Algebra Boole`a

Algebra Boole'a
Algebra Boole'a – struktura algebraiczna stosowana w matematyce, informatyce
teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska angielskiego matematyka,
filozofa i logika George'a Boole'a. Teoria algebr Boole'a jest działem matematyki na styku teorii
porządków częściowych, algebry, logiki matematycznej i topologii.
Typowymi przykładami algebr Boole'a są: rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru wraz
działaniami na zbiorach jako operacjami algebry oraz dwuelementowa algebra wartości logicznych
{0, 1} z działaniami koniunkcji, alternatywy i negacji.
Diagram Hassego dla algebry Boole'a podzbiorów zbioru trójelementowego
Definicja
Algebra Boole'a to struktura algebraiczna , w której i są działaniami dwuargumentowymi, ˜
jest operacją jednoargumentową, a 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru , spełniająca
następujące warunki dla wszystkich :
łączność
przemienność
absorpcja
rozdzielność
Oznaczenia
pochłanianie
Różne oznaczenia
Suma Iloczyn Negacja
˜
+
+
−
Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr
, ale w częstym użyciu są
Boole'a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli
również
oraz
. Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a są
prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par
,
albo
.W
oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się
spotkać zarówno z symbolami
jak i
.
System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest
używany np. w podręczniku Heleny Rasiowej.
W badaniach teorio-mnogościowych aspektów algebr Boole'a przeważa tradycja używania
. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii
oznaczeń
Handbook of Boolean Algebras.
Z kolei symbole
zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w
kontekstach algebraicznych (i teorio-kratowych).
Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w
miejsce , lub zamiast
). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT
w miejsce , oraz ˜.
Literatura:
1.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_Boole%27a
2.
http://www.math.edu.pl/algebra-boolea
3.
http://www-users.mat.umk.pl/~zssz/nsi2009/ab.pdf