TEORIA GIER – 3 Optimum Pareto. Algebra liniowa i geometria w
Transkrypt
TEORIA GIER – 3 Optimum Pareto. Algebra liniowa i geometria w
TEORIA GIER – 3 Optimum Pareto. Algebra liniowa i geometria w teorii gier. ZD1. Uzasadnij rachunkowo, że (a) w grze malżeńskiej z wykladu wektor (2, 2) jest osia֒galny. (b) w grze malżeńskiej z wykladu wektor (4, 4) jest nieosia֒galny. ZD2. Uzasadnij rachunkowo, że w grze malżeńskiej z wykladu wektor (2, 2) stanowi optimum Pareto. ZD3. (a) Czy (3, 1) stanowi optimum Pareto w podanej grze? (b) Czy (3, 0) stanowi optimum Pareto w podanej grze? (c) Czy uklad strategii (B, P ) jest optymalny w sensie Pareto? L P A (0,6) (3,0) B (2,1) (1,3) ZD4. (a) Uzasadnij, że para strategii (A, L) jest optymalna w sensie Pareto w podanej grze. L P A (1,1) (-4,2) B (2,-4) (-4,-5) (b) Uzasadnij, korzystaja֒c z wlasności (O1) lub (O2) z wykladu, że (0, 0) stanowi optimum Pareto podanej gry. L P G (0,0) (1,-2) D (-3,1) (1,-1) (c) Wyznacz wszystkie usklady strategii (σ1 , σ2 ) ∈ M1 × M2 optymalne w sensie Pareto w grze w papier-nożyczki-kamień. ZD5. (a) Lisek Chytrusek umieścil na plaszczyźnie wszystkie możliwe wektory wyplat (w1 (σ̄), w2 (σ̄)), dla σ̄ ∈ M1 × M2 , w pewnej grze dwuosobowej i otrzymal w ten sposób zbiór U . Zauważyl, że punkt (0, 0) należy do wne֒trza zbioru U . Na tej podstawie stwierdzil, że (0, 0) nie stanowi optimum Pareto rozważanej gry. Czy Lisek ma racje֒ ? (b) Lisek Chytrusek przygla֒da sie֒ podanej poniżej grze (ai , bi , ci , di dla i = 1, 2 sa֒ znanymi Liskowi liczbami). Lisek glowi sie֒ , czy (4, 4) stanowi optimum Pareto tej gry. W rachunkach sie֒ pogubil, Pomyslowy Dobromir nie umial mu pomóc, w końcu Lisek – ku swej wielkiej radości – wpadl na pomysl naste֒ puja֒cy. Naniósl punkty (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ) i (d1 , d2 ) na plaszczyzne֒ . Stwierdzil, że (4, 4) leży we wne֒trzu wieloka֒ta rozpie֒ tego przez te punkty. Wywnioskowal, że w takim razie istnieje wektor wyplat (w1 (σ̄), w2 (σ̄)) o obu wspólrze֒ dnych wie֒ kszych niż 4. Zatem (4, 4) nie jest optimum Pareto. Czy rozumowanie Liska jest poprawne? L P G (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) D (c1 , c2 ) (d1 , d2 ) ZD6. (a) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej dla pewnego ukladu strategii czystych s̄ i każdego innego ukladu strategii czystych s̄′ zachodzi warunek: w1 (s̄′ ) < w1 (s̄) lub w2 (s̄′ ) < w2 (s̄). Czy wynika z tego, że wektor (w1 (s̄), w2 (s̄)) stanowi optimum Pareto? (b) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej dla pewnego ukladu strategii czystych s̄ i każdego innego ukladu strategii czystych s̄′ zachodzi warunek: w1 (s̄′ ) < w1 (s̄). Czy wynika z tego, że wektor (w1 (s̄), w2 (s̄)) stanowi optimum Pareto? 1 2 ZD7. Zalóżmy, że |S1 | = n, |S2 | = m, σ2 ∈ M2 oraz x̄ = W2 σ2T . Ile wspólrze֒ dnych ma wektor x̄ ? Jak można zinterpretować wspólrze֒ dne wektora x̄ w sensie wyplat graczy? Poprzyj odpowiedź rachunkami (na symbolach). Na rozgrzewke֒ można odpowiedzieć na te pytania na przykladzie poniższej gry i strategii σ2 = (q1 , q2 ). L P A (2,1) (4,-1) B (-2,-1) (3,1) C (2,0) (-2,0) ZD8. Przypomnijmy, że w macierzy W2 , podobnie jak w W1 , wiersze sa֒ oznaczane strategiami pierwszego gracza, kolumny – strategiami drugiego. Zapisz w2 (σ1 , σ2 ) w notacji macierzowej. Uzasadnij poprawność zapisu rachunkami (na symbolach). ZD9. Dane sa֒ na plaszczyźnie niewspólliniowe punkty A, B, C oraz punkt X należa֒cy do wne֒ trza trójka֒ta ABC. Wiemy, że X można przedstawić w postaci pewnej kombinacji wypuklej wierzcholków trójka֒ta: X = p1 A + p2 B + p3 C. Znajdź w literaturze lub wymyśl, jak wyznaczyć wpólczynniki p1 , p2 , p3 > 0, nie korzystaja֒c z metod analitycznych, ale mierza֒c dlugości lub pola pewnych figur. ZD10. W pewnej grze S1 = {A, B, C}, S2 = {L, P }. Niech w1 (σ) = (w1 (σ, L), w1 (σ, P )) dla każdej σ ∈ M1 . Zalóżmy, że w 1 (A) = (−3, −1), w 1 (B) = (3, −1) i w 1 (C) = (0, 1). (a) W jakiej odleglości od w 1 (A) leży na plaszczyźnie punkt w 1 ( 18 A + 78 C) ? (b) Wyznacz σ, wiedza֒c, że punkt w1 (σ) leży na odcinku o końcach w1 (A) i w 1 (C), w odleglości 1 od w1 (A). (c) Wyznacz σ, wiedza֒c, że w 1 (σ) = (−1, −1). (d) Wyznacz supp σ, wiedza֒c, że w1 (σ) = (−1, 0). ZD11. W pewnej grze S1 = {A, B, C, D, E}, S2 = {L, P }. Niech w 1 (σ) = (w1 (σ, L), w1 (σ, P )) dla każdej σ ∈ M1 . Polożenie punktów w 1 (σ) ilustruje rysunek obok. Czy istnieja֒ dwie różne strategie σ ′ , σ ′′ ∈ M1 , dla których w 1 (σ ′ ) = w1 (σ ′′ ) ? Dlaczego? w1(B) w1(A) w1(E) w1(D) ZD12. Obok podana jest macierz W1 (czyli gracza 1). Korzystaja֒c z metody geometrycznej, odpowiedz na poniższe pytania. (a) Czy w tej grze istnieje strategia zdominowana o nośniku {C, D} ? (b) Które strategie mieszane gracza 1 w tej grze sa֒ zdominowane? w1(C) A B C D L P 6 0 0 6 4 4 1 5