (v[n] ∗ w[n]) = (x[n] ∗ v[n]) ∗ w[n]
3
Rozdzielność względem dodawania:
x[n] ∗ (v[n] + w[n]) = x[n] ∗ v[n] + x[n] ∗ w[n]
4
Przesunięcie w dziedzinie czasu:
y[n − k] = x[n − k] ∗ h[n] = x[n] ∗ h[n − k]
5
Splot z impulsem jednostkowym:
x[n] ∗ δ[n − n0 ] = x[n − n0 ] (x[n] ∗ δ[n] = x[n])
6
Pn
Sumator: y[n] =
jeśli x[n] = δ[n] to
k=−∞ x[k]
h[n] =
n
X
δ[k] = u[n]
k=−∞
gdzie u[n] – skok jednostkowy, czyli
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[n] ∗ u[n] =
n
X
x[k]
k=−∞
7
Odpowiedź na skok jednostkowy:
s[n] = u[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ u[n] =
n
X
k=−∞
h[k]