Analiza Matematyczna 1, lista 1, zadania z gwiazdką Zasada
Transkrypt
Analiza Matematyczna 1, lista 1, zadania z gwiazdką Zasada
Analiza Matematyczna 1, lista 1, zadania z gwiazdką Zasada indukcji matematycznej: Rozważmy twierdzenie dotyczące liczb naturalnych. Jeżeli 1. jest ono prawdziwe dla pewnej liczby n0 oraz 2. dla każdej liczby k n0 z prawdziwości twierdzenia dla k wynika jego prawdziwość dla liczby k + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych bądź równych n0 . Przykład zastosowania – korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7n − 1 jest podzielna przez 6. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1 mamy 71 − 1 = 6 jest oczywiście podzielne przez 6. 2. Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7k − 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba 7k+1 − 1 = 7 · 7k − 1 = (6 + 1)7k − 1 = 6 · 7k + 7k − 1 też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 · 7k oczywiście dzieli się przez 6, a składnik 7k − 1 dzieli się przez 6 na mocy założenia indukcyjnego. Czyli i krok 1 i krok 2 są spełnione. Zatem, na mocy zasady indukcji, dla wszystkich naturalnych n = 1, 2, ... liczba 7n − 1 dzieli się przez 6. Zadanie. Korzystając z zasady indukcji, udowodnij poniższe wzory: dla wszystkich naturalnych n = 1, 2, 3, ... n(n+1) 2 n(n+1)(2n+1) 2 2 2 2 3 3 3 3 a) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1) , b) 1 + 2 + 3 + ... + n = , c) 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2 6 2 Zadanie. Korzystając z zasady indukcji, udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, ...: a) liczba n3 −n jest podzielna przez 3, b) liczba n5 −n jest podzielna przez 5, c) liczba n7 −n jest podzielna przez 7. Zbadaj, czy dla każdego wykładnika nieparzystego k liczba nk − n jest podzielna przez k. Zadanie. Korzystając z zasady indukcji wykaż prawdziwość nponiższych nierówności: n + 1 dla n = 1, 2, ... a) n! > 2n dla n 4, b) 2n > n2 dla n > 4, c) n! < 2 Zadanie. Korzystając z zasady indukcji wykaż prawdziwość nierówności Bernoulliego: Jeśli x > −1, to dla wszystkich n = 1, 2, 3, ... spełniona jest nierówność (1 + x)n 1 + nx. Zbadaj, co się dzieje dla x ¬ −1? n Zadanie. Dany jest ciąg en = 1 + n1 . Badając ilorazy jego kolejnych wyrazów i korzystając z nierówności Bernoulliego wykaż, że ciąg (en ) jest ściśle rosnący. n+1 Zadanie. Dany jest ciąg fn = 1 + n1 . Badając ilorazy jego kolejnych wyrazów i korzystając z nierówności Bernoulliego wykaż, że ciąg (fn ) jest ściśle malejący. Zadanie. Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an = 1+ 12 + 13 +· · ·+ n1 monotonicznie rośnie do nieskończoności. Zadanie. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym bn = (n!)2 . nn 1 1 1 1 + + + · · · + ) = e. 1! 2! 3! n! Zadanie. Udowodnij indukcyjnie, że ciąg Fibonacciego, określony za pomoca indukcji następująco: a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an , można zapisać poniższym wzorem: √ !n √ !n # " 1+ 5 1− 5 1 − . an = √ 2 2 5 Zadanie. Wykaż, że n→∞ lim (1 + Zwróć uwagę, że ciąg Fibonacciego składa się wyłącznie z liczb naturalnych, a powyższy wzór wyłącznie z liczb niewymiernych!