Kody kwantowej korekcji bledow dla wybranych modeli szumow

Uniwersytet Jagielloński w Krakowie
Wydział Fizyki, Astronomii
i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Michał Białończyk
Kody kwantowej korekcji błędów dla
wybranych modeli szumu
praca licencjacka wykonana pod kierunkiem
prof. dr. hab. Karola Życzkowskiego
Kraków 2013
1
Wstęp
Celem pracy jest przedstawienie problemu kwantowej korekcji błędów i zaprezentowanie przykła-
dów, dla których można znaleźć dokładne rozwiązanie korzystając z warunków Knilla-Laflamme’a.
W pierwszej sekcji wprowadzamy elementy formalizmu matematycznego używanego w teorii kwantowej informacji - macierze gęstości oraz operacje kwantowe. Przypominamy klasyczne twierdzenia, w
szczególności twierdzenie o przedstawieniu operacji kwantowej w postaci rozkładu Krausa. Prezentujemy również przykłady i konkretne zastosowania omawianych pojęć.
W sekcji drugiej przedstawiamy początkowo w sposób intuicyjny, a dalej w sposób formalny zagadnienie kwantowej korekcji błędów dla zadanej operacji modelującej szum kwantowy. Podajemy dowód warunku koniecznego i wystarczającego istnienia podprzestrzeni kodowej (tzw. warunków KnillaLaflamme’a) wraz z pełną konstrukcją operacji odzyskiwania informacji kwantowej. Prezentujemy
również użyteczne narzędzie wykorzystywane w rozwiązywaniu warunków Knilla-Laflamme’a, mianowicie zakres numeryczny wyższego rzędu.
Sekcja 3 zawiera przykłady znajdowania podprzestrzeni kodowych korzystając z warunków KnillaLaflamme’a. Pierwszy przykład dotyczy tzw. losowego szumu unitarnego modelowanego dwoma operatorami Krausa - problem został rozwiązany w całości w pracy [1]. Drugi przykład jest opracowany
przez autora i zawiera rozwiązanie dla szumu modelowanego dwoma operatorami nieunitarnymi znaleziono kodowanie 1 kubitu za pomocą 2 kubitów.
2
Podstawowe pojecia i narzędzia
2.1
Macierze gęstości
Rozważamy zespoloną przestrzeń Hilberta H. W całej pracy zakładamy, że wymiar przestrzeni
jest skończony, dim H = N < ∞ - w teorii informacji kwantowej przeważnie zajmujemy się układami
o skończonej liczbie stanów. Zbiór operatorów liniowych przeprowadzających przestrzenń H w siebie
oznaczamy B(H). Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny h·, ·i:
A ∈ B(H), B ∈ B(H) → hA, Bi = Tr(A† B)
(1)
Przestrzeń B(H) z powyższym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią Hilberta-Schmidta, HS.
Ma ona wymiar N 2 . Przestrzeń HS można przedstawić w postaci ([2]):
HS = H ⊗ H∗
(2)
gdzie H∗ oznacza przestrzeń dualną do H. To pozwala zapisać każdy operator liniowy w postaci:
A = a1 |ψ1 i hϕ1 | + a2 |ψ2 i hϕ2 | + . . .
(3)
W przestrzeni B(H) definiujemy operatory dodatnie, zbiór tych operatorów oznaczamy P(H). Są
to operatory spełniające warunek:
A ∈ P(H)
⇔
∀|ψi∈H
hψ|A|ψi ­ 0
1
⇔
∃B∈B(H) A = BB †
(4)
Można pokazać, że operator dodatni jest również operatorem hermitowskim ([3]) oraz że wymiar zbioru
P(H) jest równy N 2 .
Po tym wprowadzeniu podajemy definicję macierzy gęstości (często bedziemy stosować zamiennie
sformułowania ”macierz” oraz ”operator”):
Definicja 2.1. Macierzą gęstosci nazywamy macierz ρ operatora dodatniego na skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta spełniającego warunek Trρ = 1.
Zbiór macierzy gęstości oznaczamy M(N ) . Z poprzednich rozważań wynika, że ma on N 2 − 1
wymiarów rzeczywistych. Jest on zbiorem wypukłym, którego punktami ekstremalnymi są macierze
dla tzw. stanów czystych. Macierz stanu czystego ma postać ρ = |ψi hψ|. Widać stąd bezpośrednio, że
dla stanów czystych spełniona jest zależność ρ2 = ρ.
Przykład 2.1. Niech |e1 i, |e2 i,. . . |en i będzie bazą przestrzeni H, zaś |xi = a1 |e1 i+a2 |e2 i+. . . an |en i
unormowanym stanem (stan |xi jest stanem czystym). Macierz gęstości odpowiadająca temu stanowi
ma w bazie |e1 i, |e2 i,. . . |en i postać:

|a1 |2 a1 a∗2 . . .





ρ = |xi hx| = |xi ⊗ hx| =  a2 a∗1 |a2 |2 . . . 


..
..
..
.
.
.
(5)
Macierze gęstości są uogólnieniem pojęcia stanu układu kwantowego - pozwalają opisywać sytuacje, kiedy stany występują z pewnym klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa. Macierzy gęstości
używa się w teorii informacji kwantowej do reprezentowania stanów układów kwantowych.
Przykład 2.2. Rozważmy zbiór M(2) . Jest to zbiór 3-wymiarowy, można go zanurzyć w R3 . Każdą
hermitowską macierz 2 × 2 ρ można sparametryzować w następujący sposób:

ρ=
1
2
−z
x − iy
x + iy
1
2
+z


(6)
Aby macierz ρ była dodatnia, musi spełniać warunek det(ρ) ­ 0 (jest to warunek konieczny i wystarczający, gdyż Tr(ρ) > 0). Oznacza to, że
x2 + y 2 + z 2 ¬
1
4
(7)
Równanie powyższe określa kulę B 3 . Ponadto łatwo sprawdzić, że przyporządkowanie punktom (x, y, z) ∈
B 2 ⊂ R3 macierzy ρ określonych (6) jest homeomorfizmem. Otrzymaną kulę nazywamy kulą Blocha.
Stany czyste są punktami ekstremalnymi kuli, tworzą zatem sferę S 2 . Jest to dobrze znana z mechaniki
kwantowej sfera Blocha. Na tą sferę można również spojrzeć jako na zespoloną przestrzeń rzutową CP1
- ogólnie zbiór stanów czystych nad N wymiarową przestrzenią Hilberta jest przestrzenią CPN −1 ([2]).
Ponieważ każda macierz gęstości jest operatorem hermitowskim, istnieje baza ortonormalna |ei i i
liczby nieujemne µi , i = 1, . . . N takie, że
ρ=
N
X
µi |ei i hei |
i=1
2
(8)
Przyjmując
√
|ψi i =
µi |ei i
(9)
otrzymujemy przedstawienie macierzy gęstości ρ w postaci (wektory |ψi i są ortogonalne, lecz niekoniecznie unormowane do jedności):
ρ=
N
X
|ψi i hψi |
(10)
i=1
Przedstawienie w postaci (10) dla pewnej bazy {|φi i}N
i=1 nie jest jednoznaczne. Następujące twierdzenie ustala relację pomiędzy takimi przedstawieniami ([4]):
N
Twierdzenie 2.1. Zbiory wektorów {ψi }N
i=1 i {φi }i=1 generują tą samą macierz gęstości, tzn:
ρ=
N
X
|ψi i hψi | =
i=1
N
X
|φi i hφi |
(11)
i=1
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz unitarna u o wymiarze N × N taka że dla każdego 1 ¬ i ¬ N
zachodzi
|ψi i =
N
X
uij |φj i
(12)
j=1
2.2
Operacje kwantowe
Uogólnieniem równania Schrödingera dla macierzy gęstości jest
i~
d
ρ(t) = [H, ρ(t)]
dt
(13)
gdzie Ψ jest operatorem działającym w zbiorze macierzy gęstości, zaś H : H → H jest hamiltonianem
układu. Równanie to możemy przepisać w postaci:
d
ρ(t) = Ψ(ρ(t))
dt
(14)
gdzie Ψ : M(N ) → M(N ) jest pewnym odwzorowaniem. Powyższe równania obrazują ciągłą ewolucję
układu kwantowego - jednak w wielu sytuacjach mamy do czynienia z jednorazowym ”zaburzeniem”
układu kwantowego przez pewną operację Φ. Symbolicznie można zapisać:
ρ → Φ(ρ),
Φ : M(N ) → M(N )
(15)
Należy zatem określić jakie warunki musi spełniać operator Φ, aby powyższa operacja miała fizyczny
sens.
Pierwszym postulatem jest liniowość operatora Φ. Pozwala to zapisać działanie operacji w następujący sposób w notacji indeksowej ([2]) :
ρ0 = Φ(ρ) ⇒ ρ0mn = Φmn,kl ρkl
(16)
Następnie należy przyjąć, że Φ przeprowadza macierze gęstości w macierze gęstości. Mamy zatem:
ˆ ρ0 = (ρ0 )† ⇔ Φmn,kl = Φ?nm,lk
3
ˆ T rρ0 = 1 ⇔
PN
m=1 Φmm,kl
= δkl
ˆ ρ0 ∈ P(H) ⇔ Φ(ρ) ∈ P(H)
Z fizycznego punktu widzenia te warunki są jeszcze za słabe - jeżeli rozszerzymy nasz układ tworząc
stan ρ ⊗ σ to żądamy, aby operacja Φ ⊗ I działając na ten rozszerzony stan była operatorem dodatnim.
Formalnie, wprowadzamy pojęcie k-dodatniości :
Definicja 2.2. Operator Φ : M(N ) → M(N ) nazywamy k-dodatnim, jeżeli dla dowolnego k-wymiarowego
rozszerzenia przestrzeni H : H → H ⊗ Hk operator Φ ⊗ Ik jest dodatni. Operator Φ jest całkowicie
dodatni (ang. completely positive) jeżeli jest k-dodatni dla każdego k.
Oczywiście jeżeli operator jest całkowicie dodatni, to jest również dodatni. Teraz możemy zdefiniować pojęcie odwzorowania kwantowego:
Definicja 2.3. Odwzorowaniem kwantowym (operacją kwantową, kanałem kwantowym) nazywamy
operator Φ : M(N ) → M(N ) który jest liniowy, całkowicie dodatni i zachowujący ślad.
Istnieje bardzo użyteczne przedstawienie kanałów kwantowych:
Twierdzenie 2.2. Operator liniowy Φ : M(N ) → M(N ) jest odwzorowaniem kwantowym wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieją Ai ∈ B(H), i = 1, . . . N 2 takie, że:
2
2
Φ(ρ) =
N
X
N
X
Ai ρA†i ,
A†i Ai = I
(17)
i=1
i=1
Dowód można znaleźć w [2] lub [3]. Przedstawienie Φ zawarte w powyższym twierdzeniu nazywamy
rozkładem Krausa. Wynika z niego, że każde odwzorowanie kwantowe możemy określić za pomocą
rodziny operatorów:
2
2
A = {Ai : i = 1, . . . N ,
N
X
A†i Ai = I}
(18)
i=1
Efektywnie liczba operatorów może być mniejsza od N 2 - wtedy do N 2 można dopełnić operatorami
zerowymi. Warunek
PN 2
†
i=1 Ai Ai
= I jest równoważny zachowywaniu śladu przez operację kwantową A
(bezpośredni dowód tego faktu można znaleźć w [3]). Bez tego warunku własność liniowości i całkowitej
dodatniości nadal jest spełniona.
Za pomocą rodzin operatorów Krausa modelujemy szumy zachodzące w układach kwantowych
lub podczas przesyłania informacji kwantowej. W dalszej części będziemy często jako przykładowo
2
(N ) 7→ M(N ) .
A oznaczać zarówno rodzinę operatorów Krausa {Ai }N
i=1 jak i operację kwantową M
Poniższe przykłady pokazują szczególne przypadki kanałów kwantowych.
Przykład 2.3. Najogólniejszy proces pomiarowy możemy w mechanice kwantowej opisać rodziną
operatorów {Ai }ki=1 takich, że
k
X
A†i Ai = I
i=1
4
(19)
Operatorom tym przypisuje się liczby rzeczywiste będące wynikami pomiaru ai , i = 1, . . . k. Pomiar
wykonany na stanie ρ daje wynik ai z prawdopodobieństwem pi oraz stan przechodzi w ρi :
Ai ρA†i
ρ → ρi =
Tr(Ai ρA†i )
pi = Tr(Ai ρA†i )
,
(20)
Jeżeli operatory Ai są operatorami rzutowymi, zaś rodzina {Ai }ki=1 tworzy ortogonalny rozkład jedności, to pomiar określony orzez tą rodzinę nazywamy pomiarem rzutowym .
Dla danych dwóch operacji kwantowych zadanych rodzinami A = {Ai , i = 1, . . . N 2 } i B = {Bi , i =
1, . . . N 2 } pojawia się pytanie, kiedy te operacje są równe. Odpowiedź daje następujące twierdzenie,
któe jest prostym wnioskiem z twierdzenie 2.1 (dowód można znaleźć w [4]).
Twierdzenie 2.3. Niech A = {Ai , i = 1, . . . N 2 }, B = {Bi , i = 1, . . . N 2 } bedą operacjami kwantowymi w postaci Krausa. Operacje te są równe, tzn:
∀ρ∈M(N ) A(ρ) = B(ρ)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz unitarna u o wymiarze N 2 × N 2 taka, że dla każdego 0 ¬ i ¬
N 2 zachodzi:
2
Ai =
N
X
uij Bj
(21)
j=1
3
Kwantowa korekcja błędów
3.1
Warunki Knilla-Laflamme’a
