n - Kolos

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 1
Powtórzenie, prawdopodobieñstwo
Teoria
Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)
jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka , F, P  gdzie  przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych czyli pewien zbiór, F jest  -ciaùem podzbiorów  , zaœ P miar¹
unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe
pojêcia:
Definicja 1
Rodzina zbiorów F nazywamy  -ciaùem na zbiorze  je¿eli speùnia nastêpuj¹ce
warunki:
(i)
F ,
(ii)
 A  F gdzie A oznacza   A czyli dopeùnienie zbioru A.
AF
(iii)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy
A
F .
A
F .
n
n
Ponadto z powy¿szej definicji wynika:
Wùasnoœã 1
Jeœli F jest  -ciaùem to:
(i)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy
n
n
(ii)
(iii)
Je¿eli A, B  F to A  B  F , A  B  F oraz A  B  F .
F
Dowód
(i)
Wynika z i¿
A
n
n
(ii)
(iii)


     An  oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.
 n

Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w
sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony A, B, , , ,..... )
Zauwa¿my, ¿e     co daje tezê.
Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:
Definicja 2
Niech  pewien zbiór zaœ F  -ciaùo zdefiniowane na  . Prawdopodobieñstwem
nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:
P : F  R
(i)
(ii)
P    1
1
(iii)
Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami





i 1
rozù¹czne) to P  Ai    P Ai 
 i 1
Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest
szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:
Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)
Niech  zbiór skoñczony,   1 , 2 ,..., n , F  2  oraz wszystkie zdarzenia
elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym
nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:
A
P  A 
, oraz P  i  

1
.
n
Przykùad 1
Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy   1,2,3,4,5,6, wszystkie wyniki s¹ tak samo
prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej
liczby oczek wynosi P A 
2,4,6
1,2,3,4,5,6

3
 0,5 .
6
Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa
otrzymujemy:
Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)
Je¿eli , F, P  jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz A, B, A1 , A2 ,..., An  F , to
(i)
P    0
(ii)
P A  0,1
(iii) Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g
 n
 n
P  Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
Monotonicznoœã. Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy
P  A  P B  .
Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... , to
Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , to
(iv)
(v)
  
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1
(vi)
Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,..., n , to
 n
 n
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1
(vii)
Ci¹gùoœã.
2



a. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
n 
 n 1 


b. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
 n 1  n 
(viii) Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy PB  A  PB   P A .
(ix)
P A  1  P A .
(x)
Dla dowolnych A, B  F mamy P A  B   P A  PB   P A  B  .
(xi) Dla dowolnych A, B, C  F mamy
P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 
.
Dowód
(i)
Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy
P   P      .....  P   P   P    ........ st¹d P    0
(ii)
Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿ P   1 i P nieujemna
funkcja.
(iii) Weêmy Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , oraz dla i  n niech
An   wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)
(iv)
(v)
n
 n

  
mamy P  Ai   P  Ai    P Ai    P Ai 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
Skorzystamy z warunku (iii). Niech A, B  F takie, ¿e A  B , mamy wtedy:
PB   P A  B  A gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli
PB   P A  PB  A oraz PB  A  0 co daje tezê.
Dla Ai  F , i  1,2,3,... , zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g Bn . Niech
B1  A1 , Bn  An   A1  ...  An 1  , wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F

rozù¹cznych parami i takich, ¿e

 Bn   An oraz dla ka¿dego n mamy
n 1
n 1
Bn  An czyli P Bn   P  An  . Policzmy wiêc:

 
  
P  Ai   P  Bi    P Bi    P  Ai  co daje tezê.
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
(vi)
(vii)
Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.
Niech An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g C n w
nastêpuj¹cy sposób: C1  A1 , C 2  A2  A1 ,...., C n  An  An 1 ,.... wtedy
n
oczywiœcie zbiory C n nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz An   C i , wiêc
i 1
mamy:
n
 
