Teoria gier, matematyka WPPT semestr zimowy 2008/2009 II lista

Teoria gier, matematyka WPPT
semestr zimowy 2008/2009
II lista zadań
Uwaga (dla tych, którzy chcą się przygotować z tych zadań przed zajęciami):
Gra macierzowa z macierzą wypłat A, to to samo co gra dwumacierzowa z
macierzami wypłat A i −A. Wartość gry to wypłata 1. gracza w równowadze.
1. Oblicz wartość gry oraz znajdź strategie optymalne graczy w grze macierzowej z macierzą wypłat pierwszego gracza


4 1 3
0

2 
• A= 1 2 0
,
−3 2 2 −1




• A=
2
−1
0
1
0 −1 1
1
1 5 

.
2
1 3 
0 −2 0

2. Załóżmy, że w grze macierzowej z macierzą wypłat 1. gracza A pary strategii mieszanych (µ1 , σ1 ) oraz (µ2 , σ2 ) są optymalne. Pokaż, że u(µ1 , σ1 ) =
u(µ2 , σ2 ). Następnie, korzystając z pokazanej równości, udowodnij, że pary
(µ1 , σ2 ) oraz (µ2 , σ1 ) też są optymalne.
3. Pokaż, że jeśli funkcje wypłaty w dwóch grach macierzowych o sumie
zerowej m × n spełniają nierówność u1 (i, j) ¬ u2 (i, j) dla każdego 1 ¬
i ¬ m i 1 ¬ j ¬ n, to ich wartości, v1 i v2 spełniają podobną nierówność.
Pokaż, że podobny rezultat nie jest prawdziwy dla gier dwumacierzowych,
tzn., jeśli przez A1 i B1 oznaczymy sobie macierze wypłat poszczególnych
graczy w grze G1 , a przez A2 i B2 – w grze G2 , a macierze te spełniają
nierówności A1 ¬ A2 oraz B1 ¬ B2 , to wypłaty w równowadze w grze G1
mogą być większe niż w grze G2 , nawet jeśli obie gry posiadają dokładnie
po jednej równowadze (znajdź kontrprzykład).
4. Wiemy, że każda gra macierzowa ma równowagę, a więc też wartość. Jeśli
jeden z graczy ma przeliczalnie wiele strategii, tak już być nie musi.
(a) Podaj przykład gry o sumie zerowej, w której jeden z graczy ma
skończoną liczbę strategii czystych, drugi przeliczalnie wiele, posiadającej wartość, ale nie mającej równowagi (nawet w strategiach mieszanych).
(b) Podaj przykład gry o sumie zerowej, w której obaj gracze mają przeliczalnie wiele strategii czystych, która nie ma ani równowagi, ani
wartości.
W obu przypadkach uzasadnij, że mają one powyższe własności.


0 2 3


5. Dla gry macierzowej o macierzy wypłat A =  3 1 3  zapisz programy
3 2 0
liniowe, których rozwiązaniami będą strategie optymalne w tej grze.
"
#
1 0
6. To samo powtórz dla gry macierzowej o macierzy wypłat A =
.
0 1
Dla tej gry rozwiąż uzyskane programy liniowe (w jakiś przemyślny (albo
i niezbyt) geometryczny sposób).