IDEA SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH Przykłady Interpretacji

XI International PhD Workshop
OWD 2009, 17–20 October 2009
IDEA SKIEROWANYCH LICZB ROZMYTYCH
Przykłady Interpretacji
IDEA OF ORDERED FUZZY NUMBERS
Examples Of Interpretation
Dorota Wilczyńska-Sztyma, Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz
Abstract
This elaboration presents contribution for wide
reflection over meaning of creation of Ordered
Fuzzy
Numbers
(further
used
will be
the abbreviation OFN). This paper contains
definitions and graphical interpretation of OFN.
Important fact is that thanks to the additional
property of the ordering (orientation), OFN opens
new areas for using fuzzy numbers. In the figure
ordered is shown as additional arrow.
OFN can by used instead of convex fuzzy
numbers. Additionally OFN overcomes mentioned
below defects and the same time has the algebra of
crisp numbers inside. First of defects is unbounded
increasing of fuzziness with calculations. Second is
that the arithmetic operations defined for them are
not complementary, for instance: addition and
subtraction.
Second chapter presents conversation about
fuzzy observation. Time or monotonic (progression,
disappearance) phenomenon may ask for designer
of the decisive factor in the orientation of OFN.
In next step is shown a few examples of the
potential use of these numbers. First example
demonstrates interpretation of orientation as the
direction of process. Next example presents
ordering as indicator of the value of the original
functions of time. These examples have to convict
for innovatory approach for that fuzzy algebra and
also shows meaning of existence of ordering. Last
example shows sense of existence incorrect OFN.
There are many discussions on interpretation
membership curve, which in this case appears
in return membership function. This problem will
by wither discussed in next publication.
Streszczenie
Artykuł poświęcony jest refleksji nad modelem
skierowanych liczb rozmytych. W dalszej części
będzie uŜywany skrót OFN (ang. Ordered Fuzzy
Numbers) na określenie skierowanych liczby
rozmytych. Uwagę poświęcono zaletom jakie posiada
mowy model w stosunku do klasycznej teorii liczb
rozmytych.
W drugim rozdziale przedstawiono pojęcie
obserwacji rozmytej. Głębiej został przedstawiony
temat interpretacji skierowania, w tym celu podparto
się przykładami. Pierwszy przedstawia analizę
skierowania jako wyznacznika kierunku ruchu,
następny objaśnia je jako wyznacznik znaku wartości
funkcji pierwotnej po czasie. W trzecim przykładzie
uznaje się skierowanie jako pewną tendencję. Ostatni
poświęcony został interpretacji niewłaściwych liczb
rozmytych.
1. Skierowane liczby rozmyte
Model skierowanych liczb rozmytych został
zaproponowany przez prof. W. Kosińskiego,
dr. P. Propokowicza oraz dr. D. Ślęzaka w 2002 roku
[5, 6, 7, 9]. Skupili się oni na eliminacji wad
klasycznej algebry liczb rozmytych opartej
na zasadzie rozszerzania według prof. L. Zadeha.
Są nimi przede wszystkim: zwiększanie rozmytości
przy wykonywaniu kolejnych działań, duŜe
skomplikowanie obliczeniowe oraz brak moŜliwości
wnioskowania wstecz. RozwaŜając temat idei
skierowanych liczb rozmytych naleŜy przybliŜyć
ich definicję.
Definicja: Skierowaną liczbą rozmytą A
nazywamy uporządkowaną parę (f,g) funkcji
takich Ŝe:
f, g : [0,1] → są ciągłe.
(1)
Funkcje te nazywają się odpowiednio: częścią
(ramieniem) up
i częścią down. Nazwy te
nie oznaczają, Ŝe up jest funkcją rosnącą, a down
malejącą, ale odnoszą do skierowania. Funkcje f i g
są połączone przedziałem const, zawierającym się
pomiędzy [f(1), g(1)] i równym 1 [5, 6, 7, 9]. Granice
funkcji oznacza się up=(lA,1-A) oraz down=(1+A,pA).
Granice te są liczbami rzeczywistymi. Nie muszą one
być właściwe. Znaczy to tyle, Ŝe nie muszą spełniać
20
warunku
lA≤1-A
oraz
1+A≤pA
(rys.3).