  
 n

P  Ai   P  C i    P Ci   lim  P C i   lim P  C i   lim P An 
n
n 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
 i 1  n 
(viii) Weêmy dowolne A, B  F takie, ¿e A  B mamy
PB   PB  A  A  PB  A  P A bo A  B, A rozù¹czne. Ostatnia
równoœã daje tezê.
3
(ix)
Weêmy dowolne A, B  F korzystaj¹c z algebry zbiorów oraz wùasnoœci
(viii) oraz (iii) mamy:
P A  B   P A  B  A  P A  PB  A  P A  PB   A  B   P A  PB   P A  B 
(x)
Do samodzielnej pracy.
Innym przykùadem prawdopodobieñstwa jest prawdopodobieñstwo geometryczne:
Definicja 4
Niech  podzbiór R n taki, ¿e gdzie n miara Lebesgu’a okreœlona na R n (w
uproszczeniu oznacza to dùugoœã w R ,pole w R 2 , objêtoœã w R 3 ), wtedy
prawdopodobieñstwem geometrycznym na  nazywamy miarê P okreœlon¹
  A
wzorem P A  n
gdzie A dowolny zbiór mierzalny wzglêdem miary
 n  
Lebesgu’a.
Przykùad 2
Z odcinka (0,2) losujemy 2 liczby. Policzê prawdopodobieñstwo zdarzenia A, ¿e ich
suma jest mniejsza ni¿ 1.
Rys 1
Zauwa¿my, ¿e losowanie 2 liczb z odcinka (0,2) polega na wylosowaniu punktu z
kwadratu 0,2  0,2 czyli  to ten kwadrat. Oczywiœcie 2    4 , mamy
ponadto A   x, y    : x  y  1 czyli  2  A 
1
1
, st¹d P  A  .
2
8
Dwoma podstawowymi pojêciami w teorii prawdopodobieñstw, których nie nale¿y
myliã s¹ rozù¹cznoœã i niezale¿noœã zdarzeñ, przypomnijmy zdarzenia A,B s¹
rozù¹czne tak jak zbiory, gdy A  B   . Niezale¿noœã oznacza zaœ nastêpuj¹c¹
wùasnoœã pary zbiorów:
Definicja 5
Zbiory A,B s¹ niezale¿ne jeœli speùniaj¹ warunek: P A  B   P A  PB  .
Przykùad 3
4
Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i
B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.
  o, o , r , r , o, r , r , o  i mamy model klasyczny czyli P  A 
A

P B  
B



2 1
 ,
4 2
2 1
A B 1
 oraz mamy P  A  B  
 , czyli P A  B   P A  PB  .
4 2
4

Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.
Uwaga.
Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B
i B,C i A,C oraz zachodzi warunek P A  B  C   P A  PB   PC  .
Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam
wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.
Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia
zdarzenia B, gdzie PB   0 , nazywamy liczbê
P A / B  
P A  B 
.
P B 
Przykùad 4
Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,
¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:
(i)
mùodsze dziecko jest dziewczynk¹
(ii)
co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹
W obu przypadkach   d , d , d , c , c, d , c, c  i mamy do czynienia z modelem
klasycznym.
(i)
1
1
P d , d /d , d , c, d   4 
1 2
2
(ii)
1
1
P d , d /d , d , c, d , d , c   4  .
3 3
4
Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia
wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).
Definicja 7
5
Ukùadem zupeùnym zdarzeñ (rozbiciem przestrzeni  ) nazywamy skoñczony b¹dê
nieskoñczony ci¹g zdarzeñ B1 , B2 , B3 ,.... parami rozù¹cznych i daj¹cych w sumie
przestrzeñ  :
 Bn  , Bi  B j   , i  j .
n
Twierdzenie 2 ( Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
n
P  A   P A / Bi P Bi 
i 1
Dowód
n
 n
 n
P  A  P   A  Bi    P  A  Bi    P  A / Bi P Bi  .
i 1
 i 1
 i 1
Rys 2
Uwaga
Powy¿sze twierdzenie jest prawdziwe równie¿ dla przeliczalnej, nieskoñczonej
liczby zdarzeñ Bi .
Przykùad 5
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot
drugi ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle
samo zabawek na godzinê.
Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrana zabawka z tej fabryki oka¿e siê
brakiem?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 1.
6
B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 3.
3
1
1
1
1 1
P  A   P A / Bi P Bi   0,03   0,05   0,02   0,1  
3
3
3
3 30
i 1
Drugim z podstawowych twierdzeñ jest twierdzenie pozwalaj¹ce przeœledziã przebieg
doœwiadczenia na podstawie jego wyniku:
Twierdzenie 3 (Wzór Bayes’a)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach i A dowolne zdarzenie o dodatnim prawdopodobieñstwie to
zachodzi wzór:
P B j / A 
P A / B j P B j 
n
.
 P A / B PB 
i
i
i 1
Dowód
Wystarczy skorzystaã ze wzoru na prawdopodobieñstwo warunkowe oraz ze wzoru na
prawdopodobieñstwo caùkowite aby otrzymaã:
P B j / A 
P B j  A
P A