Rozważmy operację kwantową A, która modeluje niepożądany szum układu kwantowego, zaburzający przygotowany stan określony macierzą gęstości ρ. Pojawia się pytanie, czy znając postać operatorów Krausa za pomocą których wyraża się operacja A jest możliwe odzyskanie stanu ρ, tzn czy istnieje
operacja odwrotna do A. Problem polega na tym, że nawet jeżeli istnieje operator liniowy odwrotny
do A określony na obrazie A(M(N ) ), to zazwyczaj wyprowadza on stany spoza obrazu odwzorowania
A poza zbiór macierzy gęstości. Przykładowo istnieją 1 kubitowe operacje kwantowe, które powodują
”przeskalowanie” kuli Blocha ze skalą mniejszą od 1 - operacja odwrotna bedzie ”skalowaniem” o skali
większej od 1, zatem wyprowadzi część stanów poza zbiór macierzy gęstości. Należy zatem rozważyć
problem istnienia operacji odwrotnej na pewnej podprzestrzeni H. Jeżeli dla pewnej podprzestrzeni
V ⊆ H i pewnej operacji kwantowej R spełniony jest warunek:
(R ◦ A)|V (ρ) ∝ ρ
(22)
to na podprzestrzeni V można zakodować informację i po zajściu błędu A ją odtworzyć przy pomocy
R. Informacja ρ jest zakodowana na podprzestrzeni V , jeżeli dla operatora rzutowego PV rzutującego
na przestrzeń V mamy :
PV ρ = ρ
5
(23)
Zauważmy, że dla każdego ρ ∈ M(N ) PV ρPV należy do zbioru macierzy gęstości określonych na
podprzestrzeni V . Dlatego warunek, że na podprzestrzeni V można zakodować informację można
sformułować następująco: istnieje operacja kwantowa R taka, że :
∀ρ∈M(N ) (R ◦ A)(PV ρPV ) ∝ PV ρPV
(24)
Problem poszukiwania operacji R stanowi przedmiot teorii kwantowej korekcji błedów, działu teorii
kwantowej informacji (przeglądowym artykułem wprowadzającym do tej tematyki jest np. [5]).
Istnieje kryterium, jakie musi spełniać operacja kwantowa reprezentowana w postaci rodziny ope2
ratorów Krausa A = {Ai }N
i=1 , aby istniała dla niej podprzestrzeń kodu. Warunki te zostały zaproponowane po raz pierwszy w pracy [6]. Sformułowanie tych warunków zawiera poniższe twierdzenie,
którego dowód zawiera konstrukcję operacji odzyskiwania R dla zadanego modelu szumu.
Twierdzenie 3.1. Niech odwzorowanie kwantowe modelujące szum będzie zadane rodziną niezerowych
operatorów Krausa A = {Ai : i = 1, . . . N 2 }. Wtedy podprzestrzeń V wyznacza kod kwantowej korekcji
błędu dla A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zespolona macierz Λ = λij o wymiarze N 2 × N 2 oraz
projektor P rzutujący na V spełniające dla każdego 1 ¬ i, j ¬ N 2 następujące warunki
P A†i Aj P = λij P
(25)
Podane relacje zwane są w literaturze warunkami Knilla-Laflamme’a.
Dowód. (na podstawie [4]) (⇐) Niech dany będzie operator P i macierz λij spełniające warunki (25).
2
Skonstruujemy rodzinę operatorów R = {Ri }N
i=1 która reprezentuje operację korekcji. Konstrukcja
składa się z następujących kroków:
1. Z warunków (25) wynika, że macierz Λ = λij jest hermitowska. Zatem istnieje macierz diagonalna
d i macierz unitarna u takie, że
d = u† Λu
(26)
Sumując równania 25 zapisane dla i = j otrzymuje się
2
N
X
dkk = Trd = TrΛ = 1
(27)
k=1
Definiujemy operatory
2
Fk =
N
X
uik Ai ,
k = 1, 2, . . . N 2
(28)
i=1
Korzystając z warunków (25) oraz (26) otrzymujemy:
P Fi† Fj P = dij P,
1 ¬ i, j ¬ l
(29)
Te warunki są uproszczeniem (25) ponieważ d jest diagonalna - odwzorowanie określone przez
2
rodzinę F = {Fk }N
k=1 jest tożsame z A (na mocy twierdzenia 2.3).
6
2. Stosujemy rozkład polarny dla operatora Fk P przedstawiając go jako iloczyn macierzy unitarnej
i hermitowskiej:
q
Fk P = Uk P Fk† Fk P =
p
dkk Uk P
(30)
Ponieważ operator P na ogół jest osobliwy, macierz Uk nie jest wyznaczona jednoznacznie.
Ponadto z warunków 25 wynika że:
Fk P 6= 0 ⇔ dkk 6= 0
(31)
Uszeregujmy operatory w rodzinę :
{F1 , F2 , . . . Fm } = {Fi }m
i=1 ,
m∈N
(32)
w ten sposób, aby liczby d11 , d22 , . . . dmm były niezerowe.
3. Definiujemy operatory:
Pk = Uk P Uk† ,
k = 1, 2, . . . m
(33)
Korzystając z (30) i (29) widzimy, że operatory Pk są ortogonalnymi operatorami rzutowymi:
Ul P Fl† Fk P Uk†
√
= 0,
Pl Pk =
dll dkk
Pk2 = Pk ,
Zatem:
m
X
!
Pi H =
i=1
k 6= l
Pk† = Pk
m
M
(34)
(35)
!
Pi H ⊂ H
(36)
i=1
Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi podprzestrzeni na którą rzutuje, zatem
TrPk = TrP = dimV
(37)
mdimV ¬ N
(38)
Wynika stąd, że:
Aby uzyskać ortogonalny rozkład jedności dodajemy operatory Pm+1 i Um+1 :
Pm+1 = I −
m
X
Pi ,
Um+1 = I
(39)
i=1
2
m+1
N
Rodzinę {Pi }m+1
i=1 dopełniamy do {Pi }i=1 operatorami zerowymi, zaś {Ui }i=1 operatorami jed-
nostkowymi.
4. Detekcja błędu odbywa się poprzez wykonanie pomiaru rzutowego określonego operatorami
2
{Pk }N
k=1 .
5. Korekcja odbywa się poprzez wykonanie kwantowej operacji określonej rodziną operatorów {Uk† }N
k=1 .
2
6. Podsumowując, operacja odzyskiwania jest określona przez rodzinę operatorów Krausa:
†
R = {U1† P1 , U2† P2 , . . . UN
2 PN 2 }
7
(40)
Aby to sprawdzić zauważmy, że dla dowolnej macierzy gęstości ρ i dla 1 ¬ k, l ¬ m zachodzi :
p
p
√
√
√
√
Uk† Pk Fl ρ = Uk† Pk† Fl P ρ = δkl dkk P ρ = δkl dkk ρ
(41)
ponieważ rozpatrujemy zacieśnienie macierzy gęstości do podprzestrzeni projektora P , a w 3 równości
korzystamy bezpośrednio z definicji Pk . Jeżeli k lub l jest równe m + 1 powyższa równość zachodzi na
mocy łatwej do sprawdzenia toższamości:
Pm+1 Pk = 0,
1¬k¬m
(42)
Teraz przyjmując, że korekcja odbywa się za pomocą odwzorowania R(σ) =
P
k
Uk† Pk σPk Uk dostajemy
(sumowanie po indeksach spełniających 1 ¬ k, l ¬ N 2 ):
R(A(ρ)) = R(F(ρ)) =
X
X
√ √
Uk† Pk Fl ρ ρFl† Pk Uk = ρ
δkl dkk = ρ
k,l
(43)
k,l
W ostatniej równości skorzystaliśmy z (27). Zatem rodzina
2
R = {Ui† Pi }N
i=1
(44)
reprezentuje poszukiwane odwzorowanie odzyskujące informację po wystąpieniu błedu opisanego operacją A.
(⇒) Aby pokazać, że warunek (25) jest warunkiem koniecznym, załóżmy że rodzina operatorów
R = {Ri : i = 1, . . . N 2 } stanowi kwantową operację korekcji dla operacji błędu określonego przez
E = {Ei : i = 1, . . . N 2 } (W obu operacjach można dopełnić rodzinę operatorami zerowymi, aby uzyskać rodziny o N 2 elementach). Określmy operację :
EC (ρ) = E(P ρP )
(45)
