klasyczny wzór

Zagadnienie odwrotne w
rozpraszaniu na potencjale i w
rozpadzie Gamowa
Spis treści
•
Wstęp
•
Problem klasyczny i kwantowy
– Problem klasyczny
– Potencjał kanoniczny
– Problem kwantowy
•
Wzór Gamowa
– wzór Gamowa
– odwrotny wzór Gamowa
•
Zastosowanie
– rozpad α
– zimna emisja elektronów
•
Podsumowanie
Problem klasyczny
Problem klasyczny
x2  E 
T  E =  2m ∫x  E 
1
dx
 E−U  x 
U T  E  dE
1
x 2  U − x 1  U  =
∫
π  2m 0  U −E
x  U =
1
U
∫
2π  2m 0
T  E  dE
 U −E
Problem klasyczny
x2  E 
T  E =  2m ∫x  E 
1
x 2  U − x 1  U  =
x  U =
dx
 E−U  x 
U T  E  dE
1
∫
π  2m 0  U −E
1
2π  2m
U
∫0
T  E  dE
 U −E
Problem klasyczny
x 2 E 
T  E  = 2m ∫x  E 
1
x 2  U  −x 1  U  =
 =
x U
1
2π 
dx
 E−U  x 
U T  E  dE
1
∫
π  2m 0  U −E

U
∫
2m 0
T  E  dE
 U −E

∫ 

∫
m L
∫
2 0
T  E =
R  E =
m
2
1
x  U =
π
dx
 E−U  x 
x1  E
0
2
m
U
0
dx
E −U  x 
R  E  dE
U − E
 E>U 0 
 E ≤U 0 
Potencjał kanoniczny
Potencjał kanoniczny
Potencjał kanoniczny
T  E=
T  E=

m V
∫
2 0

0

m L
m V

E−
V

x
dx=
∫
∫
2 0
2 0
L
0
 E−V
∫0  E−V [V −V  x] dx d V =

dx 
dV
d V
m L
∫  E−V  x dx
2 0
Potencjał kanoniczny
a).Parabola zadana wzorem:
V  x  =4V 0
[    ]
x
x
−
L
L
2
Potencjał kanoniczny
a).Parabola zadana wzorem:
wartości punktów:
x± =
V  x  =4V 0
[ [
L
V
1± 1−
2
V0
] ]
 1/ 2 
[    ]
x
x
−
L
L
2
Potencjał kanoniczny
a).Parabola zadana wzorem:
wartości punktów:
V  x  =4V 0
x± =
[ [
L
V
1± 1−
2
V0
[    ]
x
x
−
L
L
2
] ]
 1/ 2 
x  V = L− x   x− −0 
Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny
postaci:
[  ]
x
x
V  x  =V 0 2 −
L
L
2
Potencjał kanoniczny
a).Parabola zadana wzorem:
wartości punktów:
V  x  =4V 0
[ [
L
V
x± =
1± 1−
2
V0
[    ]
x
x
−
L
L
2
] ]
 1/ 2 
x  V = L− x   x− −0 
Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny
postaci:
[  ]
x
x
V  x  =V 0 2 −
L
L
2
Potencjał kanoniczny
V  y =ay 3by 2cyd
  = y 23− y 22   y 21−0 
y V
Potencjał kanoniczny
3
2
V  y  =ay 3 +by 2 +cy+d


3
2
2
3
ay
by
c
5b
b
bc
V  y  =−
−
+y −

−
8
8
2 24a 72 a 2 6a
  = y 23− y 22   y 21−0 
y V
Problem kwantowy
Problem kwantowy
dla E > 0:
1  x ~ eikx ,  x −∞ 
2  x ~ b  k  e−ikx ,  x −∞ 
ikx
3  x ~ a  k  e ,  x ∞ 
Problem kwantowy
dla E > 0:
1  x ~ eikx ,  x −∞ 
2  x ~ b  k  e−ikx ,  x −∞ 
ikx
3  x ~ a  k  e ,  x ∞ 
dla E < 0:
1  x  ~ c n e
Kn x
,  x −∞ 
Kn x
,  x ∞ 
2  x ~ d n e
K n=
k=