P A / B j P B j 
n
 P A / B PB 
i
i
i 1
Wykorzystajmy sytuacjê z przykùadu 4 zmieniaj¹c tylko treœã pytania. Zauwa¿my, ¿e
znamy ju¿ wynik losowania a pytamy siê o przebieg losowania.
Przykùad 6
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot drugi
ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle samo
zabawek na godzinê.
Losujemy zabawkê, okazaùa siê ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e
pochodzi od robota nr 2?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 1.
B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 3.
7
P B 2 / A 
P  A / B2 P B2 
3
 P A / B PB 
i
i 1
i
0,05 

1
30
1
3  0,5 .
Definicja8
Schematem Bernoulliego nazywamy ci¹g niezale¿nych powtórzeñ tego samego
doœwiadczenia o dwu mo¿liwych wynikach nazwanych umownie sukcesem i pora¿k¹.
Poszczególne doœwiadczenia to próby Bernoulliego.
W powy¿szej sytuacji zachodzi wzór:
n
Pn k     p k q n  k
k 
gdzie: Pn k  prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego,
p prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczej próbie, q  1  p prawdopodobieñstwo
pora¿ki w jednej próbie.
8
Zadania z przykùadowymi rozwi¹zaniami
Model klasyczny prawdopodobieñstwa
1. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisaã przestrzeñ
zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e otrzymamy wyraz
MATEMATYKA.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e klocki s¹ rozró¿nialne i oznaczmy
T  M 1 , M 2 , A1 , A2 , A3 , T1 , T2 , Y , K , E.
Wtedy przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie permutacje elementów ze zbioru
T czyli:
   x1 , x 2 ,..., x10 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿de ustawienie klocków jest tak
samo prawdopodobne a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model klasyczny. Z
kombinatoryki wiemy, ¿e   10!
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na uùo¿eniu sùowa MATEMATYKA. £atwo widaã, z
kombinatoryki, ¿e A  2!3!2! 24 . St¹d:
P  A 
24
1

.
10! 151200
2. 2 chùopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisaã przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) chùopcy stoj¹ obok siebie
b) chùopcy i dziewczynki stoj¹ na zmianê.
3. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i
obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) miêdzy 0 i 9 stoj¹ dokùadnie 4 cyfry
b) 1,2,3,4 bêd¹ staùy obok siebie.
4. Przy okr¹gùym stole usiadùo dziesiêã kobiet i dziesiêciu mê¿czyzn. Opisaã
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e osoby tej samej
pùci nie siedz¹ koùo siebie.
5. Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mê¿czyzn wybrano
a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.
b) 3 osoby do zarz¹du firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i
wiceprezesa ds. produkcji)
Dla ka¿dego z przypadków opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã
prawdopodobieñstwo, ¿e wœród wybranych s¹ dokùadnie 2 kobiety.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e ludzie s¹ zawsze rozró¿nialne i oznaczmy T  k1 ,..., k10 , m1 ,..., m15 .
a) Poniewa¿ wybór 3 specjalistów nie wymaga uwzglêdnienia kolejnoœci wiêc
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie kombinacje 3 elementowe ze
zbioru T czyli:   x1 , x 2 , x3 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób
jest tak samo prawdopodobny a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
 25 
klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e     .
3
9
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e
10 15 
A     .
 2  1 
St¹d:
10 15 
  
2 1
P  A     .
 25 
 
3
b) W tym przypadku kolejnoœã jest istotna (ró¿ne funkcje) wiêc zmienia siê
model:    x1 , x 2 , x3 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób jest
tak samo prawdopodobny a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e  
n!
.
n  3!
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e
10 15 
A    3!.
 2  1 
St¹d:
10 15 
  3!
2 1
P  A     
n!
n  3!
10 15 
  
