-P P x u(x,t) 0 π

RÓWNANIE STRUNY
Tadeusz Pytlik
Nasza historia rozpoczyna się we wrześniu roku 1712, kiedy to Brook Taylor
wygłosił odczyt dla Royal Society w Londynie. Treścią odczytu była analiza struny
drgającej. Teoria ta nie od razu została zrozumiana przez badaczy, ale po dwudziestu latach przyniosła Taylorowi sławę i uznanie. Wtedy to w swoich książkach
cytowali go Maclaurin, Diderot i Cotes. Artykuł D’Alemberta o strunie drgającej
dla „Encyclopédie” z roku 1749 w istocie zawiera omówienie wyników Taylora, a
„Encyclopedia Britanica” jeszcze w wydaniu z roku 1803 szczegółowo prezentuje
tylko jego wyniki.
Odczytu Taylora słuchał zapewne sam Sir Isaac Newton, prezes Royal Society.
W każdym razie znał i podziwiał wyniki Taylora. Taylor utrzymywał kontakty z
Newtonem, był nawet przez 4 lata sekretarzem Royal Society, a o uznaniu Newtona
świadczy fakt, że umieścił Taylora na liście 10 wybitnych osób, którym wysłał kopie
drugiego wydania swoich „Principiów” z roku 1713. Oczywiście teorię Newtona znał
Taylor wcześniej. To właśnie newtonowskie zasady dynamiki pozwoliły mu na sprowadzenie badania ruchu struny do rozważań statycznych. Udowodnił prawo, które
dziś nazywamy równaniem struny, a także słynny wzór Mersenna na częstość drgań
struny.
Przytoczymy tu rozumowanie Taylora. Wcześniej jednak ustalmy, co rozumiemy
pod pojęciem struny. Otóż struna to wiotka, idealnie rozciągliwa nić o jednolitej
gęstości masy ρ na stałe zaczepiona w dwu końcach i poddana naprężeniu P (patrz
rys. 1).
u(x,t)
-P
0
P
x
π
rys. 1
Ponieważ długość struny zmienia się wraz ze zmianą skali, możemy założyć, że
punktami zaczepienia są punkty 0 i π na osi x. Badać będziemy model matematyczny tej struny to znaczy funkcję u(x, t) podającą położenie punktu struny o
odciętej x, 0 ¬ x ¬ π, w chwili t. Jeżeli ustalimy punkt x0 z przedziału [0, π], to
funkcja (jednej zmiennej) u(x0 , t) opisuje ruch w czasie punktu struny o odciętej x0 .
1
2
∂
∂
W szczególności funkcje ∂t
u(x0 , t) oraz ∂t
2 u(x0 , t) opisują prędkość i przyspieszenie tego punktu. Jeżeli z drugiej strony ustalić wartość t = t0 , to funkcja u(x, t0 )
opisuje kształt struny w tym momencie. Ustalmy więc chwilę t0 . Jeżeli struna nie
jest w położeniu równowagi, to na każdy jej punkt, a dokładniej na każdy odcinek struny działa siła związana z naprężeniem P . Jaka to siła? Aby ją rozpoznać
odetnijmy bardzo mały kawałek struny nad punktami x0 i x0 + h (patrz rys. 2).
P
−P
Q(x0 +h)
−Q(x0 )
x0 +h
x0
rys.2
Oczywiście, aby zachować naprężenie P w każdym punkcie odciętego kawałka, należy na jego końcach zaczepić siły styczne do struny (na rysunku zaznaczone grubszą
~ 0)
kreską), których składowe poziome mają długość P . Ich składowe pionowe −Q(x
~ 0 +h) a dokładniej ich suma to dodatkowa siła działająca na wybrany przez
oraz Q(x
~ 0 ) = P~ · tan α zaś
nas kawałek struny i podtrzymująca jego ruch. Oczywiście Q(x
∂
tan α = ∂x u(x0 , t0 ). Stąd
∂
∂
~ 0 + h) − Q(x
~ 0 ) = P~ ·
Q(x
u(x0 + h, t0 ) −
u(x0 , t0 ) .
