Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej
1. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n+1)
2
2
(b) 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n
n(n+1)(2n+1)
6
2
2
2
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)2 = n3 (2n
1
1
1
n
+ 4·7
+ . . . + (3n−2)·(3n+1)
= 3n+1
1·4
(c) 12 + 22 + . . . + n2 =
(d)
(e)
− 1)(2n + 1)
(f) 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1
2. Pokaż, że
(a) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 5n − 1 jest podzielna przez 4
(b) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 42n+1 + 3n+2 jest podzielna przez 13
(c) dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n5 − 5n3 + 4n jest podzielna przez 120
(d) dla dowolnej liczby naturalnej n 2n > n
(e) dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 3, n! > 2n
(f) dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 2, 2n > 2n + 1
(g) dla dowolnej liczby naturalnej n n3 >
n(n+1)
2
3
(h) dla dowolnej liczby naturalnej n 4n > n
3. Pokaż, że liczba permutacji dowolnego zbioru o n elementach jest równa n!.
4. Pokaż, że każdy zbiór n elementowy S posiada 2n podzbiorów ( łącznie ze zbiorem
pustym i zbiorem S).
5. Udowodnij indukcyjnie, że każdą kwotę n ≥ 4 można rozmienić na dwuzłotówki i
pięciozłotówki.
6. Pokaż, że dla dowolnego a > −1 oraz dowolnego n ∈ N zachodzi:
1 + na ≤ (1 + a)n
n
7. Pokaż, że dla n > 2 liczba 22 ma w rozwinięciu dziesiętnym liczbę jedności równą 6.
8. Udowodnij, że
11 . . . 12 = 2n − 1
| {z }
n
9. Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego n liczba n(n + 1) jest parzysta.
1
10. Pokaż, że ciąg sn zadany rekurencyjnie :
s0 = 1, s1 = −3, sn = 6sn−1 − 9sn−2 n > 2
można opisać wzorem jawnym :
sn = 3n − 2 · n · 3n , n > 0
11. Czekolada jest prostokątem złożonym z jednoskowym kwadracików. Zakładamy, że
możemy ją łamać wzdłuż poziomych bądż pionowych rowków, podobnie powstałe
z przełamania kawałki (które są prostokątami). Zakładamy, że w jednym ruchu
dokonujemy jednego łamania tylko jednego kawałka. Ile ruchów potrzebujemy , aby
podzielić czekoladę na jednostkowe kawałki. Trenując na prawdziwej czekoladzie
dojść do odpowiedzi a otrzymany wynik udowodnić indukcyjnie.
12. Weźmy zdanie p(n) := ń2 + 5n + 1 jest liczbą parzystą”.
(a) Udowodnij, że z prawdziwości zdania p(k) wynika prawdziwość zdania p(k + 1)
dla każdego k ∈ N.
(b) Dla jakich wartości n zdanie p(n) jest rzeczywiście prawdziwe? Jaki wynika stąd
morał?
13. TEZA: ”Wszystkie koty są czarne”. (”W każdym (skończonym) zbiorowisku kotów,
wszystkie koty są czarne ”.)
Jeżeli rozważany zbiór kotów jest pusty (ma 0 elementów), to sprawa jest oczywista.
Załóżmy, że każdy n-elementowy zbiór kotów składa się z samych czarnych kotów i
rozważmy zbiór składający się z n + 1 kotów. Możemy przyjąć, że powstał on przez
dodanie do n elementowego zbioru kotów ( a więc samych czarnych kotów) nowego
kota.
Z tego n + 1- elementowego zbioru wyciągamy jednego kota, ale nie tego, którego
wcześniej dołożyliśmy. Pozostanie zbiór złożony z n kotów. Muszą być w nim - na
mocy założenia - same czarne koty. A wśród nich jest nasz nowy kot - czyli jest
on czarny!. Zatem wszystkie koty w tym zbiorze (n+1)- elementowym są czarne.
Korzystając z indukcji stwierdzamy, że .. wszystkie koty są czarne.
Gdzie jest błąd?
14. Wskaż błędy w rozumowaniu:
(a) Pokażę, że wszystkie liczby naturalne są parzyste. Oczywiście 0 jest liczbą
parzystą. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że dla wszystkich
k < n, k jest parzyste. Niech n1 , n2 będzie dowolnym rozbiciem liczby n na
sumę liczb mniejszych (tzn. n = n1 + n2 ). Ponieważ n1 oraz n2 są mniejsze od
n, n1 , n2 są parzyste, a więc n jest parzyste jako suma dwóch liczb parzystych.
2
(b) Pokażę, że wszystkie dodatnie liczby naturalne są nieparzyste. Oczywiście 1 jest
liczbą nieparzystą. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że dla
wszystkich k < n, k jest nieparzyste. Niech 1, n1 i n2 będzie dowolnym rozbiciem
liczby n na sumę trzech liczb mniejszych (tzn. n = n1 + n2 + 1). Ponieważ n1
oraz n2 są mniejsze od n, n1 i n2 są nieparzyste, a więc n jest nieparzyste jako
suma dwóch liczb nieparzystych i liczby 1.
15. Oto prosta wersja gry NIM. Jest stos n monet i dwóch graczy. Kolejno zabieraj ze
stosu monety. Za każdym razem możesz zabrać 1,2 lub 3 monety. Przegrywa ten , kto
zabierze ostatnią monetę (ostatnie monety). Dla jakich n grę wygrywa gracz pierwszy,
a dla jakich drugi? ’Wygrywa grę’ oznacza, że gracz ma strategię wygrywającą, nawet
przy bardzo dobrej grze przeciwnika.
3