Przyporządkowuje się kolejno:
lA=f(0), 1-A=f(1), 1+A=g(1), pA=g(0)
(2)
Skierowaniem liczby rozmytej nazywa się
uporządkowanie funkcji f i g tak, Ŝe funkcja f jest
początkiem OFN, zaś g końcem tej liczby.
algebra nowych liczb. Niech A=(fA,gA), B=(fB,gB),
C=(fC,gC) będą skierowanymi liczbami rozmyty
wtedy:
• suma C=A+B
(3)
fC = fA + fB , gC =gA + gB
• róŜnica C=A-B
(4)
fC = fA - fB , gC =gA – gB
iloczyn C=A*B
(5)
fC = fA *fB , gC =gA *gB
• iloczyn przez skalar C=A*r
(6)
fC =r* fA , gC =r*gA
• iloraz C=A/B
(7)
fC = fA /fB , gC =gA /gB
Jedną z waŜniejszych zalet OFN jest to, Ŝe nie
zawsze wynikiem operacji na nich jest liczba
o większym nośniku. Mogą one przechodzić przez
wiele operacji, nie tracąc przy tym na dokładności.
Dają one przy tym moŜliwość wnioskowania wstecz.
Wykonując operację arytmetyczną moŜna otrzymać
liczbę, której nośnik jest nieskończenie mały,
interpretuje się ją jako liczbę rzeczywistą i nazywa
singletonem. Dla klasycznych liczb rozmytych
nie było moŜliwe otrzymanie singletonu w wyniku
działań na nich przeprowadzanych. To pojęcie było
uŜywane, ale np. w celu przeniesienia niezmienionej
liczby rozmytej na osi kontinuum.
A-A=0nr oraz A*1/A=1nr
(8)
Tak jak w arytmetyce liczb rzeczywistych,
analogiczne operacje na OFN są przemienne
jak i łączne oraz mnoŜenie jest rozłączne względem
dodawania. Dla algebry klasycznych liczb rozmytych
opartej na zasadzie rozszerzania nie było to takie
oczywiste. Dodatkowo idea skierowanych liczb
rozmytych łączy w sobie operowanie na liczbach
rozmytych jak i rzeczywistych.
X=C-A
(9)
Dzięki temu jest się w stanie rozwiązać równania,
które nie miało rozwiązania dla klasycznych liczb
rozmytych. Dodatkowo idea skierowanych liczb
rozmytych łączy w sobie operowanie na liczbach
rozmytych jak i rzeczywistych.
•
Rys.1. a) Interpretacja graficzna OFN, b) OFN
przedstawiona w sposób nawiązujący do klasycznych
liczb rozmytych z dodatkową strzałka ukazującą
skierowanie (orientację) liczby.
Fig.1. a) Graphical interpretation OFN, b) OFN presented
in a way to classic fuzzy numbers with an additional
arrow showing ordered (orientation) number.
W
interpretacji
graficznej
skierowanie
przedstawia się jest za pomocą strzałki (rys. 1b, 2).
W zaleŜności od skierowania OFN moŜna podzielić
na dwa typy:
• OFN o orientacji pozytywnej wtedy, gdy
kierunek OFN jest zgodny z kierunkiem osi OX
liczb rzeczywistych (rys.2 liczba A, rys.3).
• OFN o orientacji negatywnej wtedy, gdy
kierunek OFN jest przeciwny do kierunku osi
OX liczb rzeczywistych (rys.2 B).
2. Obserwacja rozmyta
Rys.2. OFN A i B z tym samym kształtem funkcji, lecz o
przeciwnym skierowaniu.
Fig.2. OFN A and B of the same shape's, but otherwise
ordered.
Zostaną podane cechy róŜniące OFN od
klasycznych liczb rozmytych. Przede wszystkim
trzeba zauwaŜyć szersze moŜliwości, jakie daje
KaŜdy proces jaki by nie był przede wszystkim
trwa. W kolejnych jednostkach czasu obserwuje się
zdarzenia, którym przypisuje się oceny w skali [0, 1].