 2  1  .
 25 
 
3
Widzimy, ¿e wynik jest ten sam niezale¿nie od modelu, poniewa¿ zdarzenie A nie
zale¿aùo od kolejnoœci.
6. W pudeùku jest 6 œrubek dobrych i 2 zùe. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych
i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e wœród 4 wybranych œrubek s¹ 3 dobre i 1 zùa.
7. Ze schroniska na szczyt prowadz¹ 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam
wycieczkê na szczyt i z powrotem wybieraj¹c szlaki losowo. Jakie jest
prawdopodobieñstwo i¿ bêdê wchodziã i schodziã tym samym szlakiem?
Rozwi¹zanie
Przestrzeñ zdarzeñ elementarnych   x1 , x 2 , xi  cz, z, n . Zauwa¿my, ¿e w parze
mog¹ siê powtarzaã kolory. Znowu mamy do czynienia z modelem klasycznym ponadto
  3 2  9 . Niech A zdarzenie polegaj¹ce na powrocie t¹ tras¹ któr¹ przyszliœmy,
A  cz , cz ,  z , z , n, n , st¹d A  3 . Mamy wiêc P  A 
1
.
3
8. Rzucam 2 razy kostk¹ symetryczn¹. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Jakie
jest prawdopodobieñstwo
a) wyrzucenia dwukrotnie tego samego?
b) wyrzucenia w sumie 10 oczek?
9. Autobus zatrzymuje siê na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasa¿erów, z
których ka¿dy musi wysi¹œã na jednym z przystanków. Opisz przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ ka¿dy spoœród 8 pasa¿erów
wysi¹dzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ wszyscy
pasa¿erowie wysi¹d¹ na tym samym przystanku.
10
10. Losowo dzielimy 15 delicji szampañskich miêdzy 4 osoby. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e ka¿da z nich dostanie:
a) przynajmniej jedno ciasteczko?
b) przynajmniej 2 ciasteczka?
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.
Rozwi¹zanie
Jeœli uznamy, ¿e w modelu tym nie ma znaczenia które delicje otrzymaùa która osoba
to:   x1 , x2 , x3 , x4 , x1 , x 2 , x3 , x 4  N, x1  x 2  x3  x 4  15 , (przyjmijmy dla uùatwienia
zapisu, ¿e 0 nale¿y do liczb naturalnych), gdzie xi to iloœã delicji otrzymanych przez
15  4  1
 ( wzór na iloœã kombinacji z
i-t¹ osobê. Z kombinatoryki mamy   
 4 1 
powtórzeniami).
a) A zdarzenie polegaj¹ce na otrzymaniu przynajmniej jednego ciasteczka
przez ka¿d¹ osobê,
A  1  x1 ,1  x 2 ,1  x3 ,1  x 4 , x1 , x 2 , x3 , x 4  N, x1  x 2  x3  x 4  11 ,
11  4  1
 .
mamy wiêc z tego samego wzoru co powy¿ej A  
 4 1 
11  4  1


4  1 

Ostatecznie P A 
.
15  4  1


 4 1 
Podpunkt b robi siê analogicznie.
11. Do windy zatrzymuj¹cej siê na 4 piêtrach wsiadùo 20 osób. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ na ka¿dym z piêter wysi¹dzie dokùadnie 5 osób. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ przynajmniej na jednym piêtrze nikt nie wysi¹dzie. Opisz
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.
12. Z liczb 1-1001 wylosowano 2. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ ich suma jest podzielna przez 3.
13. U¿ywaj¹c ró¿nych cyfr ze zbioru Z  3,4,5,7,9 utworzono liczbê trzycyfrow¹.
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz prawdopodobieñstwo, ¿e:
a) Jedn¹ z cyfr jest 7
b) Jest to liczba parzysta.
Wùasnoœci prawdopodobieñstwa
1. Niech A,B,C bêd¹ zdarzeniami. Niech ponadto:
P A  0,5; PB   0,2; PC   0,4; P A  C   0,2; PB  C   0,1; P A  B   0,1; A  B  C  
Policz prawdopodobieñstwo:
a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeñ
b) zachodzi dokùadnie jedno ze zdarzeñ A,B,C
c) zachodz¹ przynajmniej dwa ze zdarzeñ A,B,C
d) nie zachodzi ¿adne z tych zdarzeñ.
11
Rozwi¹zanie
a) Interesuje nas zdarzenie postaci A  B  C , gdzie oczywiœcie A,B,C
niekoniecznie rozù¹czne, st¹d
P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 
i podstawiaj¹c otrzymujemy:
P A  B  C   0,5  0,2  0,4  0,2  0,1  0,1  0  0,7 .
b)
Interesuje nas zdarzenie postaci
 A  B  C     B   A  C     C   A  B   , tu sumowane zdarzenia s¹

 
 

rozù¹czne , liczymy wiêc



P   A  B  C     B   A  C     C   A  B    










P   A  B  C     P  B   A  C     P  C   A  B    






P  A   P  A  B   P  A  C   P B   P  A  B   P B  C   P C   P  A  C   P B  C  
0,5  0,2  0,1  0,2  0,1  0,1  0,4  0,2  0,1  0,3
c)
d)
Samodzielnie
Teraz musimy policzyã

P  A  B   C   P  A  B  C    1  P  A  B  C   0,3 .


