MMT-08 Analiza wielokryterialna

2012-05-06
ANALIZA WIELOKRYTERIALNA
Dział Badań Operacyjnych zajmujący się oceną
możliwych wariantów (decyzji) w przypadku gdy
występuje więcej niż jedno kryterium oceny
D – zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych
x – rozwiązanie dopuszczalne
fk – funkcja celu związana z k-tym kryterium
cząstkowym
Znaleźć taką decyzję dopuszczalną x*∈D,
że fk(x*)=max {fk(x): x∈D}, k=1, …, K
czy istnieje ???
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
Jak porównywać kryteria ilościowe i
jakościowe?
Jaka jest wrażliwość decydenta na różnice
wartości kryteriów?
Czy dla wszystkich kryteriów istnieje taka
sama wartość progowa dla zmiany preferencji
decydenta?
Czy w ocenie zróżnicowania jest pełna
symetria?
1
2012-05-06
Brak symetrii oznacza istnienie dwóch
różnych progów rozróżnialności.
Sformułowanie progów rozróżnialności:
– decyzja x1 jest lepsza od decyzji x2 w sensie
określonego kryterium, gdy wartość tego
kryterium jest większa o p%,
– decyzja x3 jest gorsza od decyzji x2 (w sensie
tego samego kryterium), gdy wartość
kryterium jest mniejsza o q%.
Rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto
nazywamy takie rozwiązanie x′ ∈ D, że nie
istnieje żadne inne rozwiązanie x ∈ D dające
poprawę wartości chociaż jednej funkcji celu,
nie powodując pogorszenia wartości innych
funkcji celu. Rozwiązanie optymalne w sensie
Pareto nazywane jest również rozwiązaniem
sprawnym lub efektywnym.
Dla dwóch kryteriów K1 i K2 oraz dla dwóch
dowolnych decyzji x1 i x2:
◦ kryteria są zgodne jeśli
∀x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≤ K 2 ( x2 )
◦ kryteria są niezgodne jeśli
∃x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≥ K 2 ( x2 )
◦ kryteria są przeciwstawne jeśli
∀x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≥ K 2 ( x2 )
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
Astra jest zdominowane przez Focus
2
2012-05-06
Funkcja określona na kryteriach cząstkowych,
podająca użyteczność poszczególnych decyzji
dla decydenta
Metakryterium
Metoda leksykograficzna
Metoda dystansowa
Dwureferencyjna procedura
interaktywna
Ranking Capelanda
u ( x) = u[ f1 ( x), f 2 ( x),K , f s ( x)]
Najprostsze metakryterium – suma ważona
s
u ( x) = ∑ wk ⋅ f k ( x)
k =1
Rozwiązanie zadania polega na znalezieniu w
zbiorze rozwiązań dopuszczalnych decyzji
najlepszej w sensie metakryterium u(x). Decyzja
ta jest poszukiwaną decyzją kompromisową.
Ujednolicenie typu kryteriów
(np. tylko maksymalizacja)
Konieczność znajomości wartości
ekstremalnych
Sprowadzenie wartości do przedziału [0,1],
np.
knorm =
k − k min
k max − k min
knorm =
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
k max − k
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
k max − k min
Cena
0.625
1
0
0,125
0,313
0,563
0
3
2012-05-06
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
Serwis
0,67
0,67
1
0,67
0,33
0,67
1
Zadanie pomocnicze Lk
max{ f k ( x) : x ∈ Dk }
gdzie
Dk = D, dla k = 1
Dk = {x : x ∈ Dk −1 ∧ f k −1 ( x) ≥ M k −1 − d k −1 ⋅ t k −1}, k = 2, K s
M k −1 = max{ f k −1 ( x) : x ∈ Dk −1 },
mk −1 = min{ f k −1 ( x) : x ∈ Dk −1},
t k −1 = M k −1 − mk −1
Uporządkowanie wszystkich kryteriów
malejąco od najważniejszego. Przy
wyznaczaniu rozwiązania kompromisowego,
nie można przekroczyć ustalonego
odstępstwa od maksymalnych wartości
poszczególnych kryteriów.
Wyznaczanie decyzji kompromisowej polega
na rozwiązaniu ciągu zadań pomocniczych Lk,
(k= 1,...,s ). Rozwiązanie końcowego zadania
Ls, wyznacza decyzję kompromisową zadania
wielokryterialnego.
Punkt z* nazywamy punktem idealnym w
przestrzeni wyników, natomiast punkt x*
punktem idealnym w przestrzeni rozwiązań gdy:
zk* = f k ( x* ) = max{ f k ( x) : x ∈ D} dla k = 1,K , s
Jeśli x* należy do D, to jest ono rozwiązaniem
optymalnym
Jeśli x* nie należy do D (lub nie istnieje), to
szukamy takiego punktu x’ aby odpowiadający
mu punkt z’ leżał jak najbliżej punktu idealnego
z*
4
2012-05-06
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
z * = [39, bdb,10, bdb,300]
Uszeregowanie wariantów na podstawie
punktów rankingowych
Wariant uzyskuje jeden punkt za
zdominowanie jednego z pozostałych
wariantów.
Zdominowanie takie zachodzi, gdy dany
wariant ma od drugiego lepsze oceny ze
względu na większą liczbę kryteriów.
Określenie punktu najgorszego (przez decydenta)
i wyznaczenie punktu idealnego
Wyznaczenie rozwiązania próbnego ze zbioru
rozwiązań sprawnych
Wyrażenie preferencji decydenta co do dalszego
poszukiwania – ustalenie, które kryteria mają
zostać polepszone, a które można pogorszyć
Ponowne ustalenie punktów odniesienia
Żądając poprawienia kryterium decydent musi
zaakceptować pogorszenie innego, ale nie poniżej
punktu najgorszego
Fiat
Panda
Fiat
Seicento
Opel
Astra
Renault
Megane
Seat
Toledo
Skoda Ford
Fabia Focus
Cena
45
39
55
53
50
46
55
Serwis
db
db
bdb
db
dst
db
bdb
Zwrotność
7,5
7,5
9
8,5
10
9
9
Paliwo
bdb
db
dst
db
dst
db
db
Bagażnik
200
150
250
300
250
250
300
Panda>Seicento
Panda<Astra
Panda<>Megane
Panda>Toledo
…
5