Obserwację taką i zmiany w czasie moŜna nazwać
obserwacją rozmytą [9, 12]. Czas lub teŜ
monotoniczność (narastanie, zanikanie) zjawiska
moŜe być dla konstruktora decydującym czynnikiem
wpływającym na skierowanie liczb w jego projekcie.
Dzięki obserwacji rozmytej istnienie czasu moŜe
być wykorzystane jako moŜliwość wyboru parametru
dla
przedstawienia
krzywej
przynaleŜności
skierowanej liczby rozmytej. Jeśli para funkcji
ciągłych (f, g) reprezentuje skierowaną liczbę
21
rozmytą A, to przy wyborze t jako parametru czasu
obserwacji rozmytej moŜna byłoby przedstawić
krzywą przynaleŜności odpowiadającej liczbie A
w postaci pary funkcji:
x = x̂(t), y = ŷ(t), t ∈ [t 0 , t f ]
t 1- ≤ t 1+
y(t 1- ) = y(t 1+ ) = y(t) = 1, t ∈ [t 1- , t 1+ ]
f(y(t)) = ŷ(t), gdy t ∈ [t 0 , t 1- ]
g(x(t)) = x̂(t) , gdy t ∈ [t 1+ , t f ]
Zapis prędkości w postaci OFN dzięki
skierowaniu daje moŜliwość zaznaczenia, w jakim
kierunku postępuje ruch. Skierowanie jest pewną
prognozą, co się wydarzy w następnej chwili czasu,
czy odległość od dworca będzie rosła, czy malała.
Dzięki OFN obserwator moŜe nie tylko oceniać,
w jakim
stopniu
uznaje
prawdziwość
rozpatrywanego zjawiska, ale takŜe wyrazić swoją
ocenę dotyczącą jego dynamiki.
Przykład 2
(10)
Przedstawione zostanie kilka przykładów,
które dowodzą sensu zaistnienia OFN nie tylko jako
obiektów matematycznych, ale równieŜ jako
pewnych prognoz, tendencji, ocen, parametrów.
Rys.3. Trapezoidalna OFN.
Fig.3. Trapezoid OFN.
KaŜdą trapezoidalną OFN moŜna opisać
za pomocą charakterystycznych punktów: (l,1-,1+,p)
(rys. 3). Analogicznie są traktowane trójkątne OFN
z tym, Ŝe punkty 1- oraz 1+ są sobie równe.
W ich przypadku zapis zostanie ograniczony
do następujących trzech liczb (l, 1, p).
Przykład 1
RozwaŜany będzie przypadek, w którym
obserwator znajdujący się na pewnym dworcu
szacuje, Ŝe pociąg porusza się z prędkością v=około
20km/h. Ta informacja go nie zadowala, poniewaŜ
nie wie, czy pociąg się oddala czy zbliŜa (rys. 4), czy
uciekł mu czy dopiero nadjeŜdŜa.
Tempomat jest urządzeniem pozwalającym
na utrzymywanie określonej prędkości bez znaczenia,
czy pojazd porusza się po płaskiej, czy teŜ pochyłej
nawierzchni. Prowadzący pojazd nie musi naciskać
pedału przyspieszenia, poniewaŜ odbywa się to
automatycznie. RozwaŜone zostanie sens uŜycia
skierowanych liczb do sterowania uproszczonym
modelem tego urządzenia, co za tym idzie
przyspieszeniem bądź hamowaniem pojazdu.
Oczywiście rozwaŜany przykład jest teoretyczny.
RozwaŜone będzie osiem OFN obranych
dla kontinuum prędkości. Będą one wyglądały
następująco: około 10 (0, 10, (20,1)), około 30 (20,
30, (40,1)), około 50 (40, 50, (60,1)), około 70 (60,
70, (80,1)), około 90 (80, 90, (100,1)), około 110
(100, 110, (120,1)), około 130 (120, 130, 140).
Wszystkie OFN będą na początku tego samego
dodatniego skierowania. Zastosowano delikatne
pokrycie się liczb w zakresie 0,1km/h, które jest
mniejsze niŜ dokładność odczytu tempomatu, która
wynosi 0,2km/h, co daje w rezultacie, Ŝe kaŜda
wartość odczytywanej prędkości będzie naleŜała
tylko do jednej OFN z przedziału (0, 140).
