Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Transkrypt
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej wykład z MATEMATYKI Technika Rolnicza i Leśna studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2010/2011 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka 1 Całki nieoznaczone 1.1 Funkcje pierwotne Definicja 1.1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy F ′ (x) = f (x) , dla każdego x ∈ (a, b). Uwaga 1.2. Funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie. 1 Przykład 1.3. Funkcje F1 (x) = 3−cos2 x i F2 (x) = 2− cos 2x są funkcjami pierwotnymi funkcji 2 f (x) = sin 2x. Twierdzenie 1.4 (o funkcjach pierwotnych). Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b), to ① funkcja G(x) = F (x) + C, C ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na (a, b), ② każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) można przedstawić w postaci F (x)+D, gdzie D jest pewną stałą rzeczywistą. Twierdzenie 1.5 (warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym przedziale, to ma na tym przedziale funkcję pierwotną. Uwaga 1.6. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Na przykład funkcje pierwotne funkcji 2 e−x , √ sin x √ 1 , 1 + x3 , cos x2 , , x sin x x ln x nie są funkcjami elementarnymi 1 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.2 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Całki nieoznaczone Definicja 1.7. Całką nieoznaczoną z funkcji f na przedziale (a, b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f . Oznaczamy : Z f (x)dx = F (x) + C y y = F (x) + C4 y = F (x) + C3 całka nieoznaczona funkcji f y = F (x) + C2 y = F (x) + C1 y = F (x) x Z definicji wynika, że: Z 1.2.1 ′ f (x)dx f ′ (x)dx = f (x) + C. Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych Z 0dx = C = const , dla x ∈ R. Z xα dx = Z 1 dx = ln |x| + C , dla x ∈ R \ {0}. x Z sin xdx = − cos x + C , dla x ∈ R. Z cos xdx = sin x + C , dla x ∈ R. Z 1 π dx = tg x + C , dla x = 6 + kπ, k ∈ Z. cos2 x 2 Z 1 dx = − ctg x + C , dla x 6= kπ, k ∈ Z. sin2 x Z ex dx = ex + C , dla x ∈ R. Z ax dx = α. = f (x), Z Z dx = x + C , dla x ∈ R. xα+1 + C , dla α ∈ R \ {−1}, zakres zmiennej x jest ustalony w zależności od α+1 ax + C , dla 0 < a 6= 1, x ∈ R. ln a 2 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.3 MATEMATYKA - wykład Z 1 dx = arc tg x + C , dla x ∈ R. 1 + x2 Z √ Katedra Matematyki 1 dx = arc sin x + C , dla x ∈ (−1, 1). 1 − x2 Twierdzenia o całkach nieoznaczonych Twierdzenie 1.8 (o liniowości całki nieoznaczonej). Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to: Z (f (x) + g(x))dx = Z f (x)dx + Z g(x)dx . Z (f (x) − g(x))dx = Z f (x)dx − Z g(x)dx . Z Z [c · f (x)] dx = c · f (x)dx . Przykład 1.9. Z Z (x − 2ex )dx = .... x2 − x + 1 √ dx = ..... x Twierdzenie 1.10 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale, to Z ′ f (x) · g (x)dx = f (x) · g(x) − Przykład 1.11. Z (x · ex )dx = .... Z x2 · sin xdx = ..... Z x dx = ..... cos2 x 3 Z f ′ (x) · g(x)dx . Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 MATEMATYKA - wykład Twierdzenie 1.12 (o całkowaniu przez podstawienie). Jeżeli ① funkcja f : I → R jest ciągła na przedziale I ② g : J → I ma ciągłą pochodną na przedziale J , to Z Z f (x)dx = f (g(t))g ′(t)dt . Przykład 1.13. Z (2x − 5)7 dx = .... Z √ x 4 − x2 dx = ..... Jeżeli f (x)dx = F (x) + C , to (x) dx = ln |f (x)| + C . ff (x) ff(x)(x) dx = 2 f (x) + C . Z Z Z Z 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + C . a ′ ′ q q 4 Katedra Matematyki Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.4 MATEMATYKA - wykład Katedra Matematyki Całkowanie funkcji wymiernych Definicja 1.14. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x) = P (x) , Q(x) gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP < stQ, to mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze Dw = R \ {x : Q(x) = 0} . Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia x2 , x+1 x3 + 7x2 − 8 . x7 + 1 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.: x2 + 2x − 2 x2 + x + x + 1 − 3 x(x + 1) + (x + 1) − 3 3 = = =x+1− . x+1 x+1 x+1 x+1 1.4.1 Ułamki proste Każdą funkcję wymierną właściwą można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych ułamkami prostymi. Definicja 1.15. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci A , gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N. (x − a)n Definicja 1.16. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci (x2 Ax + B , + px + q)n gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 −4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny). 5 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.4.2 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste P (x) będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą. Załóżmy, że miaQ(x) nownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne: Niech w(x) = Q(x) = an (x − x1 )k1 · · ·(x − xr )kr · x2 + p1 x + q1 l1 · · · x2 + ps x + qs ls . Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju. W rozkładzie tym każdemu czynnikowi (x − xi )ki , i = 1, . . . , r odpowiada suma ki rzeczywistych ułamków prostych postaci Ai1 Aiki Aik2 , + 2 +···+ x − xi (x − xi ) (x − xi )ki l natomiast każdemu czynnikowi (x2 + pj x + qj ) j , ułamków prostych drugiego rodzaju postaci j = 1, . . . , s odpowiada suma lj rzeczywistych Bjlj x + Cjlj Bj1 x + Cj1 Bj2 x + Cj2 + 2 . 2 +···+ 2 2 x + pj x + qj (x + pj x + qj ) (x + pj x + qj )lj A11 A1k1 Ar1 Arkr +···+ +···+ + k1 + · · · + x − x1 x − xr (x − x1 ) (x − xr )kr B11 x + C11 B1l1 x + C1l1 Bs1 x + Cs1 Bsls x + Csls + 2 +···+ + 2 +···+ . l 1 x + p1 x + q1 x + ps x + qs (x2 + p1 x + q1 ) (x2 + ps x + qs )ls Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników. w(x) = Przykład 1.17. Rozkład funkcji wymiernej postaci 1 (x − 3)3 (x + 2) na ułamki proste jest następujący: A B C D 1 = + + + (x − 3)3 (x + 2) x − 3 (x − 3)2 (x − 3)3 x + 2 Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2. Przykład 1.18. Rozkład funkcji 1 x (x2 + x + 2)2 na ułamki proste jest następujący: 1 A Bx + C Dx + E + 2 + 2 2 = 2 x x + x + 2 (x + x + 2)2 x (x + x + 2) Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x2 + x + 2. 6 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.4.3 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x + a = t i otrzymujemy: Z A dx = A ln |x + a| + C . x+a Z 1.4.4 A −A dx = + C , n > 2. n (x + a) (n − 1)(x + a)n−1 Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w następujący sposób: Z dx Gdy B = 0 – obliczamy całkę : 2 (x + px + q)n p 2 p2 − 4q 2 − i stosujemy podSprowadzamy trójmian x + px + q do postaci kanonicznej x + 2 4 s p 4q − p2 stawienie x + = · t. 2 4 Z dt = arc tg t + C : Dla n = 1 korzystamy ze wzoru t2 + 1 Z Z dt t 2n − 3 dt Dla n > 2 = + +C . 2 n 2 n−1 2 (t + 1) (2n − 2)(t + 1) 2n − 2 (t + 1)n−1 Gdy B 6= 0 – licznik zapisujemy w postaci Bx+C = P (2x+p)+Q, gdzie P i Q są odpowiednio dobranymi stałymi, po czym całkę zapisujemy następująco: Z Bx + C dx = P 2 (x + px + q)n Z 2x + p dx + Q 2 (x + px + q)n i do całki Z (x2 2x + p dx + px + q)n stosujemy podstawienie t = x2 + px + q. 7 Z (x2 dx + px + q)n Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 1.5 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Całkowanie funkcji trygonometrycznych Do obliczania całek postaci sinn x, cosm x , gdzie n, m ∈ N stosujemy podstawienia ① n = 2l + 1. Wykorzystujemy tożsamość sin2 x = 1 − cos2 x. Wówczas l sin2l+1 x = 1 − cos2 x sin x i podstawiamy cos x = t . ② m = 2k + 1. Wykorzystujemy tożsamość cos2 x = 1 − sin2 x. Wówczas l cos2k+1 x = 1 − sin2 x cos x i podstawiamy sin x = t . ③ n, m – parzyste. Wykorzystujemy tożsamości sin2 x = Przykład 1.19. Z Z 1 1 (1 − cos 2x) i cos2 x = (1 + cos 2x). 2 2 sin2 xdx = .... sin3 xdx = ..... Do obliczania całek postaci sin ax cos bx , sin ax cos bx = sin ax sin bx , cos ax cos bx stosujemy tożsamości 1 [sin(a + b)x + sin(a − b)x] . 2 1 [cos(a − b)x − cos(a + b)x] . 2 1 cos ax cos bx = [cos(a + b)x + cos(a − b)x] . 2 sin ax sin bx = Przykład 1.20. Z Z sin 2x cos 4xdx = .... sin x sin 3xdx = ..... 