1 Ćwiczenie laboratoryjne L3, L4 Temat: Wybrane rozkłady
Transkrypt
1 Ćwiczenie laboratoryjne L3, L4 Temat: Wybrane rozkłady
Ćwiczenie laboratoryjne L3, L4 Temat: Wybrane rozkłady zmiennej losowej stosowane w analizach niezawodności. Ocena typu i parametrów rozkładu zmiennej losowej trwałości metodą siatki funkcyjnej Zakres ćwiczenia i analiz: 1. Zapoznanie się z typami rozkładów zmiennej losowej dostępnymi w EXCELu. W załączniku do opisu pakietu znajdują się postaci funkcyjne i wartości charakterystyczne tych rozkładów. Uwzględnić ważniejsze w praktyce ocen niezawodności rozkłady zmiennej losowej X (wykładniczy, Weibulla, normalny i logarytmiczny), a także wartość oczekiwaną E(X) i wariancję V(X). Porównać postaci funkcyjne z załącznika z ich odpowiednikami omawianymi podczas wykładu (w tym przypadku zmienna losowa dotyczy trwałości T). 2. Przeanalizować jakościowo dla przykładowych rozkładów zmiennej losowej czy występuje zgodność w charakterze przebiegu funkcji gęstości f(x), intensywności uszkodzeń λ(t) i niezawodności R(t) podanych podczas wykładu z odpowiednimi wykresami uzyskanymi za pomocą programu EXCEL. Zwrócić szczególną uwagę na rozkłady: wykładniczy, Weibulla, normalny, logarytmiczny. W sprawozdaniu opisać charakter ewentualnych rozbieżności w kształcie funkcji gęstości f(t) i intensywności uszkodzeń λ(t) (wykresy z wykładu i z programu EXCEL). Zbadać funkcję gęstości (density function), funkcję intensywności uszkodzeń (hazard function) i funkcję niezawodności (survivol function) dla rozkładu Weibulla, dla co najmniej trzech par parametrów w jednym układzie współrzędnych. Przyjąć współczynniki α = 0.1 oraz β = 0.5, następnie powtórzyć całość dla α = 0.2 i β = 0.8. 3. Zobrazować i wydrukować funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu logarytmo-normalnego, dla przyjętych danych empirycznych na podstawie wzorów zamieszczonych w załączniku do instrukcji. Obliczyć: • • • • • • Wartość oczekiwaną Wariancję Medianę Wartość modalną Kwantyle (dolny i górny) Współczynnik błędu. 1 4. Zapoznanie się z strukturą i funkcjami programu komputerowego ADUN4 do oceny typu i parametrów rozkładu zmiennej losowej trwałości obiektów metodą siatki funkcyjnej (program znajduje się w katalogu ADUN) Wykorzystać w tym celu instrukcję pomocniczą z opisem metody i podstawowymi funkcjami tego programu oraz pliki *.dat ze zbiorami danych, dostępne w katalogu ADUN (wynotować je wraz z ścieżkami dostępu przed uruchomieniem programu). Analizę rozpoczyna się przez wybór rozkładu określonego typu, a następnie przeprowadza się obserwację punktów na siatce wybranego rozkładu. Punkty te odpowiadają konkretnej dystrybuancie empirycznej dla „załadowanych” danych lub danych wprowadzonych przez użytkownika. Po naciśnięciu klawisza funkcyjnego F10, program wyznacza parametry prostej aproksymującej i wykreśla ją na ekranie graficznym. Ekran ten można wydrukować. Uwagi: (1) Oryginalna wersja programu adun4.exe opracowana została dla środowiska DOS i nie działa czasami prawidłowo przy pewnym skonfigurowaniu sprzętu komputerowego. Obie te wersje mają szereg zalet względem wersji pierwotnej, ale też i pewne wady. W przypadku korzystania z wersji adun_op.exe sygnalizowany jest często niepotrzebnie błąd przy ręcznym wprowadzaniu nowego zbioru danych. Niedogodność