Analiza matematyczna Lista 1 (granice funkcji) Zad 1. Obliczyć

Analiza matematyczna Lista 1 (granice funkcji) Zad 1. Obliczyć

Analiza matematyczna
Lista 1 (granice funkcji)
Zad 1. Obliczyć granicę funkcji f (x) w punkcie x0 , gdzie
a) f (x) =
x2 −3
,
x4 +x2 +1
d) f (x) =
g) f (x) =
x3 −2x2 −4x+8
, x0 =
x4 −8x2 +16
√
1+2x−3
√
, x0 = 4,
x−2
j) f (x) =
sin 5x−sin 3x
,
sin x
x0 = 3,
x2 −1
, x0 =
2x2 +x−1
√
2−x
= (x−1)
, x0
2
x −1
b) f (x) =
2,
e) f (x)
h) f (x) =
1
1−x
1,
x2 −1
, x0 = 1,
2x2 −x−1
√
√
x+13−2 x+1
, x0 =
2
x −9
c) f (x) =
= 1, f) f (x) =
3
− 1−x
i) f (x) =
2 , x0 = 1,
sin 5x
,
3x
3,
x0 = 0,
x0 = 0.
Zad 2. Oblicz granice:
√
x−1
1 − cos x
1
x
b) lim
d) lim x sin
e) lim √
c) lim
2
x→0
x→+∞
x→1
x→0 sin x
x
x
x−1
√
√
√
√
x3 + 1 − x
tg x
√
√
g) lim √
h) lim ( x2 − 4x + 2 − x2 + 6x − 8)
f) lim
4
x→+∞
x→+∞
x→0 1 −
1 + tg x
x7 + 2x + 1 + x2 − 1
3x+2
2
xm − 1
x − 3x + 1
j)
lim
m, n ∈ N,
i) lim
x→1 xn − 1
x→+∞
x2 + 2
q
p
√
x+ x+ x
1
1
√
k) lim
l) lim
−
m, n ∈ N,
x→+∞
x→1
xm − 1 xn − 1
x+1
√
√
sin 5x − sin 3x
1 − cos(1 − cos x)
m) lim (cos x + 1 − cos x)
n) lim
o) lim
x→+∞
x→0
x→0
sin 2x
x4
√
√ 1
x3 + 8
2√
s) lim
t) lim x 1 − 2x
r) lim+ (1 + tg2 x) 2x
p) lim sin x cos x
x→−2 arcsin(x + 2)
x→0
x→0
x→0
x2 + 4x − 1
a) lim 3
x→2 3x + 2x + 1
ln(2 + e3x )
ln(x2 + x + 1)
w)
lim
x→+∞ ln(3 + e2x )
x→+∞ ln(x10 + 3x + 2)
Zad 3. Obliczyć granice:
√
mx
√
x2
x2 + 1 + x
x3
k
a)
lim
−
c)
lim 1 +
b)
lim √
x→+∞
x→+∞ 4 x3 + x − x
x→+∞
2x2 − 1 2x − 1
x
2x−1
x
x
x+1
x+1
x+a
d)
lim
e)
lim
,
f)
lim
.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x−2
2x − 1
x−a
Zad 4. Obliczyć granice lim f (x) oraz lim f (x) funkcji:
x→+∞
x→−∞
√
√
√
√
x + x 2 + a2
√
b) f (x) = x2 + x + 1 − x2 − x + 1
c) f (x) = x2 + x − x
a) f (x) =
x + x 2 + b2
Zad 5. Obliczyć granice jednostronne funkcji f (x) w punkcie x0 :
u) lim
a) f (x) =
1
,
x−3
d) f (x) =
1
,
(3−x)3
g) f (x) =
x−2
,
x2 −4
−2
i) f (x) = e x−3 ,
x0 = 3,
x0 = 3,
x0 = −2,
x0 = 3,
b) f (x) =
1
,
3−x
x0 = 3,
c) f (x) =
1
e) f (x) = 2 x−1 , x0 = 1,
h) f (x) =
j) f (x) =
3
,
9−x2
x
1
1+e x
,
1
,
(3−x)2
x0 = 3 ,
1
f) f (x) = 2 1−x ,
x0 = 1,
x0 = −3,
x0 = 0.
Zad 6. Zbadać istnienie granic funkcji:
a) lim 2
x→0
1
x
b) lim sin x
x→+∞
1
c) lim tg
x→0
x
(
d) lim f (x), gdzie f (x) =
x→0
x sin x1 , dla x < 0
sin x1 , dla x > 0