Ale P ρP należy do podprzestrzeni kodu - zatem dla każdego ρ
R(EC (ρ)) ∝ P ρP
(46)
Ponieważ obie strony powyższej równości są liniowe w ρ, stała proporcjonalności nie zależy od ρ. Zatem
podstawiając rozkłady Krausa:
X
Rj Ei P ρP Ei† Rj† = cP ρP
(47)
ij
Ponieważ po lewej stronie jest operacja kwantowa, stała c musi być rzeczywista i nieujemna (operacja
kwantowa zachowuje dodatniość i hermitowskość). Zatem powyższa równość oznacza, że operacja
2
4
kwantowa realizowana przez rodzinę {Rk Ei }N
i=1,k=1 (o mocy N ) jest równa operacji realizowanej
√
przez jeden operator Krausa cP . Dopełniając ją operatorami zerowymi i korzystając z twierdzenia
2.3 otrzymujemy, że istnieje macierz unitarna W taka, że:
Rk Ei P = Wki P,
0 ¬ i, j ¬ N 2
(48)
Liczby operatorów są większe niż N 2 , co oznacza że nie są one liniowo niezeleżne. Twierdzenie 2.3 jest
również prawdziwe w tym przypadku ([4]). Biorąc sprzężenie powyższej równości otrzymujemy, że:
?
P Ei† Rk† Rk Ej P = Wki
Wkj P
8
Sumując powyższą równość względem k i korzystając z własności zachowania śladu przez R otrzymujemy:
P Ei† Ej P =
X
?
Wki
Wkj P = λij P
(49)
k
co jest równoważne warunkom (25).
Aby dać pełny algorytm wyznaczania operacji odzyskiwania podajemy sposób obliczania rozkładu
polarnego wykorzystywanego w kroku 2 konstrukcji (równanie 30).
Przypuścmy, że dla danego operatora A chcemy znaleźć rozkład:
A = U J,
U † U = I,
Połóżmy:
J=
J ∈ P(H)
√
A† A
(50)
(51)
J jest operatorem dodatnim, zatem hermitowskim i z twierdzenia spektralnego można go przedstawić
w postaci:
J=
N
X
µi |ii hi| ,
λi ­ 0,
hi| |ji = δij
(52)
i=1
Liczby µi szeregujemy w taki sposób, aby dla i ¬ k µi > 0, zaś dla i > k µi = 0. Dla i ¬ k
przyjmujemy:
|ei i =
Ai |ii
µi
(53)
Do zbioru {ei }ki=1 stosujemy ortogonalizację Grama-Shmidta i otrzymujemy zbiór ortonormalny {ei }N
i=1 .
Określamy operator U w następujący sposób:
U=
N
X
|ei i hi|
(54)
i=1
Łatwo sprawdzić, że operator U jest unitarny, a ponadto dla i ¬ k zachodzi
U J |ii = µi |ei i = A |ii
(55)
U J |ii = 0 = A |ii
(56)
za dla i > k mamy
Zatem odwzorowania U J i A są równe na bazie zadanej wektorami |ii, zatem są równe na H. Jeżeli
A jest nieosobliwy, to J jest nieosobliwy i U jest zadane jednoznacznie jako AJ −1 .
Szczególnym przypadkiem kwantowej korekcji błędów jest sytuacja, gdy na pewnej podprzestrzei
V układ jest w pewnym sensie ”odporny” na działanie szumu reprezentowanego pewną operacją
kwantową, tzn działanie szumu sprowadza się na tej podprzestrzeni do obrotu, czyli ewolucji unitarnej.
Do opisu takich sytuacji wprowadza się pojęcie podprzestrzeni odpornej na dekoherencję.
2
Definicja 3.1. Niech A = {Ai }N
i=1 będzie operacją kwantową. Podprzestrzenią odporną na dekoherencję (ang. decoherence free subspace) nazywamy taką podprzestrzeń V ⊆ H, że
∀ρ∈M( N ) A(ρ) = U ρU †
9
(57)
gdzie macierz U zawężona do podprzestrzeni V jest unitarna, tzn. dla projektora P rzutującego na V
zachodzi
P U †U P = P
(58)
Na koniec podajemy proste wnioski z twierdzenia 3.1.
2
Wniosek 3.1. Niech A = {Ai }N
i=1 będzie operacją kwantową. Jeżeli operator rzutowy P i macierz
N 2 × N 2 Λ spełniają warunki Knilla-Laflamme’a (25), to macierz Λ jest macierzą gęstości.
Dowód. Na początek zauważmy, że dodatniość operatora jest niezmiennikiem względem unitarnej
transformacji bazy. Istotnie, dla dowolnego operatora O ∈ B(H) i macierzy unitarnej U N × N zachodzi:
∀|ψi∈H hψ| O |ψi ­ 0 ⇒ ∀|ψi∈H hU ψ| O |U ψi
(59)
ponieważ U jest izomorfizmem. Definiujemy operatory Fk jak jak w (28) i dostajemy równanie (29).
Załóżmy, że macierz Λ nie jest dodatnia. Wtedy istnieje 0 ¬ l ¬ N 2 takie, że dll < 0. Ale wtedy
równanie:
P Fl† Fl P = (Fl P )† (Fl P ) = dll P
(60)
nie może być spełnione, gdyż operator po lewej stronie jest dodatni, zaś po prawej nie - sprzeczność.
Dowód twierdzenia 3.1 zawiera rozumowanie pokazujące, że T rΛ = 1.
Następny wniosek zawiera kryterium, kiedy podprzestrzeń jest podprzestrzenią odporną na dekoherencję.
Wniosek 3.2. Załóżmy, że macierz Λ wymiaru N 2 × N 2 i operator rzutowy P spełniają warunki
2
Knilla-Laflamme’a (25) dla pewnej operacji kwantowej A = {Ai }N
i=1 . Wtedy operator P wyznacza
podrzestrzeń odporną na dekoherencję wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Λ jest operatorem rzutowym,
tzn. Λ2 = Λ.
Dowód. (⇒) Załóżmy, że P rzutuje na podprzestrzeń odporną na dekoherencję. Wtedy istnieje macierz
U spełniająca warunek (58) dla operatora P taka, że:
A(P ρP ) = U P ρP U †
(61)
To zaś oznacza, że
2
N
X
Ai P ρP A†i = U P ρP U †
(62)
i=1
2
Zatem odwzorowania kwantowe określone rodzinami {Ai P }N
i=1 i {U P } są równe. Zatem z twierdzenia
2.3 dostajemy, że istnieje macierz unitarna W wymiaru N 2 × N 2 taka, że
Ai P = Wi0 U P,
i = 1, . . . N 2
(63)
Wymnażając powyższą równość ze swoim sprzężeniem i korzystając z własności U otrzymujemy:
?
λij P = P A†i Aj P = Wi0
Wj0 P
10
(64)
Zatem
?
λij = Wi0
Wj0
2
2
(Λ )ij =
N
X
(65)
2
?
?
Wi0
Wk0 Wk0
Wj0
=
?
Wi0
Wj0
k=1
N
X
(W † )0k Wk0 = Λij
(66)
k=1
(⇐) Wprowadzamy operatory Fk i macierz diagonalną d za pomocą równości (28) i (26). Łatwo
sprawdzić, że jeżeli Λ spełnia równość Λ2 = Λ, to również d2 = d. Ponieważ d jest macierzą gęstości
(patrz dowód wniosku 3.1) dla pewnego l zachodzi dll = 1, dkk = 0 dla k 6= l. Wynika stąd, że
P Fk † Fk P = (Fk P )† Fk P = 0 ⇒ Fk P = 0,
k 6= l
(67)
Stąd otrzymujemy:
A(P ρP ) = Fl P ρP Fl† = Fl P P ρP P Fl† ,
(Fl P )† Fl P = P
(68)
co kończy dowód.
3.2
Zakres numeryczny wyższego rzędu
Definicja 3.2. Zakresem numerycznym rzędu k, k ­ 1 dla danego operatora O ∈ B(H) nazywamy
zbiór:
Λk (O) = {λ ∈ C : P OP = λP dla pewnego P ∈ Pk }
(69)
gdzie Pk oznacza zbiór operatorów rzutowych rzutujących na podprzestrzeń k - wymiarową.
Dla k = 1 otrzymujemy znany zakres numeryczny macierzy, który można przedstawić w postaci:
Λ1 (O) = W (A) = {hψ| O |ψi , |ψi ∈ H, || |ψi || = 1}
(70)
Zakres numeryczny macierzy można wykorzystać do badania kodów kwantowej korekcji błedów - wartość λij występująca w warunkach Knilla-Laflamme’a musi należeć do Λk (A†i Aj ) , jeżeli poszukujemy