tę można pokonać, zapamiętując wprowadzone dane (mimo sygnalizowanego błędu) w pliku o przyjętej nazwie z przedłużeniem *.dat, a następnie wczytując ten plik, po czym możliwa jest korekta tych danych. (2) Drukowanie ekranu graficznego następuje po naciśnięciu klawisza PrtScr. Korzystając z systemu operacyjnego DOS należy zainicjować przed uruchomieniem programu ADUN4 plik grafics.com, znajdujący się w katalogu DOS. W programie adun4_la.exe występuje dodatkowo opcja drukowania, uruchamiana klawiszami Alt_P, o czym użytkownik jest informowany w dolnej części ekranu graficznego, zawierającego siatkę. (3) Program ADUN4 w wersji podstawowej napisany w języku PASCAL, nie jest programem profesjonalnym. Jest on stosunkowo wrażliwy na działania użytkownika nie przewidziane przez programistę, czego skutkiem może być "zawieszenie się" programu lub niekontrolowane zakończenie działania programu z przejściem do systemu operacyjnego DOS, a czasami "twarde" zawieszanie się programu. Część z tych niedogodności udało się wyeliminować wspomnianym studentom w ulepszonych funkcjonalnie wersjach programu (studenci ci nie zmienili części numerycznej i podstawowej części algorytmicznej ADUN4). Należy zatem zachować umiar w eksperymentowaniu z tym programem. 2 Wprowadzenie zbioru danych o czasach uszkodzeń elementów i przeprowadzanie analiz Przyjąć jako pierwszy zestaw danych Ai, i=NPL. Wprowadzony zbiór danych o nadanej nazwie, np. dane_a1.dat jest zapamiętywany katalogu, np. c:\adun\, w którym znajdują się pliki programu *.exe opisane powyżej. Należy przeprowadzić następnie analizę, jaki rozkład najbardziej odpowiada wprowadzonym danym. Wydrukować ekrany graficzne, zawierające punkty dystrybuanty empirycznej i prostą aproksymującą, zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów, dla dwóch najbardziej odpowiednich typów rozkładów (o najlepszej optycznej zgodności punktów dystrybuanty empirycznej względem prostej aproksymującej). Po przeprowadzeniu badań dla wszystkich typów rozkładów, dostępnych w programie ADUN, wydrukować tablicę wyników, zawierającą wyznaczone parametry rozkładów. W razie potrzeby dokonać podziału wprowadzonego zbioru danych na dwa podzbiory (przesuwając w odpowiednie miejsce znacznik podziału zbioru danych) i dokonać stosownej analizy wyników dla tych podzbiorów, a także wydrukować odpowiedni ekran graficzny i parametry rozkładów. Załącznik do ćwiczenia L3, L4 Zależności dla rozkładu logarytmo-normalnego Funkcja gęstości prawdopodobieństwa z parametrami µ i σ f ( x) = (ln x − µ ) 2 exp − , 0< x ≤∞ 2σ 2 2π σx (1) Θ = E ( X ) = exp[ µ + 0.5σ 2 ] (2) 1 Wartości charakterystyczne: - wartość oczekiwana -wariancja - mediana -wartość modalna )[ ( ] V ( X ) = exp 2 µ + σ 2 exp(σ 2 ) − 1 (3) x0.5 = exp[ µ ] (4) [ x M = exp µ − σ 2 ] (5) 3 Ze wzorów powyższych wynika, że: x M < x0.5 < E ( X ) (6) Kwantyle xd (d=5%) i x g (g=95%) można obliczyć ze wzorów: xd = exp[ µ − 1645 . σ] (7) x g = exp[ µ + 1645 . σ] (8) x0.5 = xd x g (9) Wykazać, że: Współczynnik błędu definiuje się jako: WBx = xg x0.5 = xd x0.5 (10) Jeżeli znane są chwile uszkodzeń wszystkich elementów w obserwowanej próbce, oszacowania parametrów rozkładu logarytmo – normalnego oblicza się ze wzorów: µ= 1 n ∑ ln t (i ) n i =1 n σ= ∑ (ln t i =1 (i ) (11) − µ)2 n −1 (12) 4