Prowadzący pojazd wybrał prędkość z jaką
chciałby się przemieszczać na 100km/h. Skierowanie
wszystkich OFN połoŜonych powyŜej tej wartości
prędkości
automatycznie
zmienia
kierunek
na przeciwny do pozostałych (rys. 5). Od tej chwili
wyglądają następująco: około 110 ((120,1), 110,
100), około 130 (140, 130, 120).
Rys.4. Pociąg a) oddalający się b) zbliŜający się od dworca z prędkością około 20 km/h
Fig.4. Train a) departuring b) oncoming from the railway station at approximately 20 km/h
22
Przychody, koszty, dochody
Income, expenses, rev en ue
M(i)
1
2
3
4
Rys.5. OFN załoŜone dla prędkości pojazdu.
Przewidywany
przychód
(Pi)
(100, 108, 116, 130) (50, 55, 60, 70)
(120, 130, 140, 145) (70, 80, 90, 101)
(80, 75, 70, 60)
(40, 30, 25, 22)
(105, 100, 96, 92)
(85, 80, 75, 70)
Obliczony dochód globalny
Fig.5. OFN Established for speed of the vehicle.
Baza reguł przedstawia się następująco:
1. jeśli v jest około 10 to a jest 5m/s2;
2. jeśli v jest około 30 to a jest 4m/s2;
3. jeśli v jest około 50 to a jest 3m/s2;
4. jeśli v jest około 70 to a jest 2m/s2;
5. jeśli v jest około 90 to a jest 1m/s2;
6. jeśli v jest około 110 to a jest -1m/s2;
7. jeśli v jest około 130 to a jest -2m/s2 .
Jeśli wartość prędkości pojazdu będzie się
zawierać w OFN o skierowaniu dodatnim,
to przyspieszenie a będzie przybierało wartości
dodatnie. Jeśli wartość prędkości będzie się zawierać
w OFN o skierowaniu dodatnim, to przyspieszenie a
będzie przybierało wartości ujemne. Przyspieszenie
dla liczb około 90 i około 110 oraz liczb około 70
i około 130 będzie przybierało tą samą wartość,
ale inny znak. Skierowania interpretowane jest w tym
przypadku, jako wyznacznik znaku wartości funkcji
pierwotnej po czasie. Informuje ono z góry, jaki znak
będzie przybierało przyspieszenie a, czy zostanie
włączony hamulec w przypadku samochodu czy gaz.
Przykład 3
Dotyczy dziedziny, z którą kaŜdy ma coś
wspólnego, a mianowicie ekonomi. Pewna fikcyjna
firma posiada sieć czterech sklepów. Zostały one
ponumerowane i=1, 2, 3, 4. Na sprzedaŜ globalną
Dg firmy składa się przychód ze sprzedaŜy
produktów Pg minus koszty Kg tj.: cena zakupu
produktu, transport, pensje pracownicze, opłaty
medialne, reklama itp. Eksperci uwzględniając wiele
czynników w tym tendencję do wzrostów i spadków
mają oszacować przyszłoroczne koszty i przychody
pojedynczych sklepów. Na tej podstawie zostaną
obliczone dochody D1, D2, D3, D4, które po
zsumowaniu dadzą przypuszczalny przyszłoroczny
dochód globalny Dg. Przychody i koszty eksperci
starali się dobrać, tak by w przyszłym roku otrzymać
dochód globalny Dg w postaci OFN skierowanej
pozytywnie. WaŜna jest tu interpretacja skierowania,
jako tendencji wzrostowej dochodu globalnego.
Ocena ekspertów nie jest do końca precyzyjna i aby
obliczyć przewidywalny globalny dochód firmy
wydaje się sensownym uŜycie OFN do zobrazowania
przychodów i kosztów kaŜdego ze sklepów podany
w milionach zł (tabela).
Przewidywane
koszty
(Ki)
Przewidywany
dochód
(Di= Pi- Ki)
(50, 53, 56, 60)
(50, 50, 50, 44)
(40, 45, 45, 46)
(20, 20, 21, 22)
(160, 168, 172, 194)
Rys.6. Przewidywane dochody poszczególnych sklepów
oraz dochód globalny.