2. Udowodnij, ¿e P A  B   P A  PB   1 .
Wskazówka:
Skorzystaã z wzoru na sumê zdarzeñ oraz z faktu, ¿e prawdopodobieñstwo dowolnego
zdarzenia jest mniejsze b¹dê równe 1.
1
1
i P  A  B   , P  A \ B   P B \ A . Oblicz P A, P  A \ B  .
2
4
1
3
4. Dane s¹ P  A  , P B   , A  B   . Uporz¹dkowaã rosn¹co
4
4
P A  B , P A  B , P A  B  .
3. Dane s¹ P  A  B  
5. Maj¹c dane zdarzenia niezale¿ne A i B o prawdopodobieñstwach:
P A  0,4 oraz PB   0,6 , znajdê:
P( A / B)
a)
P A  B 
b)
P A  B  .
c)
Wskazówka:
Niezale¿noœã daje nam P A  B   P A  PB   0,24 .
6. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezale¿ne samo od siebie.
Rozwi¹zanie.
Musimy zbadaã dla jakich A zachodzi P A  A  P A  P A . Zauwa¿my, ¿e
 A  A  A , czyli musimy zbadaã równoœã a  a 2 gdzie a  P A . Oczywiœcie równoœã
ta zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy a  0  a  1 . St¹d mamy, ¿e zdarzenie jest
niezale¿ne samo od siebie gdy jego prawdopodobieñstwo wynosi 0 lub 1.
12
7. W szafce s¹ 3 pary kaloszy w 3 ró¿nych kolorach i tym samym rozmiarze. Czùowiek
nie rozró¿niaj¹cy kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e ¿adna para nie bêdzie jednokolorowa?
Rozwi¹zanie
Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Wyobraêmy sobie, ¿e nasz daltonista
ustawia najpierw 3 prawe kalosze a potem dopasowuje do nich 3 lewe, wtedy ka¿de
zdarzenie elementarne to jedno z ustawieñ 3 kaloszy lewych w ci¹g, st¹d   3! 6 .
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e ¿adna para nie jest jednokolorowa. Zbadamy
zdarzenie przeciwne do A czyli zdarzenie A - przynajmniej 1 para jest jednokolorowa.
Ponumerujmy pary kaloszy i okreœlmy zdarzenia:
A1 para numer 1 jest prawidùowo sparowana,
A2 para numer 2 jest prawidùowo sparowana,
A2 para numer 3 jest prawidùowo sparowana.
Wtedy
P  A  P  A1  A2  A3  
P  A1   P  A2   P  A3   P  A1  A2   P  A2  A3   P  A1  A3   P  A1  A2  A3   .
2! 2! 2! 1 1 1 1
1
1 4
       3  2 
3! 3! 3! 3! 3! 3! 3!
3
6 6
2 1
Czyli P  A  1  P  A   .
6 3
8. Na zabawie s¹ 3 pary maù¿eñskich. W sposób losowy kobiety losuj¹ mê¿czyzn do
tañca. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e ¿aden m¹¿ nie tañczy ze swoj¹ ¿on¹?
Prawdopodobieñstwo geometryczne
1. Z odcinka  2,3 losujemy liczbê policz prawdopodobieñstwo, i¿:
a) wylosowana liczba bêdzie dodatnia
b) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1
c) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie wiêkszy od 2
d) bêdzie to liczba wymierna
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ losujemy 1 liczbê z odcinka  2,3 , wiêc    2,3 , zaœ
  A
  A
  A
prawdopodobieñstwo okreœlone jest wzorem: P A  1
 1
 1
.
1   3   2
5
a) Niech A zdarzenie: wylosowana liczba bêdzie dodatnia, wtedy
  A 3
A  x   2,3 : x  0  0,3 , st¹d P  A  1
 .
5
5
b)
Niech B zdarzenie: kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1, wtedy
  A 2
A  x   2,3 : x 2  1   1,1 , st¹d P  A  1
 .
5
c)
samodzielnie
13
5
d) zbiór liczb wymiernych jest przeliczaln¹ sum¹ zbiorów jednopunktowych,
wiêc jego miara Lebesgu’a wynosi 0, st¹d prawdopodobieñstwo zdarzenia z
podpunktu d) wynosi 0.
2. Z odcinka  1,2 losujemy 2 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a) ich suma jest dodatnia,
b) ich maksimum jest mniejsze od 1,
c) jedna z nich jest 2 razy wiêksza od drugiej,
d) jedna jest wymierna,
e) obie s¹ niewymierne.
Wskazówka
Zobacz Przykùad 2 z czêœci teoretycznej. Zadanie to robimy analogicznie.
3. Z odcinka 0,5 losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a) ich minimum jest wiêksze od 2,
b) ich maksimum jest wiêksze od 3,
c) jedna z nich jest liczb¹ naturaln¹.
4. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dziel¹ go na trzy odcinki. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e mo¿na z tych 3 odcinków zbudowaã trójk¹t?
5. Na stóù o ksztaùcie koùa i promieniu 60 cm rzucono monetê o promieniu 1 cm, która
upadùa na stóù. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e moneta nie dotknêùa brzegu stoùu?
Rozwi¹zanie
Musimy okreœliã najpierw model, zauwa¿my, ¿e jeœli moneta upadùa na stóù to jej
œrodek ciê¿koœci musi le¿eã na stole i wùaœnie œrodek monety bêdzie wyznaczaù nam jej
poùo¿enie. Teraz  to nasz stolik czyli koùo o promieniu 60 cm, st¹d
2
 2     60   3600 . Niech A zdarzenie polegaj¹ce nadym, ¿e moneta nie dotknie
stoùu, oznacza to, ¿e A to koùo o promieniu 59 cm, bo promieñ monety to 1 cm. St¹d
  A 3481 3481
2
 2  A   59   3481 , czyli 2