kodu o wymiarze k. Z tego powodu zbadano szereg własności zakresów numerycznych - wyniki zawierają prace [7], [8], [9], [10].
Po pierwsze zauważmy, że dla dowolnej macierzy O zachodzi:
ΛN (O) ⊆ . . . ⊆ Λ2 (O) ⊆ Λ1 (O)
(71)
Własności topologiczne są zawarte w twierdzeniu:
Twierdzenie 3.2. Zbiór Λk (O) jest dla każdego k zbiorem zwartym. Λ1 (O) jest dodatkowo zbiorem
wypukłym.
Intuicyjnie można spodziewać się, że zakresy numeryczne Λk (O) dla odpowiednio dużych k będą
”małe”, tzn Int(Λk (O)) jest zbiorem pustym. Jest tak rzeczywiście, zachodzi bowiem następujące
twierdzenie ([7]):
11
Twierdzenie 3.3. Jeżeli O jest macierzą N × N , zaś 2k > N , to Λk (O) jest zbiorem pustym albo
zbiorem jednoelementowym. Jeżeli
Λk (O) = {λ0 }
to λ0 jest wartością własną O o krotnosci co najmniej 2k − N . W szczególności ΛN (O) jest niepusty
wtedy i tylko wtedy, gdy O jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej.
Z drugiej strony, istnieje warunek pozwalający stwierdzić, że Λk (O) jest na pewno niepusty ([10])
Twierdzenie 3.4. Jeżeli O jest macierzą N × N , zaś k spełnia warunek:
k<
N
+1
3
(72)
to Λk (O) jest zbiorem niepustym.
W [7] można znaleźć konstruktywny dowód twierdzenia opisującego kształt zbioru Λk (O) dla macierzy hermitowskich (konstruktywny w tym sensie, ze pozwala on znaleźć operatory rzutowe z definicji
3.2):
Twierdzenie 3.5. Niech O bedzie operatorem hermitowskim w przestrzeni N - wymiarowej H, zaś
a1 ¬ a2 ¬ . . . ¬ aN jego wartościami własnymi (być może nie wszystkie są różne). Dla k ­ 1 zachodzi:
Λk (O) = {λ ∈ R : ak ¬ λ ¬ aN −k+1 }
(73)
Praca [8] zawiera również próby uogólnienia powyższego twierdzenia na macierze normalne. Przypomnijmy pojęcie otoczki wypukłej zbioru:
Definicja 3.3. Otoczką wypukłą coΓ zbioru Γ ⊆ C nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający
Γ, tzn :
coΓ = {t1 z1 + . . . + tm zm : t1 + . . . + tm = 1, tj ­ 0, zj ∈ Γ}
(74)
Twierdzenie 3.6. Niech O będzie operatorem normalnym CN → CN , k ­ 1, Sp(O) oznacza zbiór
wartości własnych operatora O. Niech ponadto:
Γm = {Γ ⊂ Sp(O) : #Γ = m}
(75)
Wtedy :
\
Λk (O) ⊆
coΓ
(76)
Γ∈Γm
Innymi słowy, zakres numeryczny rzędu k jest podzbiorem wszystkich otoczek wypukłych N −k +1
- elementowych podzbiorów spektrum O. W pracy [8] postawiono hipotezę, dla operatorów normalnych
zawieranie (76) jes w istocie równoscią i zamieszczono zestawienie, dla jakich N i k jest ona prawdziwa.
W szczególności hipoteza jest prawdziwa dla N = 4 i k = 2. Korzystając z tego możemy określić zakres
numeryczny rzędu 2 dla macierzy unitarnej 4 × 4 (wykorzystamy to w dalszej częsci):
Twierdzenie 3.7. Niech U będzie macierzą unitarną wymiaru 4×4 i niech zk = eiθk , k = 1, . . . 4 będą
wartościami własnymi U uszeregowanymi tak, że 0 ¬ θ1 ¬ θ2 ¬ θ3 ¬ θ4 < 2π. Zachodzą następujące
przypadki:
12
ˆ Jeżeli wartości własne są parami różne, to Λ2 (U ) zawiera jeden punkt, będący przecięciem prostych na płaszczyźnie zespolonej przechodzących przez z1 i z3 oraz z2 i z4 .
ˆ Jeżeli dokładnie 2 z wartości własnych U są równe, θj = θk , to Λ2 (U ) = {zj }
ˆ Jeżeli U ma dwie różne wartości własne z i w o krotności 2, to Λ2 (U ) jest odcinkiem na płaszczyźnie zespolonej łączącym z i w.
ˆ Jeżeli U ma dwie różne wartości własne z i w z czego z ma krotność 3, to Λ2 (U ) = {z}
ˆ Jeżeli U ma jedną wartość własną z, to Λ2 (U ) = {z}
4
Przykłady kodów kwantowej korekcji błędów
4.1
Losowy kanał unitarny
Niech przestrzeń H ma wymiar 4. Rozważmy odwzorownie kwantowe Ψ : M(4) → M(4) dane
wzorem:
Ψ(ρ) = pV ρV † + qW ρW † ,
V V † = W W † = I,
p+q =1
(77)
Odwzorowanie takie nazywamy losowym kanałem unitarnym, ponieważ obrót reprezentowany przez
V zachodzi z prawdopodobieństwem p, zaś przez W z prawdopodobieństwem q. Poszukujemy dwuwymiarowych podprzestrzeni kodowych. Odwzorowanie unitarne
ρ → V † ρV
(78)
nie ma wpływu na własności kodowania, zatem odwzorowanie Ψ jest równoważne odwzorowaniu
Ψ1 (ρ) = V † Ψ(ρ)V
(79)
Aby to uzasadnić można również skorzystać z twierdzenia 2.3. Wprowadzając U = V † W otrzymujemy
Ψ1 (ρ) = pρ + qU ρU †
(80)
√ √
Nasze odwzorowanie jest zatem reprezentowane przez rodzinę { pI, qU }. Obliczmy macierze występujące w warunkach Knilla-Laflamme’a:
T11 = pI,
†
T12 = T21
=
√
pqU,
T22 = qI
(81)
Widać, że z warunków Knilla-Laflamme’a natychmiast otrzymujemy
λ11 = p,
λ22 = 1 − λ11 = q,
λ21 = λ?12
(82)
Zauważmy, że aby rozwiązać problem wystarczy znaleźć λ ∈ Λ2 (U ) i odpowiadający operator rzutowy
P rzutujący na pewną dwuwymiarową podprzestrzeń:
P U P = λP ⇒ λ12 =
13
√
pqλ
(83)
Rozwiążemy zagadnienie dla przypadku, gdy U ma różne wartości własne z1 , z2 , z3 , z4 uszeregowane na
okręgu jednostkowym tak jak w załozeniu twierdzenia 3.7- pozostałe przypadki robi się analogicznie. Z
twierdzenia 3.7 wiadomo, że w tym przypadku istnieje tylko jedna odpowiednia wartość λ, spełniająca:
λ = αz1 + βz3 = γz2 + δz4 ,
α + β = γ + δ = 1,
α, β, γ, δ ­ 0
(84)
Należy znaleźć operator rzutowy P . Niech wartosciom własnym z1 , z2 , z3 , z4 odpowiadają wektory
własne |ϕ1 i, |ϕ2 i, |ϕ3 i, |ϕ4 i. Określamy następujące wektory (unormowane):
|ψ1 i = a1 |ϕ1 i + a3 |ϕ3 i ,
|ψ2 i = a2 |ϕ2 i + a4 |ϕ4 i ,
a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C
(85)
Poszukiwany operator rzutowy określamy następująco:
P = |ψ1 i hψ1 | + |ψ2 i hψ2 |
(86)
Metoda znajdowania podprzestrzeni kodowej polega zatem na ”parowaniu” wektorów własnych. Ma
to związek ze strukturą zakresów numerycznych wyższego rzędu. Podstawiając P do warunku:
P U P = λP
(87)
Otrzymujemy:
hψ1 | U |ψ1 i |ψ1 i hψ1 | + hψ2 | U |ψ2 i |ψ2 i hψ2 | + hψ1 | U |ψ2 i |ψ1 i hψ2 | + hψ2 | U |ψ1 i |ψ2 i hψ1 | =
= λ |ψ1 i hψ1 | + λ |ψ2 i hψ2 |
(88)
Korzystając z tego, że ψ1 i ψ2 należą do różnych podprzestrzeni niezmienniczych operatora U oraz z
tego, że operatory |ψ1 i hψ1 | i |ψ2 i hψ2 | są liniowo niezależne w B(H) otrzymujemy, że (87) sprowadza
się do równań:
hψ1 | U |ψ1 i = hψ2 | U |ψ2 i = λ
(89)
To jest zaś równoważne układowi:


z1 |a1 |2 + z3 |a3 |2




z |a |2 + z |a |2
= λ
4
= λ


|a1 |2 + |a3 |2




= 1
2
2
4
|a2 |2 + |a4 |2
(90)
= 1
Zauważmy, że otrzymaliśmy warunki tej samej postaci co (84). Z uszeregowania wartości własnych
na okręgu jednostkowym wiadomo, że istnieje λ = λ0 dla którego powyższy układ ma rozwiązanie jest to przecięcie odcinków z1 z3 i z2 z4 na płaszczyźnie zespolonej, które znajduje się wewnątrz otoczki
wypukłej z1 , z2 , z3 i z4 . Wystarczy zatem przyjąć:
s
a1 =
λ0 − z1
,
z1 − z3
s
a2 =
λ 0 − z2
,
z2 − z4
a3 =
q
1 − a21 ,
a4 =
q
1 − a22
(91)
Powyższe wyrażenia są poprawnie określone, ponieważ z określenia λ0 wynika, że liczby λ0 − z1 i
z1 − z3 mają ten sam argument główny ; ich iloraz jest zatem liczbą rzeczywistą o module mniejszym
14
od 1. Pełne rozwiązanie problemu stanowi operator rzutowy P i macierz współczynników z równań
Knilla-Laflamme’a Λ :

a21
a1 a3
0
a23
0
0
a22
0
a2 a4
a24
√


 a a
 1 3
P =
 0

0

Λ= √
4.2
p
0




a2 a4 

0
pqλ0
pqλ?0

(92)
(93)

q
Kanał kwantowy reprezentowany niekomutującymi operatorami Krausa
Niech przestrzeń H ma wymiar 4. Rozważmy następujące odwzorowanie kwantowe Φ : M(4) →
M(4) , które modeluje pewien szum układu kwantowego:
Φ(ρ) = A1 ρA†1 + A2 ρA†2
(94)
gdzie macierze A1 , A2 mają w bazie |ϕ1 i , |ϕ2 i , |ϕ3 i , |ϕ4 i mają postać:
 √

h1
0
0
0


√
 0
h2
0
0 


A1 = 

√
 0
0
h3
0 


√
h4
0
0
0
 √
1 − h1



A2 = 


0
√
0
1 − h2
0
0
0
0
0
√

0
 √
 
 
 
=
√

1 − h4 sin φ 
 
0
0
1 − h3 cos φ
√
√
− 1 − h3 sin φ
1 − h4 cos φ
(95)
1 − h1
0
√
0
1 − h2
0
0
0
0

0
0
0
0 

B2




(96)
Parametrami tego modelu są kąt φ ∈ [0, 2π) oraz wektor liczb rzeczywistych ~h = (h1 , h2 , h3 , h4 )
spełniających warunek:
0 ¬ h1 ¬ h3 < h2 ¬ h4 ¬ 1
(97)
Macierz B2 o wymiarze 2 × 2 jest macierzą o strukturze podobnej do macierzy ortogonalnej, spełnia
ona B2† B2 = diag(1 − h3 , 1 − h4 ). Widać, że A†1 A1 + A†2 A2 = I, zatem macierze A1 , A2 są poprawnymi
operatorami Krausa. Postępując zgodnie z opisaną procedurą poszukiwania kodu kwantowej korekcji
błędów określamy macierze:
T11 = A†1 A1 ,
Niech rij =
q
†
T12 = T21
= A†1 A2
oraz
T22 = A†2 A2 .
(98)
hi (1 − hj ), i, j = 1, 2, 3, 4. Macierze T11 i T12 mają w bazie |ϕ1 i , |ϕ2 i , |ϕ3 i , |ϕ4 i postać:


h1
0
0
0

 0

T11 = 
 0

h2
0
0 

0
h3
0 

0
0
0
h4
15


(99)

r11

 0

T12 = 
 0

0
0
0
r22
0
0
r33 cos φ
0

0

r11
 
  0
 
=

r34 sin φ 
  0
0
−r43 sin φ r44 cos φ
0

0
0
0
r22
0
0 

0
C2




(100)
0
Z postaci macierzy widać, że
[A1 , A2 ] 6= 0,
[T11 , T12 ] 6= 0
(101)
Operatory A1 , A2 oraz T11 , T12 mają wspólną podprzestrzeń własną Lin(|ϕ1 i , |ϕ2 i). Będziemy poszukiwać 2 wymiarowej podprzestrzeni kodowej V - celem jest zatem znalezienie operatora rzutowego
PV , dimV = 2. Pełne warunki Knilla-Laflamme’a mają postać:


