Pojęcia podstawowe -Rachunek operatorowy i prawo Ohma

Pojęcia Podstawowe- Rachunek operatorowy
Rachunek operatorowy , prawo Ohma , prawa Kirchhoffa
IMPEDANCJĄ operatorową dwójnika pasywnego nazywamy stosunek napięcia
operatorowego na zaciskach do prądu operatorowego płynącego przez dany dwójnik przy
zerowych warunkach początkowych .
ADMITANCJĄ OPERATOROWĄ nazywamy stosunek prądu operatorowego dwójnika
do napięcia na tym dwójniku.
Poniżej znajdują się impedancja i admitancja podstawowych elementów.
Tabela 1
impedancja Z(s)
Rezystancja
Cewka indukcyjna
Kondensator
1
admitancja Y(s)
1
1
Jeżeli za operator s podstawimy (s= ) otrzymujemy impedancję i admitancja
widmową – wygodną do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych.
Ł. Szydłowski
Modelowani i sterowanie
1
Pojęcia Podstawowe- Rachunek operatorowy
Przechodząc z dziedziny czasu do dziedziny operatorowej – korzystając z twierdzenia
o pochodnej trzeba uwzględnić warunki początkowe . Przekształcenia przedstawione są w
tabeli poniżej:
Tabela 2
I(s)
R
sL
I(s)
UR(s)
Li(0)
UL(s)
0 0 1
0 Pierwsze prawo Kirchhoffa
0
Drugie prawo Kirchhoffa
0
Ł. Szydłowski
Modelowani i sterowanie
2
Pojęcia Podstawowe- Rachunek operatorowy
Przykład 1
Wyznacz impedancję operatorową szeregowego obwodu RLC znajdź zależność
napięcia na kondensatorze od napięcia zasilania ( transmitancję ) przy zerowych warunkach
początkowych.
!"#
!#
!$% #
!#
& 1
' 1
Napięcie na kondensatorze ( reaktancji Xc ):
( )(
Prąd I(s) wyznaczamy z zależności na impedancję całego obwodu – po podstawieniu mamy:
&
( & &* & &* & Jak widzimy otrzymana transmitancja jest typowa dla układu oscylacyjnego.
Ł. Szydłowski
Modelowani i sterowanie
3
Pojęcia Podstawowe- Rachunek operatorowy
Przykład 2
Wyznacz admitancję operatorową równoległego obwodu RLC , znajdź zależność prądu
płynącego przez kondensator od prądu głównego ( transmitancję ) przy zerowych
warunkach początkowych.
I(s)
Admitancja zastępcza układu:
IR(s)
1 1
U(s)
1
R
1 1
+ , IL(s)
sL
Ic(s)
1
sC
Uc(s)
1 1
' + , Zatem prąd główny:
&* &
&
Ponieważ jest to połączenie równoległe elementów zatem przez kondensator jest napięcie
zasilania . i płynie prąc o wartości:
Zatem zależność prądu na kondensatorze od prądu głównego wynosi:
' Transmitancja :
' '
Zauważyć można ze w zależności jaką wielkość przyjmujemy za wejścia i wyjściową
otrzymujemy Róże transmitancje.
W powyższych przykładach pominęliśmy warunki początkowe .Nimi zajmiemy się w
omówieniu stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych oraz w omówieniu
dokładności w tworzeniu modeli.
Ł. Szydłowski
Modelowani i sterowanie
4
Pojęcia Podstawowe- Rachunek operatorowy
Źródła:
1.Podstawy teorii układów elektrycznych -S.W Director R.A Rother PWN 1976.
2.Teoria układów regulacji automatycznej T Kaczorek PWN 1974
3.Podstawy elektrotechniki R. Kurdziel PWN 1973
Ł. Szydłowski
Modelowani i sterowanie
5