.
 2   3600 3600
6. *Zadanie Bufona o igle. Igùê o dùugoœci l rzucono na podùogê z desek o szerokoœci
a l  a  . Jaka jest szansa, ¿e igùa przetnie krawêdê deski?
Prawdopodobieñstwo – inne modele, prawdopodobieñstwo warunkowe, badanie
niezale¿noœci zdarzeñ ,prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa.
1. Rzucam 3 razy monet¹ dla której prawdopodobieñstwo wyrzucenia reszki jest 2
razy wiêksze ni¿ orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz
prawdopodobieñstwo wyrzucenia dokùadnie 2 orùów.
Rozwi¹zanie
Ten model nie jest modelem klasycznym bo wyrzucenie reszki jest dwukrotnie bardziej
prawdopodobne ni¿ orùa, st¹d zdarzenia elementarne nie s¹ równie prawdopodobne.
1
3
Oczywiœcie   x1 , x 2 , x3 , xi  o, r, poniewa¿ w jednym rzucie P o  , P r 
wiêc poszczególne zdarzenia elementarne maj¹ nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:
14
2
,
3
1 1 1 1
2 1 1
  
, P r , o, o     
3 3 3 27
3 3 3
1 1 2
2
2 2 1
P o, o, r     
, P r , r , o     
3 3 3 27
3 3 3
2 1 2
4
2 2 2
P r , o, r     
, P r , r , r     
3 3 3 27
3 3 3
P o, o, o  
2
1 2 1 2
, P o, r , o     
,
27
3 3 3 27
4
1 2 2
4
, P o, r , r      ,
27
3 3 3 27
8
. Warto jeszcze przeliczyã czy
27
suma prawdopodobieñstw wszystkich zdarzeñ elementarnych wynosi 1, sprawdzamy,
zgadza siê. Niech A zdarzenie: wyrzucenie dokùadnie 2 orùów. Mamy wtedy sumuj¹c
odpowiednie prawdopodobieñstwa nastêpuj¹cy wynik: P  A 
6
.
27
2. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tylokrotnie ile wypadùo oczek na kostce. Opisz
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Znajdê prawdopodobieñstwo wyrzucenia
a) dokùadnie 5 orùów.
b) przynajmniej 1 reszki
3. Do urny wkùadam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz 2 biaùe. Z urny losuje kolejno
2 kule. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo
wylosowania kul we wszystkich kolorach.
4. Rzucam kostk¹ do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo:
a) rzucaliœmy parzyst¹ iloœã razy
b) rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy.
Rozwi¹zanie
Zauwa¿my, ¿e mamy do czynienia z przestrzeni¹ nieskoñczon¹
n
5 1
  6, x 6, xx 6, xxx 6, xxxx 6, xxxxx 6,..., x  1,2,3,4,5. Jednoczeœnie P x...x 6    ,
6 6
gdzie n liczba x-ów poprzedzaj¹cych 6.
a) Niech teraz A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy parzyst¹ iloœã
5
razy, A  x 6, xxx 6, xxxxx 6,... , st¹d P  A    
n 1  6 

b)
2 n 1
1

6
5 1
5

6 6  36  5 .
2
11 11
5
1  
36
6
Niech teraz B zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy,
B  6, x 6, xx 6, xxx 6 , mamy wtedy P B  
1 5 25 125



