Struktury Algebraiczne - Polsko
Transkrypt
Struktury Algebraiczne - Polsko
Algebra Struktury Algebraiczne Alexander Denisjuk [email protected] Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra – p. 1 Struktury Algebraiczne Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna ˛ jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Algebra – p. 2 Działania binarne a struktury algebraiczne • X × X → X, (x, y) 7→ x · y , lub xy • Działanie przemienne, jeżeli ∀x, y ∈ X ⇒ xy = yx (cz˛este oznaczenie: x + y ) • Działanie łaczne, ˛ jeżeli ∀x, y, z ∈ X ⇒ (xy)z = x(yz) • Element neutralny ∃1 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 1 · x = x · 1 = x ◦ Wzglednie ˛ ∃0 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 0 + x = x + 0 = x • Element x ∈ X odwracalny, jeżeli ∃x−1 ∈ X ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1 ◦ Wzglednie ˛ ∃(−x) ∈ X ⇒ (−x) + x = x + (−x) = 0 • Dzielenie x/y = xy −1 ◦ Odejmowanie x − y = x + (−y) Algebra – p. 3 Potegi ˛ Definicja 1. Niech n ∈ Z. xn = Definicja 2. Niech n n razy 1, (x−1 )(−n) , n=0 n<0 ∈ Z. x + x + ·{z · · + x + x} n > 0 | nx = Twierdzenie 3. x · x ·{z · · x · x} n > 0 | n razy 0, −(−n)x, n=0 n<0 • xn xm = xm+n • (xn )m = xmn Algebra – p. 4 Grupa • Zbior C z określonym na nim działaniem binarnym nazywa Definicja 4. sie˛ grupa, ˛ jeżeli działanie jest łaczne, ˛ istnieje element neutralny oraz każdy element jest odwracalny: ◦ ∀x, y, z ∈ G ⇒ (xy)z = x(yz) ◦ ∃1 ∈ G, ∀x ∈ G ⇒ 1 · x = x · 1 = x ◦ ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1 • Jeżeli działanie jest przemiennym, to grupa nazywa sie przemienna˛ lub abelewa˛ Algebra – p. 5 Przykłady • Z, +; nZ, + • Zn , dodawanie reszt • R, mnożenie • Wielomiany: W, + • Wn , + • Rn , + • Macierze: m × m Mmn , + • Nieosobliwe macierze kwadratowe: GLn (R), mnożenie macierzy • Permutacje: Sn , mnożenie permutacji • Grupa symetrij figury geometrycznej, złożenie symetrij Algebra – p. 6 Grupa cykliczna Definicja 5. Grupa G nazywa sie˛ cykliczna, ˛ jeżeli ∃a tworzacy ˛ ), taki że ∀x ∈ G∃n ∈ Z, ⇒ x = an Przykład 6. ∈ G (element • Z • { −1, 1 }, mnożenie • Grupa obrotów pieciok ˛ atu ˛ foremnego • Grupa obrotów kwadratu Algebra – p. 7 Podgrupy Definicja 7. • G1 ⊂ G nazywa sie˛ podgrupa,˛ jeżeli G1 jest grupa˛ • G1 ⊂ G jest podgrupa˛ ⇐⇒ (∀x, y ∈ G1 ⇒ xy −1 ∈ G1 ) • Rz˛edem grupy nazywamy ilość jej elementów • Rz˛edem elementu x nazywamy majmniejsza˛ dodatnia˛ liczbe˛ naturalna˛ n, taka˛ że xn = 1 Twierdzenie 8 (Lagrange). Dla skończonej grupy rzad ˛ podgrupy jest podzielnikiem rz˛edu grupy Algebra – p. 8 Przykłady podgrup • Macierze kwadratowe o wyznaczniku ±1: SLn (R) ⊂ GLn (R) • Macierze kwadratowe o wyznaczniku 1: SOn (R) ⊂ GLn (R) • Parzyste permutacje • Symetrie figury geometrycznej zachowujace ˛ orientacje˛ Algebra – p. 9 Grupy izomorfne Definicja 9. Algebra – p. 10 Pierścień Algebra – p. 11 Homomorfizmy pierścieni Algebra – p. 12 Arytmetyka modularna Algebra – p. 13 Ciało Algebra – p. 14