∂x
∂x
Z drugiej strony, zgodnie z II i III zasadą dynamiki, siła ta musi być równoważona
siłą, której wielkość jest równa iloczynowi masy odciętego kawałka i jego przyspieszenia. Mamy więc (w przybliżeniu)
∂
∂
∂2
P·
u(x0 + h, t0 ) −
u(x0 , t0 ) ≈ hρ 2 u(x0 , t0 ).
∂x
∂x
∂t
po podzieleniu obu stron przez h i przejściu granicznym h → 0 otrzymamy (równość
!) równanie struny
(1)
P
∂2
∂2
u(x
,
t
)
=
ρ
u(x0 , t0 ).
0 0
∂x2
∂t2
2
Udowodniliśmy tym sposobem, że przyspieszenie punktu struny o odciętej x0
w chwili t0 jest proporcjonalne do krzywizny struny w tym punkcie a
współczynnikiem proporcjonalności jest iloraz P/ρ. Tak też formułował swój
wynik Taylor. Oczywiście używał innego języka. Musimy pamiętać, że pojęcie pochodnej cząstkowej zostało wprowadzone przez d’Alemberta dopiero 40 lat później.
Aby opisać kształt struny i jej zachowanie w czasie, Taylor poprzez wiele dodatkowych założeń o strunie sprowadzał zagadnienie do równania różniczkowego jednej
zmiennej, które rozwiązywał potem geometrycznie. Pierwszym z założeń był „izochronizm” czyli niezależność częstotliwości od amplitudy drgań. W praktyce, jak w
wahadle, chodzi tu o bardzo małe wychylenia od stanu równowagi. Drugim ważnym
założeniem było „ jednoczesne przechodzenie przez oś x”, co należy rozumieć jako
u(x, t0 ) = 0 dla wszystkich x ∈ [0, π] i pewnej ustalonej chwili t0 . Wyprowadzał stąd
„warunek wahadła”. Otóż Taylor wyobrażał sobie strunę jako szereg połączonych
ze sobą wahadeł o nieskończenie małej masie. Warunek wahadła to założenie, że
wszystkie te wahadła mają jednakowy okres drgań. Wraz z pozostałymi założeniami
gwarantowało to, że jedynym dopuszczalnym kształtem była sinusoida. My dzisiaj
potrafimy łatwo rozwiązywać równania typu (1), wiemy też skądinąd, że kształt
struny może być bardziej skomplikowany.
Taylor szukał potwierdzenia swej teorii w doświadczeniach. W notatkach z 6
maja 1713 napisał:
Przymocowałem piórko (quill) do jednego z filarów zegara w mojej komnacie ale tak by opierało się o koło wychwytu. Zdejmując wcześniej wahadło
uruchomiłem zegar na
7
minut. Za pomocą klawesynu sprawdziłem, że piórko
daje dźwięk Alamire (A w skali 6-cio tonowej) w alcie. Z obliczeń otrzymałem,
że piórko uderzyło o zęby
766
razy w ciągu sekundy, co daje
2 × 766 = 1532
wibracji na sekundę. Jest tak dlatego, że po każdym uderzeniu piórko poruszało
się w jedną i w drugą stronę. Następnie za pomocą sznurka o masie
1
grama
na stopę dokonałem innego eksperymentu. Obciążyłem go ciężarkiem o wadze
10
uncji tzn.
48000
gramów, a następnie zmierzyłem jego długość. Wynosiła
12.3 cala. Przy szarpnięciu sznurek wydawał dźwięk Alamire o dwie oktawy
niższy niż poprzednio. Wyliczyłem, że drgał on 383 razy na sekundę. Z drugiej
ona
strony zgodnie z Twierdzeniem 2 mojej pracy „De Motu Nervi” powinien dawać
383
drgań na sekundę, co cudownie zgadza się z eksperymentem.