.
6 6 2 63 6 4
5. Rzucamy monet¹ do momentu wyrzucenia 2 razy pod rz¹d tej samej strony monety.
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo i¿ rzucaliœmy
nieparzyst¹ iloœã razy.
6. Dwóch graczy A i B rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który pierwszy
wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo
wygrania dla ka¿dego z nich.
7. Trzech graczy A ,B i C rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który
pierwszy wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz
prawdopodobieñstwo wygrania dla ka¿dego z nich.
8. Rzucam 2 razy kostk¹ do gry. Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu szóstki
w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu 1 lub 2 w drugim
15
rzucie, zaœ C zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj
niezale¿noœã:
a) Zdarzeñ A i B
b) Zdarzeñ A i C
c) Zdarzeñ B i C
d) Zdarzeñ A,B,C razem.
Rozwi¹zanie
Oczywiœcie    x, y , x, y  1,2,3,4,5,6 , model klasyczny,   36 . Zauwa¿my ponadto
6
;
36
A  6, y , y  1,2,3,4,5,6 oraz A  6 , P  A 
B   x,1,  x,2 , x  1,2,3,4,5,6 oraz B  12 , P B  
12
;
36
C  6,1, 5,2, 4,3, 3,4 , 2,5, 1,6  oraz C  6 , P C  
A  B  6,1, 6,2  oraz A  B  2 , P  A  B  
A  C  6,1 oraz A  C  1 , P  A  C  
6
;
36
2
;
36
1
;
36
C  B  6,1, 5,2  oraz C  B  2 , P C  B  
2
;
36
1
.
36
Mamy wiêc P A  B   P A  PB  , P A  C   P A  PC  , PB  C   PB   PC  ,
P A  B  C   P A  PB   PC  . Zdarzenia A,B,C s¹ parami niezale¿ne ale nie s¹
A  B  C  6,1 oraz A  B  C  1 , P  A  B  C  
niezale¿ne wszystkie 3 razem.
9. Wybrano losowo rodzinê z dwójk¹ dzieci i okazaùo siê, ¿e jedno z nich ma na
drugie imiê Piotrek ( co nie znaczy ¿e drugie nie ma na imiê Piotrek). Jaka jest szansa,
¿e drugie dziecko te¿ jest chùopcem.
Rozwi¹zanie
10. Przyjmijmy   x1 , x 2 , xi  d , c, gdzie xi pùeã i-tego dziecka. Niech A
zdarzenie: jedno z nich ma na drugie imiê Piotrek, zaœ B zdarzenie drugie dziecko te¿
jest chùopcem. Liczymy PB / A 
P A  B 

P A
1
4
3
4
1
 .
3
11. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e na ¿adnej kostce nie
wypadùa 6, jeœli na ka¿dej kostce jest inny wynik.
12. Mamy trzy kr¹¿ki. Jeden z dwóch stron jest biaùy, drugi ma obie strony czarne a
trzeci jedn¹ czarn¹ a drug¹ biaù¹. Rzucaliœmy losowo wybranym kr¹¿kiem i na
wierzchu wypadùa biaùa strona. Policz prawdopodobieñstwo, ¿e po drugiej stronie jest
kolor czarny.
13. Jaka jest szansa, ¿e ka¿dy z graczy S,E,W ma co najmniej 1 asa, jeœli wiadomo, ¿e
gracz N nie dostaù ¿adnego.
14. W urnie znajduje siê 3 kule biaùe i 7 czarnych. Losuje z urny 10 razy ze zwrotem.
Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a) Wylosuje 10 kul czarnych
b) Wylosuje 4 kule czarne
16
c)
Wylosuje co najmniej 2 kule czarne.
1
5
15. Myœliwy trafia do dzika z prawdopodobieñstwem p  . Ile razy powinien strzeliã
aby z prawdopodobieñstwem wiêkszym ni¿ 0,5 trafiù dzika przynajmniej raz.
Wskazówka
Skorzystaj ze schematu Bernoulliego.
16. Rzucono 10 razy symetryczn¹ kostk¹. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e w
ostatnim rzucie wypadnie 3, jeœli wiadomo, ¿e
a) otrzymano 4 trójki,
b) w pierwszych 9 rzutach wypadùy same trójki?
17. *Zadanie Banacha o zapaùkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i
prawej) po jednym pudeùku zapaùek. Ilekroã chce zapaliã papierosa, siêga do losowo
wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, ¿e gdy po raz pierwszy wyci¹gnie puste pudeùko to
w drugim bêdzie k zapaùek?( k=1,2,3,...,m gdzie m jest liczb¹ zapaùek w peùnym
pudeùku. Zakùadamy, ¿e pocz¹tkowo matematyk ma 2 peùne pudeùka.)
18. Z jednej urny zawieraj¹cej 4 biaùe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej
zawieraj¹cej 8 biaùych kul przekùadamy dwie losowo wybrane kule. Nastêpnie z
drugiej urny losujemy 1 kule. Policz prawdopodobieñstwo i¿:
a) jest to kula biaùa,
b) przeùo¿yliœmy dwie kule biaùe jeœli wylosowana kula okazaùa siê biaùa.
Rozwi¹zanie
Zauwa¿my najpierw, ¿e nas interesuj¹ tylko 2 rodzaje kul: biaùe i inne. W zadaniach
wykorzystuj¹cych wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa nie musimy
konstruowaã przestrzeni probabilistycznej dla caùego doœwiadczenia, bo wszystkie
potrzebne prawdopodobieñstwa zale¿¹ od pomocniczych przestrzeni. Pierwszej
zwi¹zanej z losowaniem 2 kul z pierwszej urny 1  x, y, x, y  b1 , b2 , b3 , b4 , i1 , i2 ,..., i6 
gdzie literki b oznaczaj¹ kule biaùe a literki i inne. Druga zale¿y od wyniku
pierwszego losowania. Oznaczmy:
B0 przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,
6
 