Fig.6. Estimated revenue individual shops and revenue of
its global.
PoniŜej
zinterpretowano
OFN
kosztów
i przychodów dla pierwszej dwójki sklepów.
l - jest wyjściowym punktem, dla których
prognozowane przychody i koszty mają wzrosnąć;
up - mówi o przewidywanym wzroście
przychodów i kosztów. Jeśli według ekspertów
koszty mieściły by się w tym przedziale, choć niskie
i wydawało by się, Ŝe są dobre, mogły by nie starczyć
na nieprzewidziane potrzeby. W tym przedziale
przychody nie dają zadowalających rezultatów,
ale istnieje przypuszczenie, Ŝe będą w czasie rosły;
const - informuje o spodziewanych optymalnych
parametrach.
Nie
są
one
maksymalnymi
dla przychodów ani minimalnymi dla kosztów;
down – mówi o sytuacji, gdy przychody w opinii
ekspertów będą powodować większe koszty
i zmniejszenie się opłacalności produkcji;
p – jest to maksymalny poziom kosztów
i przychodów jaki moŜe być osiągnięty.
Dla sklepów 3 oraz 4 sytuacja jest zupełnie inna,
co ma przedstawiać przeciwne skierowanie OFN
kosztów
oraz
przychodów.
Interpretacja
charakterystycznych punktów oraz przedziałów
przedstawia się następująco:
l – w opinii ekspertów jest punktem wyjściowym
dla marketów, w których zakładane jest zmniejszenie
kosztów i przychodów;
up – prognozowane przychody, co za tym idzie
część kosztów mają zmaleć, jednak bilans ich daje
pozytywne perspektywy;
23
const - tak jak dla poprzednich dwóch marketów,
zawiera informuje o spodziewanych optymalnych
parametrach przychodów i kosztów;
down - informuje sytuacji, w której większy
spadek kosztów daje równieŜ duŜy spadek
przychodów, co nie jest pozytywną perspektywą;
p – najmniejsze wartości przychodów i kosztów
jakie są brane pod uwagę przez ekspertów.
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe orientacja OFN kosztów
i przychodów nie przenosi się bezpośrednio
na orientację dochodów. Przykładem staje się
sytuacji marketu nr 2, którego dochód otrzymany
został w postaci OFN skierowanej ujemnie. ChociaŜ
P2 i K2 są dodatnie, koszty rosną szybciej niŜ
przychody, co daje spadek dochodu tego w stosunku
to punktu, jaki obrano za wyjściowy i jest zgodne z
intuicją. MoŜna zauwaŜyć równieŜ, Ŝe największy
wpływ na dochód globalny Dg ma sklep 1, nie tylko
ze względu na wielkość kwot na jakich pracuje,
ale równieŜ ze względu na szerokość nośnika.
Przykład ten pokazuje proste i zgodne z intuicją
zastosowanie OFN w modelach ekonomicznych,
gdzie istnieje wiele zaleŜności i wpływów
zewnętrznych i wewnętrznych na pewne komórki
gospodarcze do tego stopnia, iŜ nawet grupa
ekspertów nie jest wstanie dokładnie przewidzieć
pewnych sytuacji (kryzys). Ogromnym plusem OFN
jest niewielka szerokość nośnika wyniku,
co umoŜliwia interpretację bez zbędnych w tym
wypadku procedur wyostrzania. OFN nie tylko
zawieranie informacji o sytuacji w danym czasie,
ale równieŜ pojawia się parametr umoŜliwiający
odczytanie tendencji.
Próby zastosowania OFN w ekonomi moŜna
znaleźć w publikacji [4], gdzie przeanalizowano
model Leontiewa przy uŜyciu OFN dla opisu
współrzędnych wektora produkcji całkowitej.
Przykład 4
Ten przykład porusza problem dotyczący
występowania wśród nowych liczb niewłaściwych
OFN(rys.7). Liczb tych uŜywa się przede wszystkim
w obliczeniach, by uzyskać zadowalające wyniki.