Wkrótce po Taylorze badaniem struny drgającej zajęli się Sauveur (1713), Hermann (1716), Cramer (1722), a także Johann Bernoulli (1728), który wyniki Taylora
określił najpierw jako bezwartościowy plagiat, ale później przeanalizował i pięknie
rozwinął.
Zatrzymajmy się na chwilę przy nazwisku Cramera, raczej jednak ze względu na
3
rolę opiniotwórczą, którą odegrał w nauce niż na sam wkład teoretyczny. Był Gabriel
Cramer wyjątkowo szanowanym i wyjątkowo często podróżującym uczonym. Tezy
doktorskie, których bronił przed Akademią Genewską w roku 1722 zawierały opinie
wielu autorytetów na temat dźwięku, a także rozwinięcie newtonowskiej analizy
ruchu falowego i wyprowadzenie wzoru Mersenna.
Przy wyprowadzaniu wzoru Mersenna (częstotliwość drgań struny jest odwrotnie
proporcjonalna do jej długości) pisze ze swobodą spekulatywnego filozofa:
Prędkości strun drgających są jak prędkości wahadeł; a te są odwrotnościami kwadratów okresów. Stąd prędkości strun są odwrotnościami kwadratów
okresów. Ale te są równe wielkościom ruchów (?) dzielonych przez ilości materii (masy). Ponieważ ruchy to siły powrotne, więc są jak krzywizny strun, ale
krzywizny są odwrotnościami długości. Ilości materii, gdy założyć, że struna ma
wszędzie tą samą grubość, są jak długości. Tak więc dzieląc odwrotność długości przez długość wnosimy, że prędkości muszą być odwrotnościami kwadratów
długości. Z drugiej strony, jak widzieliśmy, prędkości te zmieniają się proporcjonalnie do okresów. Tak więc okresy są jak długości. Ale głębokości tonów są
jak okresy, więc są jak długości.
W dwa lata później otrzymuje Cramer specjalnie dla niego utworzoną Katedrę
Matematyki w Akademii Genewskiej. Pozwoliło mu to podróżować. W maju 1727
wyjechał na 5 miesięcy do Bazylei. Zrobił tu duże wrażenie swoją kulturą matematyczną i erudycją na Johannie Bernoullim. Także na młodym Eulerze i Danielu
Bernoullim. Namówił ich do badań struny. Sugerował też badania drgań pierścienia
i pręta. Postawił wiele problemów. Nieprzypadkowo w 13 lat później jemu właśnie
powierzono zaszczyt wydawcy dzieł zebranych Johanna i Jacoba Bernoullich.
Leonard Euler od roku 1727 intensywnie zajmował się teorią wibracji struny i
pierścienia. Jego wczesne prace zawierają jednak wiele błędów i uderza w nich, jak
pisze historyk „diabełkowaty” brak szacunku dla autorytetów. W krótkiej rozprawie
DepSono Euler oblicza prędkość dźwięku, a właściwie podaje tylko sam wynik
V =
4 P/ρ, gdzie P oznacza ciśnienie a ρ gęstość. Dokładniej zaś podaje 4√3166nk
π
p
gdzie 3166 to długość wahadła o okresie 2 sekund (tzn. 1 = π 3166/g), n =
ρ0 /ρ jest gęstością rtęci w powietrzu zaś k = P/ρ0 g jest wysokością słupa rtęci
w barometrze. Euler był bardzo dumny z tego, ze jego stała 4/π jest większa niż
u Newtona. We wstępie rozprawy przyznał co prawda pewną rolę Newtonowi w
wyjaśnieniu prawdy o naturze rozchodzenia się dźwięku, sukces przypisuje jednak
sobie. Dodajmy tu, że to właśnie newtonowska stała 2/π jest poprawna.