2
5
P B0      ;
10  15
 
2
B1 przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,
 4  6 
  
1 1
8
P B1       ;
15
10 
 
2
B2 przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny,
 4
 
2
2
P B 2      .
10  15
 
2
17
Zauwa¿my, ¿e zdarzenia te tworz¹ ukùad zupeùny, bo s¹ rozù¹czne i obejmuj¹ wszystkie
2
mo¿liwe przypadki ( Bi  B j  , i  j ,  Bi   ).
i 0
Niech A oznacza wylosowanie kuli biaùej z drugiej urny. Potrzebne nam bêd¹ teraz
jeszcze prawdopodobieñstwa zdarzeñ:
A / B0 czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,
A / B1 czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,
A / B1 czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny.
£atwo widaã, ¿e
8
,
10
9
P  A / B1   ,
10
P  A / B2   1
P  A / B0  
Potrzebujemy policzyã jeszcze
a) z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite mamy:
2
8 5
9 8
2 22
    1 
10 15 10 15
15 25
i 0
P A / B2 P B2  152
5
z wzoru Bayesa PB2 / A 
 22 
.
P  A
33
25
P  A   P A / Bi PBi  
b)
19. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tyle razy ile wypadùo oczek na kostce. Policz
prawdopodobieñstwo:
a) wyrzucenia 3 orùów,
b) wyrzucenia 6 oczek jeœli wypadùy 3 orùy,
c) wyrzucenia 6 oczek jeœli nie wypadù ani jeden orzeù.
20. W urnie znajduje siê a losów wygrywaj¹cych, b losów przegrywaj¹cych i c losów
„losuj dalej”. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystaj¹c z wzoru
na prawdopodobieñstwo caùkowite policz prawdopodobieñstwo wygranej dla a=100 i
b=200.
21. Dwaj gracze A i B rzucaj¹ na zmianê kostk¹ symetryczn¹. Wygrywa ten z nich
który pierwszy wyrzuci 6. Korzystaj¹c z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite
policz prawdopodobieñstwo wygranej dla ka¿dego z graczy.
22. Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 200 000
samochodów a pozostaùe 1 300 000 samochodów pochodzi z importu . 10%
samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko
5% pochodz¹cych z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieñstwo i¿:
a) losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski
b) losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeœli
okazaù siê niebieski.
18
Uwaga koñcowa.
Dodatkowo rozwi¹zania podobnych zadañ maj¹ pañstwo w przykùadach w czêœci
teoretycznej oraz w pozycjach, z których korzystaùam przy pisaniu zestawów:
„Wstêp do teori prawdopodobieñstwa” J.Jakubowski, R.Sztencel;
„Rachunek prawdopodobieñstwa i statystyka matematyczna w zadaniach”, tom1,
W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowska, M.Wasilewski;
„Prawdopodobieñstwo i miara” P.Billinsley
19