WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI semestr zimowy 2011/12

WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
semestr zimowy 2011/12
Lista 1.
Zadanie 1. Wyciągnąć wnioski z następujących przesłanek:
Jeżeli Burek jest psem, to bardzo lubi kości.
Burek jest psem.
Wniosek:...
Jeżeli ta roślinka to trupawka niedoćmawa, to jest
silnie trująca.
Ta roślinka to trupawka niedoćmawa.
Wniosek:....
Jeżeli 6 jest liczbą parzystą większą od 2, to 6 nie
jest liczbą pierwszą.
6 jest liczbą parzystą większą od 2.
Wniosek:...
Jeżeli Pingle jest wędłowcem, to produkuje gulgutiery.
Pingle jest wędłowcem.
Wniosek:...
Czy powyższe wnioskowania łączy jakiś schemat?
Zadanie 2. Rozstrzygnąć poprawność poniższych wnioskowań Sherlocka Holmesa:
Świadek stał w odległości 50 metrów od mordercy w chwili popełnienia zbrodni. Jeżeli świadek ma
dobry wzrok to potrafi rozpoznać mordercę. Świadek potrafi rozpoznać mordercę. Zatem świadek ma
dobry wzrok.
Świadek stał w odległości 50 metrów od mordercy w chwili popełnienia zbrodni. Jeżeli świadek ma
dobry wzrok to potrafi rozpoznać mordercę. Świadek nie potrafi rozpoznać mordercy. Zatem świadek
nie ma dobrego wzroku.
Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna działanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazują na to, że
morderca zna działanie tej trucizny. Zatem morderca jest lekarzem.
Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna działanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazują na to, że
morderca nie umiał przewidzieć działania tej trucizny. Zatem morderca nie jest lekarzem.
Czy powyższe wnioskowania łączy jakiś schemat?
Zadanie 3. Zoolog bada i opisuje faunę niedawno odkrytej planety Belurii. Odkrył już kilka gatunków, na przykład zmyłka, wędłowca, przewrotnika i innych. Wszystkie zwierzęta tej planety nazwano
beluraczkami. Rozważyć, czy następujące pary zdań mają to samo znaczenie:
Zmyłki są bardzo płochliwe.
Każdy beluraczek, jeżeli jest zmyłką, to jest bardzo płochliwy.
Każdy wędłowiec jest drapieżnikiem.
Każdy beluraczek, jeżeli jest wędłowcem, to jest drapieżnikiem.
Przewrotniki stosują mimikrę.
Każdy beluraczek, o ile jest przewrotnikiem, stosuje mimikrę.
Zoolog robiąc notatki w terenie, stosuje uproszczoną metodę zapisu. Na przykład, aby zapisać, że
badany okaz x jest zmyłkiem, używa skrótu Z(x). P (x) oznacza, że x jest przewrotnikiem, a W (x)
wędłowcem. Oto katalog pozostałych oznaczeń:
D(x)
R(x)
L(x)
K(x)
T (x)
U (x, y)
M (x, y)
A(x, y)
beluraczek x jest drapieżnikiem
beluraczek x jest roślinożerny
beluraczek x spędza większość czasu śpiąc
beluraczek x stosuje mimikrę
beuraczek x jest bardzo płochliwy
beluraczek x unika spotkań z beluraczkiem y
beluraczek x poluje na beluraczka y
beluraczek x zjada z apetytem beluraczka y
Ponadto zoolog stosuje symbol ( ∀ x) jako skrót zwrotu „każdy beluraczek”. Strzałka → zastępuje
czasem słowo „jeżeli” a czasem zwrot „o ile”. Znaczek ∧ oznacza spójnik i natomiast ∨ to skrót słowa
lub. Zaprzeczenie zastępuje symbol ¬.
Odcyfrować notatki zoologa:
( ∀ x) Z(x) → L(x).
( ∀ x) W (x) → D(x)
( ∀ x) P (x) → K(x)
Zapisać metodą zoologa następujące zdania:
• „Wędłowce spędzają większość czasu śpiąc.”
• „Wędłowce polują na przewrotniki.”
• „Zmyłki unikają spotkań z przewrotnikami.”
• „Wędłowiec nie jest płochliwy.”
• „Zmyłek nie zjada z apetytem przewrotnika.”
Zoolog uznał, że jego zapiski muszą zostać jeszcze bardziej uproszczone. Na przykład zamiast:
( ∀ x) Z(x) → P (x)
pisze
( ∀ Z(x)) P (x).
Opisz zachowania beluraczków stosując sposób notacji zoologa. Swój opis przekaż koleżnce/koledze z
prośbą o jego odczytanie.
Zadanie 4. Rozstrzygnij, które ze zdań napisanych na dwóch stronach kartki jest prawdziwe:
Zdanie napisane na przeciwnej stronie tej kartki
jest PRAWDZIWE.
1 strona kartki
Zdanie napisane na przeciwnej stronie tej kartki
jest FAŁSZYWE.
2 strona kartki
Zadanie 5. Na wyspie Pytaczy mieszka dziwne plemię ludzi, którzy zawsze mówią prawdę, ale odpowiadają
jedynie na te pytania, na które można odpowiedzieć ”TAK” lub ”NIE”. W dodatku nie na wszystkie. Zależy
to od typu, do którego należą. I tak mieszkańcy wyspy Pytaczy typu A odpowiadają jedynie na te pytania,
na które prawdziwa jest odpowiedź twierdząca. Pozostali, wyspiarze typu B, odpowiadają na pytania, na które
odpowiedź jest przecząca. Wyspiarzowi typu A można zadać pytanie: „Czy mieszkasz na wyspie Pytaczy?”
Wyspiarz typu B odpowie na pytanie „Czy Ziemia jest płaska?”
Któremu mieszkańcowi można zadać pytanie: „Czy ty jesteś typu A?” A któremu: „Czy ty jesteś typu B?”
Morał?
Zadanie 6. Czy zdanie „JA MÓWIĄC TO, CO W TEJ CHWILI MÓWIĘ, KŁAMIĘ” jest prawdziwe? A
może fałszywe?
Morał?
Zadanie 7. Wyróżnijmy dwie grupy przymiotników: przymiotniki homonomiczne, czyli takie, które mają
określaną przez siebie własność (np. abstrakcyjny, sześciosylabowy) oraz heteronomiczne, czyli takie, które
określanej przez siebie własności nie mają. Do jakiej grupy należy przymiotnik heteronomiczny?.