W teorii struny drgającej nastąpiła stagnacja. Stale obowiązywało przekonanie
Taylora, że jedynym dopuszczalnym kształtem struny jest sinusoida. Jeszcze w roku
1736 Johann II Bernoulli, brat Daniela, pisał:
4
Niech nikt nie myśli, że gdy cząsteczka zostanie wzbudzona lub wprowadzona w stan wibracji to wszystkie pozostałe cząsteczki tworzące wspólne
włókno struny nabędą w tym samym momencie zdolność do drgań zgodnych z
pozostałymi. Mimo to początkowa nieregularność, która może zakłócić drgania
izochroniczne, kończy się szybko. Cząsteczki dostosowują się do siebie, a to z
powodu naprężenia w strunie, które nadaje jej kształt jaki należy. Na przykład,
kształt trójkąta, który ktoś nada strunie przez wychylenie jej z pozycji równowagi, a później pozwoli drgać swobodnie przez chwilę, bardzo szybko zbiegnie
do kształtu sinusa.
Daniel Bernoulli i Euler zwrócili swoje zainteresowania ku badaniom drgań bardziej skomplikowanych obiektów. W roku 1733 w Petersburgu, jeszcze przed wyjazdem stamtąd Bernoulli’ego, i w ciągu kolejnych trzech lat otrzymali piękne i głębokie
wyniki o drganiach wiszącego łańcucha i jego dyskretnej wersji, łączonych wahadeł.
Udowodnili, że dla łączonych wahadeł kształt, czyli położenie kolejnych przegubów
jest opisane przez kolejne wielomiany Laguerre’a, a w przypadku granicznym, wiszącego łańcucha, przez funkcję Bessela J0 .
Płodność matematyczna Eulera była zdumiewająca. Opublikował łącznie około
900 prac naukowych. Pod koniec lat 30-tych XVIII wieku współpracując i rywalizując jednocześnie z Danielem Bernoullim opublikował szereg prac na temat drgań
ciała sztywnego zawieszonego na strunie lub łańcuchu, a także drgań pręta „ jednym
końcem przymocowanego do ściany”. Pokazali, że równanie różniczkowe drgań ta∂2
kiego pręta podobne jest do równania (1), należy tylko drugą pochodną ∂x
2 u(x, t)
4
∂
zastąpić przez czwartą ∂x
4 u(x, t). W jednej z prac Bernoulli połączył teorię z doświadczeniem „aby czytelnik który nie jest w stanie utrzymać pełnej koncentracji
na sprawach ezoterycznych nie miał obaw o prawdziwość stwierdzeń”. Pisze:
Scholia. Użyłem dwóch idealnie podobnych przedziurawionych kul ołowianych, ponieważ gdy były odlewane zażądałem, aby w środku wykonano otwory.
Kule te połączyłem stalową linką przechodzącą przez otwory w ten sposób, że
węzły na lince oddzielały dolną kulę od górnej w odległości dwukrotnie większej
niż górną od punktu zaczepienia. Przy użyciu palca przesunąłem dolną kulę do
pozycji
F
i puściłem. Wkrótce oscylacje stały się jednostajne i przy pomocy
podziałki zaznaczonej na ścianie stwierdziłem,
że wychylenie kuli
√
jak
100
do
241,
a więc jak
1
do
1+
2.
H
i
F
było
Także ilość oscylacji obliczonych w
wybranym
√ czasie odpowiadała idealnie takowej dla prostego wahadła o długości
(1/(2 − 2))AH (tw 2). Później ująłem obie kule w ręce i wypuściłem w punktach F i H w tym samym momencie. Gdy jednostajny ruch został osiągnięty,
sprawdziłem, że liczba oscylacji zgadza się idealnie
z liczbą oscylacji prostego
√
izochronicznego wahadła o długości
(1/(2 +
5
2))AH
(tw 4).