Toczy się wiele dyskusji nad interpretacją krzywej
przynaleŜności, która w tym przypadku pojawia się
zamiast funkcji przynaleŜności. Kształty krzywej
przynaleŜności mogą być bardzo zróŜnicowane.
Maklerzy giełdowi jako eksperci według pewnych
wskazówek, wzorów i intuicji powinni potrafić
określić przypuszczalny przebieg pozycji firm na
rynku. Przypuśćmy, Ŝe grupa maklerów określa
wartość teoretycznej firmy w czasie duŜych wahań
koniunktury na około miliona złotych i zapisuje jako
niewłaściwą OFN o kształcie jak na rysunku 7.
Pytanie jakie się od razu nasuwa to, jak w danym
momencie jedna wartość moŜe przynaleŜeć do
danego zbioru w dwóch stopniach. OtóŜ opinie
ekspertów na ten sam temat często przybierają
skrajne postawy. W ten sposób funkcja
przynaleŜności danego zbioru moŜe być równieŜ
rozmyta lub zawierać się w jakimś przedziale
niepewności np., gdy ma się do czynienia
niejednoznacznymi danymi. Z tym zjawiskiem
moŜna się spotkać w reprezentacji wiedzy przy
wykorzystaniu zbiorów rozmytych 2 typu [10].
W tym przypadku powstają pewne przedziały
niepewności na obszarze zawartym w przedziale
ograniczonym częścią przedziału const i funkcją
down. Na rysunku 7 obszar ten został zakreskowany.
Rys.7. Przykład niewłaściwej OFN.
Fig.7. Example of incorrect OFN.
Podobnie, jak w poprzednim przykładzie
tendencje wzrostowe otrzymają dodatnie skierowanie
zaś spadki ujemne. Idąc zgodnie z narastaniem osi
OX wartość funkcji w punkcje g(0) jest pewną
wartością krytyczną. Do niej maklerzy są zgodni, w
jakim stopniu ta wartości przynaleŜy do zbioru
około miliona. Idąc dalej po przekroczeniu wartości
funkcji g(0) część ekspertów uwaŜa, Ŝe wystąpi duŜa
dynamika zmian i nie są oni zgodni co do tego, jak
ma wyglądać funkcja przynaleŜności. Szacunki
ekspertów na wiadomość o przekroczeniu punktu
krytycznego i dalszym wzroście wartości firmy stają
się coraz bardziej zgodne. Największa wartość jaka
mieści się w pojęciu około miliona to wartość
funkcji w punkcie g(1). Maklerzy są przekonani,
Ŝe wartość firmy ze względu na ilość surowców
nie moŜe wyjść poza ten punkt i wartość firmy
zaczyna spadać wzdłuŜ funkcji down. W skierowaniu
funkcji down, które jest przeciwne do kierunku osi,
zawarta jest informacja mówiąca o spadku w czasie
wartości firmy. Przypomina to mechanizm pętli
histerezy.
Skierowane liczby rozmyte dają moŜliwość, aby
kształt ramion funkcji up oraz down odzwierciedlał
realne zaleŜności. Dodatkowo skierowanie daje
moŜliwość zawarcia informacji o przewidywanym
kierunku zmian i punkcie, w jakim ma to nastąpić.
Temat niewłaściwych OFN będzie poruszony szerzej
w następnej publikacji.
24
3. Wnioski i podsumowanie
Skierowane liczby rozmyte są odpowiedzią
na częste zarzuty wytaczane przeciw klasycznym
liczbą rozmytym takim jak: zwiększanie rozmytości
przy wykonywaniu kolejnych działań, brak
moŜliwości wnioskowania wstecz oraz duŜe
skomplikowanie
obliczeniowe.
Mają
swoją
nowatorską algebrę zachowując przy tym całą idee
zbioru rozmytego. Dzięki niej mogą one przechodzić
przez wiele operacji, nie tracąc przy tym
na dokładności. Dodatkowo OFN dają moŜliwość
wnioskowania
wstecz.
Wykonując
operację
arytmetyczną moŜna otrzymać liczbę, której nośnik
jest nieskończenie mały, interpretuje się ją jako liczbę
rzeczywistą. MoŜna więc rozwiązywać zadania,
w których część danych jest skierowanymi liczbami
rozmytymi a część liczbami rzeczywistymi. Tak jak
w arytmetyce liczb rzeczywistych, analogiczne
operacje na OFN są przemienne, łączne oraz
mnoŜenie jest rozłączne względem dodawania.