PV T11 PV



P T P
= λ11 PV
12 V
= λ12 PV


PV T21 PV




= h21 PV
V
PV T11 PV
= h22 PV
Wystarczy rozwiązać warunki dla T11 i T12 - jeżeli λ11 i λ12 są rozwiązaniem dla pewnego PV , to
λ21 = λ?12 oraz λ22 = 1 − λ11 są rozwiązaniem dla macierzy T12 i T22 . Zdefiniujmy kombinacje liniowe
par stanów:
|ψ1 i = a1 |ϕ1 i + a2 |ϕ2 i ,
|ψ2 i = a3 |ϕ3 i + a4 |ϕ4 i ,
a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C
(102)
Postulujemy następującą postać operatora PV :
PV = |ψ1 i hψ1 | + |ψ2 i hψ2 |
(103)
Aby operator ten był operatorem rzutowym wektory |ψ1 i i |ψ2 i muszą być znormalizowane.
Dla dowolnego operatora S : H → H warunek PV SPV = αPV oznacza, że:
hψ1 | S |ψ1 i = hψ2 | S |ψ2 i = α,
hψ1 | S |ψ2 i = 0
W rozważanym przypadku wektory |ψ1 i i |ψ2 i należą do wzajemnie ortogonalnych podprzestrzeni
niezmienniczych operatorów T11 i T12 , zatem dla nich drugi warunek jest spełniony automatycznie.
Ostatecznie warunki Knilla-Laflamme’a można zapisać w postaci:

hψ | T |ψ i = hψ | T |ψ i = λ
1 11
1
2 11
2
11
hψ | T |ψ i = hψ | T |ψ i = λ
1 12
1
2 12
2
12
(104)
Wyliczając to w bazie |ϕ1 i , |ϕ2 i , |ϕ3 i , |ϕ4 i otrzymujemy natępujący układ równań:













h1 |a1 |2 + h2 |a2 |2
= λ11
h3 |a3 |2 + h4 |a4 |2
= λ11
|2
r11 |a1 + r22 |a2
|2


r33 cos φ|a3 |2 + r34 sin φa?3 a4 − r43 sin φa3 a?4 + r44 cos φ|a4 |2






|a1 |2 + |a2 |2




2
2
|a3 | + |a4 |
16
= λ12
= λ12
=
1
=
1
(105)
Z warunków normalizacji i pierwszych dwóch równań można obliczyć |a1 |2 i |a3 |2 :
|a1 |2 =
λ11 − h2
,
h1 − h2
|a2 |2 =
h1 − λ11
,
h1 − h2
|a3 |2 =
λ11 − h4
,
h3 − h4
|a4 |2 =
h3 − λ11
,
h3 − h4
(106)
Z trzeciego równania układu (105) otrzymujemy, że
λ12 =
λ11 − h2
(r11 − r22 ) + r22
h1 − h2
(107)
Z powyższych równań wynika, że λ11 oraz λ12 są rzeczywiste. Ponieważ r34 ­ 0, r43 ­ 0, z równania 4
układu (105) wynika, że a3 , a4 są rzeczywiste. Zapisując to równanie w równoważnej postaci otrzymuje
się:
r33 cos φ
λ11 − h4
h3 − λ11
λ11 − h2
+ a3 a4 (r34 − r43 ) sin φ + r44 cos φ
=
(r11 − r22 ) + r22
h3 − h4
h3 − h4
h1 − h2
(108)
Wprowadzamy oznaczenia:
p=
q = −h2
r44 − r33
r11 − r22
+ cos φ
= p(~h, φ)
h1 − h2
h3 − h4
(109)
r11 − r22
r33 h4 − r44 h3
+ r22 +
cos φ = q(~h, φ)
h1 − h2
h3 − h4
(110)
Równanie (108) przyjmuje postać:
a3 a4 (r34 − r43 ) sin φ = pλ11 + q
(111)
(0)
Z równań (106) można wyrazić a3 oraz a4 przez λ11 . Dla danego rozwiązania λ11 są dwa przypadki:
(0)
1. (pλ11 + q)(r34 − r43 ) sin φ ­ 0 - Wtedy a3 i a4 są tego samego znaku i przyjmujemy:
q
(0)
λ11
− h4
a3 =
,
|h3 − h4 |
q
(0)
h3 − λ11
a4 =
|h3 − h4 |
(112)
(0)
2. (pλ11 + q)(r34 − r43 ) sin φ < 0 - Wtedy a3 i a4 są różnych znaków i przyjmujemy:
q
(0)
λ11 − h4
a3 =
,
|h3 − h4 |
q
(0)
h3 − λ11
a4 = −
|h3 − h4 |
(113)
Dla r34 = r43 lub sin φ = 0 równanie (111) ma rozwiązanie
λ11 = −
q
p
(114)
Dla r34 6= r43 i sin φ 6= 0 oznaczamy
s=
r34 − r43
sin φ = s(~h, φ)
|h3 − h4 |
(115)
Podnosząc równanie (111) do kwadratu otrzymujemy
s2 (λ11 − h4 )(h3 − λ11 ) = (pλ11 + q)2
17
(116)
Λ11
0.1
Λ11
0.1
0.09
0.09
0.08
0.08
0.07
0.07
Φ
2Π
Π
2Π
Π
0.05
0.05
Rysunek 1: Współczynniki kompresji λ11 w zależności od kąta φ dla ~h = (1/26, 1/10, 1/17, 1/5) rysunek po lewej przedstawia rozwiązanie (117), po prawej (118). Poziome linie to wartości h2 i h3 . Z
wykresu mozna również odczytać przedziały dla których spełniony jest warunek (119)
Jest to równanie kwadratowe, które ma następujące rozwiązania:
(1)
λ11 (~h, φ)
(2)
λ11 (~h, φ)
=
=
−2pq − (h4 − h3 )s2 −
p
−2pq − (h4 − h3 )s2 +
p
(2pq + (h4 − h3 )s2 )2 − 4(p2 + s2 )(q 2 + s2 h3 h4 )
2(p2 + s2 )
(117)
(2pq + (h4 − h3 )s2 )2 − 4(p2 + s2 )(q 2 + s2 h3 h4 )
2(p2 + s2 )
(118)
Aby rozwiązanie istniało musi być spełniony warunek:
(2pq + (h4 − h3 )s2 )2 − 4(p2 + s2 )(q 2 + s2 h3 h4 ) ­ 0
(119)
Dodatkowo λ11 określona wzorami (117) lub (118) jest poprawnym rozwiązaniem problemu, jeżeli
spełnia warunek λ11 ∈ [h3 , h2 ] = Λ2 (T11 ). Dla danego ~h wzory (117) i (118) określają pewną funkcję
λ11 (φ). Rysunek 1 przedstawia rozwiązania w zależności od kąta φ.
(1,2)
Podsumowując, jeżeli f1,2 (φ) = λ11 (φ) określają funkcje parametru φ zadane (117) i (118) to
zbiór kątów dla których istnieje rozwiązanie problemu kodowania w postaci 103 jest równy:
f1−1 ([h3 , h2 ]) ∪ f2−1 ([h3 , h2 ])
(120)
Dla danego rozwiazania λ11 współczynniki a3 i a4 są określone warunkami (112) lub (113). Szukany
operator P2 ma postać:

a21

 a a
 1 2
PV = 
 0

0
a1 a2
0
a22
0
0
a23
0
a3 a4
0





a3 a4 

0
(121)
a24
Macierz kompresji jest postaci:

Λ=
λ11 −h2
h1 −h2 (r11
λ11
λ11 −h2
h1 −h2 (r11
− r22 ) + r22
18
− r22 ) + r22
1 − λ11


(122)
Φ
Λ12
Rysunek 2: Zakres numeryczny Λ1 (T12 ) macierzy T12 dla parametrów ~h = (1/26, 1/10, 1/17, 1/5) i
kąta φ = 0.1. Widać, że Λ1 (T12 ) jest otoczką wypukłą zbioru Λ1 (C2 ) ∪ {r1 } ∪ {r2 } na płaszczyźnie
zespolonej. Λ1 (C2 ) jest elipsą o ogniskach w punktach będących wartościami własnymi macierzy C2 .
Zakres numeryczny rzędu 2, Λ2 (T12 ) jest podzbiorem zbioru zaznaczonego na rysunku; macierz T12
nie jest normalna. Rysunek został wygenerowany za pomocą strony [12].
19
Zauważmy, że istnieje punkt ~h w przestrzeni parametrów dla którego rozwiązanie istnieje dla ciągłego zbioru kątów φ (rysunek 1). Ponieważ wyrażenia (117) i (118) są ciągłymi funkcjami parametrów
hi , istnieje otoczenie tego punktu w przestrzeni parametrów dla którego rozwiązania również istnieją
dla ciągłych przedziałów φ.
Rozważmy przypadek gdy h1 = h2 = h3 = h. Wtedy T11 = hI ⊕ diag(h, h4 ), T12 =
√
1 − hI ⊕ C2 i
rozważając operator rzutowy w postaci:
P2 = |ϕ1 i hϕ1 | + |ϕ2 i hϕ2 |
(123)
natychmiast otrzymujemy rozwiązanie problemu (układu 104):

Λ= p
h(1 − h)

1−h

p
h
h(1 − h)
(124)
W tej sytuacji podprzestrzeń Lin(|ϕ1 i , |ϕ2 i) jest podprzestrzenią odporną na dekoherencję (ang. decoherence free subscpace). Pojawia się pytanie czy w tym zdegenerowanym przypadku nie jest możliwe
rozszerzenie podprzestrzeni kodowej do 3 wymiarów. Rozważmy operator
P3 = |ϕ1 i hϕ1 | + |ϕ2 i hϕ2 | + |ψ2 i hψ2 |
gdzie |ψ2 i jest określony w równaniu 102. Wiadomo, że λ11 = h, λ12 =
(125)
p
h(1 − h) = r = r11 = r22 =
r33 . Dalej otrzymujemy:
hψ2 | T11 |ψ2 i = h ⇒ h4 |a4 |2 = h|a4 |2
(126)
Jeżeli h4 6= h to a4 = 0, a3 = 1. Dalej
hφ3 | T12 |φ3 i = r ⇒ cos φ =
r
=1
r33
(127)
i rozwiązanie istnieje tylko dla kątów skończonego zbioru kątów φ - macierze A1 , A2 , T11 , T12 stają się
diagonalne. Jeżeli h4 = h argument, że a3 i a4 muszą być rzeczywiste powoduje, że,
hψ2 | T12 |ψ2 i ⇒ r cos φ = r
(128)
zatem w tym przypadku również rozwiązanie istnieje tylko dla szczególnych kątów - macierze A1 , A2 ,
T11 , T12 są proporcjonalne do macierzy jednostkowej i problem staje się trywialny - żaden szum w
istocie nie występuje.
5
Podsumowanie
W niniejszej pracy przedstawiono teoretyczne aspekty kwantowej korekcji błędów oraz przykłady
znajdowania kodu dla konkretnego modelu szumu zadanego operacją kwantową w postaci Krausa.
Przykład z sekcji 4.2 zawiera oryginalną konstrukcję 2 wymiarowej podprzestrzeni kodowej dla
operacji kwantowej działającej w przestrzeni 4 wymiarowej (a zatem 1 kubit jest kodowany za pomocą
20
2 kubitów). Rozwiązywanie warunków Knilla-Laflamme’a jest bardziej złożone ze względu na to, że
zarówno operatory Krausa A1 , A2 jak i operatory A†1 A1 i A†1 A2 nie mają wspólnej bazy wektorów
własnych, zaś operator A†1 A2 nie jest normalny. Pokazano, że podprzestrzeni kodowej generalnie nie
da się rozszerzyć do 3 wymiarów nawet po przyjęciu dodatkowych założeń.
Punktem wyjścia do bardziej ogólnej analizy kanałów kwantowych pod kątem znajdowania podprzestrzeni kodowych i podprzestrzeni odpornych na dekoherencję może być praca [13]. W pracy tej
pokazano możliwości jakie daje zastosowanie twierdzenia Shemesha o wspólnych wektorach własnych
dwóch macierzy ([14]). Pozwala ono na znalezienie najmniejszej podprzestrzeni inwariantnej N dwóch
operatorów T11 , T12 , która zawiera wszystkie wspólne wektory własne tych operatorów. Wtedy jeżeli
istnieje przestrzeń kodu, to jest ona podprzestrzenią N i wystarczy ograniczyć się do badania operacji
kwantowej zawężonej do tej podprzestrzeni.
Literatura
[1] Man-Duen Choi, David W. Kribs, Karol Zyczkowski. Quantum Error Correcting Codes From The
Compression Formalism, Rep. Math. Phys., 58 (2006), 77-91.
[2] I. Bentgsson, K. Życzkowski, Geometry of Quantum States, Cambridge University Press, 2006.
[3] Ł. Skowronek, Quantum Entanglement and certain problems in mathematics, dostęne pod adresem
http://chaos.if.uj.edu.pl/ karol/prace/skowronek08.pdf
[4] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.
[5] C. H. Benett, D.P. DiVincenzo, J. A. Smolin and W. K. Wooters: Phys. Rev. A 54 (1996), 3824
[6] Emanuel Knill and Raymond Laflamme. A theory of quantum error correcting codes. Physical
Review A, 55:900-911, 1997
[7] Man-Duen Choi, David W. Kribs, Karol Życzkowski. Higher-Rank Numerical Ranges and Compression Problems, Lin. Alg. Appl., 418 (2006), 828-839.
[8] Man-Duen Choi, John A. Holbrook, David W. Kribs, Karol Życzkowski. Higher-Rank Numerical
Ranges of Unitary and Normal Matrices, Operators and Matrices 1, 409-426 (2007)
[9] Chi-Kwong Li, Nung-Sing Sze. Canonical forms, higher rank numerical range, convexity, totally
isotropic subspace, matrix equations, Proc. Amer. Math. Soc., 136:3013-3023. 2008
[10] Chi-Kwong Li, Yiu-Tung Poon, Nung-Sing Sze. Condition for the higher rank numerical range to
be non-empty, Linear and Multilinear Algebra, 57:365-368. 2009
[11] Krzysztof Majgier, Hans Maassen, Karol Życzkowski. Protected Subspaces in Quantum Information, Quantum Inf. Process. 9, 343-367 (2010)
[12] http://numericalshadow.org/numerical-range:calculate
21
[13] Andrzej Jamiołkowski, Int. J. Quantum Inform., 10, 1241007 (2012)
[14] D. Shemesh, Linear Alg. Appl. 62, 11, (1984)
22