Wyniki Daniela Bernoulli’ego i Eulera nie pozostały bez reakcji ze strony Johanna Bernoulli’ego, a był on centralną figurą w ówczesnym świecie naukowym i
zwano go Wielkim Nauczycielem. Jego korespondencja naukowa zawierała ponad
2000 listów wymienionych z więcej niż 100 uczniami.
Johann Bernoulli przedstawił własną, uproszczoną teorię drgań wiszącego łańcucha. Jego dzieła zebrane, opublikowane w roku 1742, zawierają cały tom poświęcony
zagadnieniom wibracyjnym. Znalazły się tutaj także wcześniej nie publikowane rozważania o strunie drgającej. Język jest bardziej nowoczesny. Została zdefiniowana
energia potencjalna i kinetyczna struny, a równanie kształtu struny Bernoulli rozwiązuje w przemyślny sposób wprowadzając „stałą harmoniczną”, którą następnie
oblicza na dwa sposoby rozważając stany, w których jedna z energii osiąga maksimum, a druga minimum i odwrotnie. W naszej terminologii oznacza to, że rozpatruje
∂
chwile t1 i t2 o tej własności, że u(x, t1 ) = 0 a w drugiej ∂t
u(x, t2 ) = 0 dla wszystkich
x ∈ [0, π].
Teraz i my możemy spróbować sił i podjąć próbę rozwiązania równania (1).
Wcześniej jednak ustalmy dodatkowe (fizyczne) warunki na rozwiązanie u(x, t).
Funkcja u(x, t) musi oczywiście spełniać warunek brzegowy u(0, t) = 0, u(π, t)
= 0 dla wszystkich t. Zażądajmy dodatkowo warunku początkowego typu „naładowanej struny” (loaded string)
u(x, 0) = φ(x) ,
∂
u(x, 0) = 0 dla x ∈ [0, π],
∂t
który mówi, że struna została wychylona do kształtu opisanego przez funkcję φ i
delikatnie puszczona w ruch.
Rozwiązań najłatwiej jest szukać pośród funkcji o rozdzielonych zmiennych, tzn.
funkcji postaci u(x, t) = f (x)g(t). Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
f 00 (x)
ρ g 00 (t)
=
f (x)
P g(t)
jest więc niezależne od x i od t. Jeżeli wprowadzić stałą a (właśnie stałą harmoniczną
Bernoulli’ego) to otrzymamy dwa równania zwyczajne
f 00 (x) = af (x) ,
ρg 00 (t) = aP g(t).
Rozwiązanie ogólne pierwszego z tych równań jest postaci
√
√
α exp(i at) + β exp(−i at),
ale ponieważ interesują nas wyłącznie rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
f (0) = f (π) = 0, musi być a = −k 2 , k = 1, 2, 3, . . . . Wtedy uwzględniając warunek
6
początkowy g 0 (0) = 0 otrzymamy rozwiązania postaci
p
(2)
u(x, t) = sin kx cos k P/ρ t , k = 1, 2, . . .
z warunkiem początkowym φ(x) = sin kx. Funkcje typu (2) noszą nazwę tonów
harmonicznych podstawowych. Inne rozwiązania równania struny można otrzymać biorąc kombinacje liniowe funkcji typu (2). Ta ostatnia uwaga może wydać się
banalna, lecz kiedy sformułował ją d’Alembert, wywołała szok w świecie naukowym.
Jawnie przeczyła przesłance Taylora, milcząco przyjętej przez wszystkich jego następców, że warunki izochronizmu i jednoczesnego przechodzenia przez oś pociągają
warunek wahadła dla struny.
