Popularyzatorski opis rezultatów projektu

Nr wniosku: 186673, nr raportu: 5998. Kierownik (z rap.): mgr Janusz Dybizbański
Popularyzatorski opis rezultatów projektu - wersja w j˛ezyku polskim
W 1930 roku angielski matematyk, ekonomista i filozof Frank Ramsey udowodnił twierdzenie, które stało
si˛e przedmiotem szeregu badań i dzisiaj nazywane jest jego imieniem. Nieformalnie twierdzenie Ramseya
mówi, że każda dostatecznie duża struktura zawiera wysoce zorganizowana˛ podstruktur˛e. Przykładowo, w
dowolnej grupie osiemnastu osób znajdziemy cztery takie, że wszystkie si˛e znaja˛ lub cztery takie, które si˛e
wzajemnie nie znaja.˛ Powyższe stwierdzenie można opisać w inny sposób. Osiemnaście osób można przedstawić jako punkty (wierzchołki), „znajomość” dwóch osób zaznaczyć poprzez narysowanie czerwonej linii
(kraw˛edzi w kolorze czerwonym) pomi˛edzy tymi punktami a „nieznajomość” zaznaczamy niebieska˛ kraw˛edzia.˛
Struktur˛e wierzchołków i kraw˛edzi łacz
˛ acych
˛
te wierzchołki nazywamy grafem. W takim j˛ezyku zdanie „w
dowolnej grupie osiemnastu osób znajduja˛ si˛e cztery takie, że wszystkie znaja˛ si˛e wzajemnie lub cztery takie,
które si˛e wzajemnie nie znaja”
˛ możemy opisać zdaniem „w dowolnym kolorowaniu kraw˛edzi grafu pełnego o
18 wierzchołkach dwoma kolorami, istnieja˛ cztery wierzchołki, które tworza˛ jednobarwna˛ klik˛e”. Najmniejszy
rozmiar grafu pełnego, który zapewnia spełnienie tego typu własności nazywamy liczba˛ Ramseya.
Najważniejsze zrealizowane zadania to:
1. Najpierw zajmowaliśmy si˛e liczbami typu R(C4 ,Wn ), czyli rozmiarami grafu pełnego, które gwarantuja,˛
że każde kolorowanie dwoma kolorami zawiera cykl C4 w jednym kolorze lub koło Wn w drugim. Udało
nam si˛e znacznie zmniejszyć górne oszacowanie takich liczb. Pokazaliśmy także, że wyznaczone oszacowanie jest osiagalne
˛
dla nieskończenie wielu n.
˛ pomi˛edzy
2. Nast˛epnie rozważaliśmy kolorowania trzema kolorami. Pokazaliśmy, że istnieje ciekawy zwiazek
rozmiarami grafów, które gwarantuja˛ istnienie jednokolorowego cyklu C2n , a rozmiarami, które gwarantuja˛ jednokolorowa˛ ścieżk˛e P2n+1 . Dodatkowo wyznaczyliśmy dokładne wartości liczb Ramseya dla
trzech ścieżek P8 oraz trzech ścieżek P9 .
3. Na koniec rozważaliśmy grafy dwudzielne, ich kolorowanie k kolorami oraz rozmiary grafów, które
gwarantuja˛ jednokolorowy cykl C4 . Udało nam si˛e ustalić nowe górne oszacowanie dla takich liczb oraz
wyznaczyć dokładna wartość pierwszej w historii czterokolorowej dwudzielnej liczby Ramseya.
Nasze badania sa˛ badaniami teoretycznymi. Wyniki poszerzaja˛ wiedz˛e na temat grafowych oraz dwudzielnych liczb Ramseya. Kombinatoryka i teoria Ramseya sa˛ wykorzystywane w informatyce do projektowania
algorytmów, sieci komunikacyjnych czy w teorii informacji. Dzi˛eki temu nasze badania moga˛ być wykorzystywane w ofercie edukacyjnej. Grafów i ich kolorowania używa si˛e do opisu wielu sytuacji. Na przykład
relacji mi˛edzyludzkich w dużych grupach (sieci społeczne) czy grafach połaczeń
˛
mi˛edzy stronami w internecie
(wyszukiwarki stron). Analiza takich grafów z jednej strony jest ważna ze wzgl˛edu na zastosowania, z drugiej
strony jest trudna ze wzgl˛edu na rozmiary grafów. Teoria Ramseya daje wiedz˛e, że takie odpowiednio duże
struktury zawieraja˛ małe, mocno uporzadkowane
˛
podstruktury. Jest nadzieja, że teorii Ramseya dla grafów
dwudzielnych b˛edzie można użyć do projektowania wydajnych sieci komunikacyjnych.