Dzięki temu jest się w stanie rozwiązać równania,
które nie miało rozwiązania dla klasycznych liczb
rozmytych.
WaŜnym
aspektem
w
rozwaŜaniach
nad skierowanymi
liczbami
rozmytymi
jest
obserwacja rozmyta. Istnienie czasu moŜe być
wykorzystane, jako moŜliwość wyboru parametru dla
przedstawienia krzywej przynaleŜności skierowanej
liczby rozmytej w postaci parametrycznej. Czas lub
teŜ monotoniczność (narastanie, zanikanie) zjawiska
moŜe byś dla projektanta systemu decydującym
czynnikiem wpływającym na skierowanie liczb.
W przykładach podano kilka moŜliwości
interpretacji skierowania. RozwaŜane było jako
wyznacznik kierunku ruchu, wyznacznik znaku
wartości funkcji pierwotnej po czasie oraz pewnej
tendencji. Dzięki skierowanym liczbom rozmytym,
ekspert moŜe nie tylko oceniać, w jakim stopniu
uznaje prawdziwość rozpatrywanego zjawiska,
ale takŜe wyrazić swoją ocenę dotyczącą jego
dynamiki.
http://212.33.90.158/terw2008/archives/terw20
07/resources/articleskacprzak _terw2007.pdf
5. Kosiński Witold: On Fuzzy Number Calculus, Int. J.
Appl. Math. Comput.Sci., 2006, vol 16, no. 1, pp.
51-57
6. Kosiński Witold., Prokopowicz Piotr., Algebra
liczb rozmytych, Matematyka Stosowana, 5 (46), pp.
37-63, 2004
7. Kosiński Witold., Prokopowicz Piotr., Ślęzak
Dominik., (2005), Calculus with fuzzy numbers, Proc.
Intern.Workshop on Intelligent Media Communicative
Intelligence, Warszawa, September, 2004, L.Bolc,
T. Nishida, Z. Michalewicz,(eds), LNCS,
Springer, Heidelberg, 2005
8. Piegat Andrzej: Modelowanie i sterowanie rozmyte,
Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT
Warszawa 1999
9. Prokopowicz Piotr., Algorytmizacja działań na
liczbach rozmytych i jej zastosowania, rozprawa
doktorska, IPPT PAN, 2005
10. Rutkowski Leszek: Metody i techniki sztucznej
inteligencji,
Inteligencja
obliczeniowa,
Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2006
11. Rutkowska Danuta: Piliński Maciej., Rutkowski
Leszek., Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy
rozmyte,
Wydawnictwo
Naukowe
PWN.
Warszawa, Łódź 1999
12. Wilczyńska- Sztyma Dorota: Pewne aspekty
sterowania w rozumieniu skierowanych liczb rozmytych
w środowisku MATLAB, Praca magisterska,
napisana pod kierunkiem prof. dra hab.
W. Kosińskiego, Bydgoszcz 2007
13. Zadeh Lotfi: Fuzzy sets, Information and Control,
8(3), pp. 338–353.
Adres słuŜbowy
Mgr Dorota Wilczyńska-Sztyma
Kazimierz Wielki University
ul. Chodkiewicza 30
85-064 Bydgoszcz
tel. 880 362 558
Literatura
1. Bartkiewicz Witold: Bartkiewicz W. Inteligentne
systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka,
Pod redakcją
Zieliński J.S. Wydawnictwo
Naukowe PWN Warszawa 2000
2. Driankov Dimiter: Hellendoorn Hans., Reinfrank
Michael., Wprowadzenie do sterowania rozmytego,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa
1996
3. Łachwa Andrzej: Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji,
faktów reguł i decyzji, Akademicka Oficyna
Wydawnicza EXIT Warszawa 2001
4. Kacprzak Dariusz: Analiza modelu Leontiewa
z uŜyciem skierowanych liczb rozmytych, Politechnika
Białostocka Wydział Informatyki Katedra
Matematyki [email protected]
25
email: [email protected]