Oczywiście uwaga d’Alemberta nie zniweczyła osiągnięć twórców teorii wibracji,
wskazała tylko na bogactwo dźwięków. Każda funkcja postaci
u(x, t) =
∞
X
ck sin kx cos k
p
P/ρ t,
k=1
byle tylko ciąg współczynników ck wystarczająco szybko dążył do zera, jest rozwiązaniem równania struny. Spełnione jest
ptakże prawo Mersenna, bo częstotliwość drgań
1
wynosi, lub jest wielokrotnością 2π P/ρ . Zauważmy, że funkcja u(x, t) odpowiada
warunkowi początkowemu
(3)
φ(x) =
∞
X
ck sin kx.
k=1
Jakie wobec tego kształty początkowe struny są dopuszczalne? Jakie dźwięki można
zsyntetyzować z dźwięków harmonicznych podstawowych? Twierdzenie o istnieniu
i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego podpowiada nam, a ówczesnym podpowiadała po prostu intuicja fizyczna, że każda dostatecznie regularna
funkcja φ (i taka, że φ(0) = φ(π) = 0) jest warunkiem początkowym dla pewnego
rozwiązania równania (1). Czyżby więc każda taka funkcja była postaci (3)? Na
pytanie to przez długi czas nie było odpowiedzi. Daniel Bernoulli przypuszczał, że
„tak”, nie miał jednak żadnego przekonującego argumentu na poparcie swojego przypuszczenia. Spekulacje w tym zakresie rozpaliły na początku drugiej połowy XVIII
wieku namiętne dyskusje na temat, co należy rozumieć pod pojęciem funkcji. Euler
na przykład uważał, że dowolnie narysowana linia definiuje funkcję. D’Alembert zaś
uważał, że pod pojęciem funkcji należy rozumieć wyłącznie wyrażenie analityczne.
Znamy już opinię Daniela Bernoulli’ego. Jednak ani Euler ani d’Alembert nie zgadzali się z Brenoullim. Dyskusja ta doprowadziła do jednego z najpoważniejszych
kryzysów w rozwoju analizy.
7
W roku 1811 w związku z badaniami w teorii przewodnictwa cieplnego Jean Baptiste Joseph Fourier zakomunikował swoje przekonanie o możliwości przedstawienia
każdej funkcji φ o okresie 2π w postaci szeregu
(4)
φ(x) =
∞
X
(ak cos kx + bk sin kx)
k=0
(z punktu widzenia teorii struny drgającej interesują nas tylko funkcje nieparzyste). Książka Fouriera Théorie Analytique de la Chaleur, opublikowana w roku 1822
zawierała bardzo wiele szczególnych przykładów takiej reprezentacji. Fourier rozwinął także technikę posługiwania się takimi rozwinięciami. Jednak głównym jego
osiągnięciem było podanie wzorów na obliczanie współczynników rozwinięć ak i bk .
Mianowicie
Z π
Z π
ak = 1/π
φ(x) cos kx dx
,
bk = 1/π
φ(x) sin kx dx,
−π
−π
Z
a0 = 1/2π
π
φ(x) dx.
−π
Chociaż Fourier nie dowiódł zbieżności szeregu (4) do wyjściowej funkcji, odkrycie jego miało ogromny wpływ na dalszy rozwój pojęcia funkcji. Zwyczajowo szeregi
postaci (4) nazywa się szeregami Fouriera.
W okresie 1823—1827 Poisson i Cauchy konstruowali dowody reprezentacji wybranych typów funkcji w postaci szeregów Fouriera, ale narzucali szereg warunków,
które wkrótce okazały się zbyt surowe. Dopiero Dirichletowi zawdzięczamy rozpoczęcie w roku 1829 systematycznych badań szeregów Fouriera, a od roku 1837 także
blisko z nimi związanych badań nad pojęciem funkcji. Wybitne zasługi w tej teorii
położył także Riemann, który w roku 1854 dla zastosowań w teorii szeregów Fouriera
uogólnił pojęcie całki.
Teoria szeregów Fouriera była i jest uprawiana dalej z wielkim zapałem mimo
wielu poważnych kryzysów w analizie, które sprowokowała. Doczekała się też wielu
bardzo pięknych wyników. Ale jest to już temat na zupełnie inne opowiadanie.
8