−2mE n
ℏ
2
2mE
ℏ
2
Problem kwantowy
dla E > 0:
1  x ~ eikx ,  x −∞ 
2  x ~ b  k  e−ikx ,  x −∞ 
ikx
3  x ~ a  k  e ,  x ∞ 
dla E < 0:
1  x ~ c n e
Kn x
,  x −∞ 
Kn x
,  x ∞ 
2  x ~ d n e
K n=
k=


−2mE n
ℏ
2
2mE
ℏ
2
b  k  , cn . κ n 

d
U  x  =−2
K  x,x 
dx
Wzór Gamowa
Kwantowa cząstka o energii E zderzając się z barierą potencjału daje skończone
prawdopodobieństwo pokonania bariery, nawet jeśli jej energia jest mniejsza niż
maksymalny potencjał bariery.
T  E  =exp

−2
∫  2m  U  x  − E  dx
ℏ

Wzór odwrotny Gamowa:

−2
T  E  =exp
ℏ
x E
2
∫  2m  U  x  − E  dx
x1  E 

Wzór odwrotny Gamowa

−2
T  E  =exp
ℏ
Odwrócenie wzóru Gamowa
U0
x E
2
∫  2m  U  x  − E  dx
x1  E 
U
dx 1 dx 2
dT  E 
dE
=∫
−
dU ∫
dE
dU dU
α
α   U −E  E −α 



Wzór odwrotny Gamowa

−2
T  E  =exp
ℏ
Odwrócenie wzóru Gamowa
U0
x E
2
∫  2m  U  x  − E  dx
x1  E 
U
dx 1 dx 2
dT  E 
dE
=∫
−
dU ∫
dE
dU dU
α
α   U −E  E −α 


całkowe równanie Abela:
E
∫
0
Φ  U  dU
=f  E 
 E −U

Wzór odwrotny Gamowa

−2
T  E  =exp
ℏ
Odwrócenie wzóru Gamowa
U0
x E
2
∫  2m  U  x  − E  dx
x1  E 
U
dx 1 dx 2
dT  E 
dE
=∫
−
dU ∫
dE
dU dU
α
α   U −E  E −α 


całkowe równanie Abela:
E
∫
0
x1  U  − x 2  U =−
Φ  U  dU
=f  E 
 E −U
U dT  E 
ℏ
dE
∫
π  2m U dE T  E   E−U
0

Wzór odwrotny Gamowa

−2
T  E  =exp
ℏ
Odwrócenie wzóru Gamowa
U0
x E
2
∫  2m  U  x  − E  dx
x1  E 
U
dx 1 dx 2
dT  E 
dE
=∫
−
dU ∫
dE
dU dU
α
α   U −E  E −α 


całkowe równanie Abela:
E
∫
0
Φ  U  dU
=f  E 
 E −U
x1  U  − x2  U =−
U dT  E 
ℏ
dE
∫
π  2m U dE T  E   E −U
0
odwrotny wzór:
 =
x U
1
π

2 U
∫
m 0
T E
dE

 U − E 

Teoria rozpadu α
Teoria rozpadu α
T  E ~exp−
2 R
ℏ ∫R

 2m V − E   dr
Zjawisko zimnej emisji
x U =
−1
U 0 −U 
eE
Podsumowanie
•
rozwiązanie problemu odwrotnego polegało na jednoznacznym wyznaczeniu
potencjału opisującego barierę znając jedynie wartość współczynnika
prawdopodobieństwa
•
niejednoznaczność rozwiązania zmusiła do wprowadzenie pojęcia potencjału
kanonicznego
•
odwrócenie formuły całkowej było możliwe jedynie ale przypadku 1D, bądź dla
zmiennych radialnych
Transformacja Laplace'a
Transformacja Laplace'a odwzorowuje funkcję f(t) w funkcję f(s) zgodnie ze wzorem:
f  s  =∫ f  t  e−st dt
Odwzorowanie to przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję

f  s
zmiennej zespolonej s. Do określenia przekształcenia odwrotnego stosuje się wzór:
f  t =
1
st
f  s  e ds .
∫
2π
Aby przekształcenie było matematycznie dobrze określone musi zachodzić:
dla
∣ f  t ∣≤Me ρt
gdzie M i ρ są pewnymi stałymi.