Zadania z kryptologii – 2-ga część Oznaczenia - e-WMP

Zadania z kryptologii – 2-ga część
Oznaczenia:
Z – zbór liczb całkowitych
ϕ – funkcja Eulera
a
n – symbol Jacobiego
1. Sprawdzić, że 7 · 11 · 13 = 1001, oraz, że
54 mod 7 = 5,
54 mod 11 = 10,
54 mod 13 = 2,
2 · 5 mod 7 = 3, 2 · 10 mod 11 = 9, 2 · 2 mod 13 = 4, i
52 mod 7 = 4,
102 mod 11 = 1,
22 mod 13 = 4.
Korzystając z powyższych równości wyznaczyć liczby a, b ∈ {0, 1, . . . , 1000}
takie, że
a mod 7 = 3, a mod 11 = 9, a mod 13 = 4, i
b mod 7 = 4, b mod 11 = 1, b mod 13 = 4.
2. Niech n będzie iloczynem dwu różnych liczb pierwszych p i q. Niech e i
d będą liczbami całkowitymi takimi, że e · d ≡ 1 (modϕ(n)). Udowodnić,
że dla dowolnej liczby całkowitej m (niekoniecznie względnie pierwszej z n)
zachodzi:
me·d ≡ m (mod n) .
3. Rozpatrujemy system RSA z n = p · q, gdzie p = 19 i q = 23. Która z
liczb całkowitych 3, 5 i 8 może być wykładnikiem szyfrowania e. Dla e = 7
wyznaczyć wykładnik deszyfrowania d.
4. Załóżmy, że w systemie RSA kluczem publicznym jest (n, e) = (143, 7) i
kluczem prywatnym jest (n, d) = (143, 103). Stosując metodę ”podnieś do
kwadratu i pomnóz”
a) zaszyfrować wiadomść m = 3,
b) odszyfrować szyfrogram c = 42.
5. Sformułować kryterium Eulera. Korzystając z tego kryterium sprawdzić,
która z liczb 9, 11 jest resztą kwadratową modulo 67.
1
6. Podać definicję symbolu Legendre’a i symbolu Jacobiego. Czy jest prawdą,
że dla dowolnej nieparzystej liczby całkowitej n będącej iloczynem parami
różnych liczb pierwszych zachodzi następująca implikacja:
a ∈ Z i na = 1 ⇒ a jest resztą kwadratową modulo n ?
(Wskazówka. Rozpatrzeć a = 2 i n = 2 · 5 = 15.)
7. Wymienić podstawowe własnści symbolu Jacobiego używane do oblicza-
856
nia tego
symbolu. Stosując te własności obliczyć symbole Jacobiego 1013
857
i 1013
. Która z liczb 856, 857 jest resztą kwadratową modulo 1013?
8. Podać definicję podgrupy testującej G(n) grupy Z∗n dla algorytmu SolovayaStrassena. Dokonując odpowiednich obliczeń sprawdzić, czy [15] ∈ G(481).
Jaka jest odpowiedź testu Solovaya-Strassena przy badaniu pierwszości liczby
n = 481 przy a = 15?
9. Podać definicję podgrupy testującej Ln grupy Z∗n dla testu Millera-Rabina.
Dokonując odpowiednich obliczeń sprawdzić, czy [15] ∈ L481 .
2