Zadania z kryptologii – 2-ga część Oznaczenia - e-WMP
Transkrypt
Zadania z kryptologii – 2-ga część Oznaczenia - e-WMP
Zadania z kryptologii – 2-ga część Oznaczenia: Z – zbór liczb całkowitych ϕ – funkcja Eulera a n – symbol Jacobiego 1. Sprawdzić, że 7 · 11 · 13 = 1001, oraz, że 54 mod 7 = 5, 54 mod 11 = 10, 54 mod 13 = 2, 2 · 5 mod 7 = 3, 2 · 10 mod 11 = 9, 2 · 2 mod 13 = 4, i 52 mod 7 = 4, 102 mod 11 = 1, 22 mod 13 = 4. Korzystając z powyższych równości wyznaczyć liczby a, b ∈ {0, 1, . . . , 1000} takie, że a mod 7 = 3, a mod 11 = 9, a mod 13 = 4, i b mod 7 = 4, b mod 11 = 1, b mod 13 = 4. 2. Niech n będzie iloczynem dwu różnych liczb pierwszych p i q. Niech e i d będą liczbami całkowitymi takimi, że e · d ≡ 1 (modϕ(n)). Udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej m (niekoniecznie względnie pierwszej z n) zachodzi: me·d ≡ m (mod n) . 3. Rozpatrujemy system RSA z n = p · q, gdzie p = 19 i q = 23. Która z liczb całkowitych 3, 5 i 8 może być wykładnikiem szyfrowania e. Dla e = 7 wyznaczyć wykładnik deszyfrowania d. 4. Załóżmy, że w systemie RSA kluczem publicznym jest (n, e) = (143, 7) i kluczem prywatnym jest (n, d) = (143, 103). Stosując metodę ”podnieś do kwadratu i pomnóz” a) zaszyfrować wiadomść m = 3, b) odszyfrować szyfrogram c = 42. 5. Sformułować kryterium Eulera. Korzystając z tego kryterium sprawdzić, która z liczb 9, 11 jest resztą kwadratową modulo 67. 1 6. Podać definicję symbolu Legendre’a i symbolu Jacobiego. Czy jest prawdą, że dla dowolnej nieparzystej liczby całkowitej n będącej iloczynem parami różnych liczb pierwszych zachodzi następująca implikacja: a ∈ Z i na = 1 ⇒ a jest resztą kwadratową modulo n ? (Wskazówka. Rozpatrzeć a = 2 i n = 2 · 5 = 15.) 7. Wymienić podstawowe własnści symbolu Jacobiego używane do oblicza- 856 nia tego symbolu. Stosując te własności obliczyć symbole Jacobiego 1013 857 i 1013 . Która z liczb 856, 857 jest resztą kwadratową modulo 1013? 8. Podać definicję podgrupy testującej G(n) grupy Z∗n dla algorytmu SolovayaStrassena. Dokonując odpowiednich obliczeń sprawdzić, czy [15] ∈ G(481). Jaka jest odpowiedź testu Solovaya-Strassena przy badaniu pierwszości liczby n = 481 przy a = 15? 9. Podać definicję podgrupy testującej Ln grupy Z∗n dla testu Millera-Rabina. Dokonując odpowiednich obliczeń sprawdzić, czy [15] ∈ L481 . 2