8 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 2 2.1 2.1.1 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Całki oznaczone Podstawowe pojęcia Podział P przedziału ha, bi Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale ha, bi. x∗ 1 x∗ 2 a = x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 Podział P przedziału ha, bi: x∗ k x∗ 3 x3 xk−1 xk ... ∆x3 ∆xk x∗ n . . . xn−1 xn = b ∆xn a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b . Długość k-tego podprzedziału: ∆xk = xk − xk−1 . Średnica podziału P (długość najdłuższego podprzedziału): δ(P) = max xk . 16k6n Punkt pośredni podziału (dowolny punkt z k-tego podprzedziału): 2.1.2 x∗k , x∗k ∈ hxk−1 , xk i . Suma całkowa Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale ha, bi oraz niech P będzie podziałem tego przedef działu, a A = {x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n } zbiorem punktów pośrednich. Definicja 2.1 (suma całkowa). Suma całkową z funkcji f na przedziale ha, bi odpowiadającą podziałowi P i punktom pośrednim A nazywamy liczbę n X k=1 2.1.3 f (x∗k ) · ∆xk . Interpretacja geometryczna sumy całkowej Jeżeli funkcja f przyjmuje wartości nieujemne na przedziale ha, bi, to suma całkowa jest przybliżeniem pola trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f , osią OX i prostymi x = a, x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach ∆xk i wysokościach f (x∗k ), gdzie 1 6 k 6 n. 9 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład y y = f (x) ∗ (x∗ 3 , f (x3 )) x∗ 1 x∗ 2 x∗ 3 a = x0 x1 x2 x∗ 4 x3 x∗ 5 x4 y x∗ 6 x5 x6 = b y y = f (x) a = x0 xn = b y = f (x) x n = 18 a = x0 y xn = b x n = 30 y y = f (x) a = x0 x xn = b y = f (x) x n = 60 10 a = x0 xn = b n = 100 x Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 2.2 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Całka oznaczona Riemanna Definicja 2.2. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale ha, bi. Całką oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale ha, bi nazywamy liczbę, którą oznaczmy symbolem Zb f (x)dx i definiujemy wzorem: a Zb def f (x)dx = lim δ(P)→0 a n X k=1 f (x∗k ) · ∆xk , o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P przedziału ha, bi ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x∗k , gdzie 1 6 k 6 n. Za Przyjmujemy: Za def f (x)dx = 0 , a 2.2.1 b def f (x)dx = − Zb f (x)dx , dla a < b. a Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale ha, bi. Wówczas Zb f (x)dx jest równa a polu figury ograniczonej wykresem funkcji f , osią OX oraz prostymi x = a i x = b. D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ f (x) 6 y 6 0} D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ 0 6 y 6 f (x)} y y y = f (x) Zb a b a Z a f (x)dx = −|D| f (x)dx = |D| a b y = f (x) x Twierdzenie 2.3 (Newtona-Leibniza). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi, to Zb a b f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a) , a gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale. Przykład 2.4. Z1 b (x3 + 1)dx = .... 0 11 x Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 Z2 MATEMATYKA - wykład Katedra Matematyki e−x dx = ..... −1 Twierdzenie 2.5 (własności całki oznaczonej). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale ha, bi, to: Zb a Zb a Zb Zb Zb Zb Zb a a (f (x) + g(x))dx = (f (x) − g(x))dx = [c · f (x)] dx = c · Z1 Przykład 2.6. 0 a Zb a f (x)dx + g(x)dx . g(x)dx . a f (x)dx − a f (x)dx , c ∈ R. (2x − 3ex )dx = .... Twierdzenie 2.7 (o addytywności całki względem przedziałów całkowania). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi oraz c ∈ ha, bi, to Zb f (x)dx = a Przykład 2.8. Z1 −1 Zc f (x)dx + a Zb f (x)dx . c |x|dx = .... Twierdzenie 2.9 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale ha, bi, to Zb a Przykład 2.10. Zln 3 Zπ 0 0 ′ f (x) · g (x)dx = b f (x) · g(x) a x · e−x dx = .... x · sin xdx = ..... 12 − Zb a f ′ (x) · g(x)dx . Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 Ze Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład ln2 xdx = ..... 1 Twierdzenie 2.11 (o całkowaniu przez podstawienie). Jeżeli ① funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi na ② ϕ : hα, βi → ha, bi ma ciągłą pochodną na przedziale hα, βi, ③ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, to Zb f (x)dx = a Przykład 2.12. 2.3 Z2 Z1 Zβ f (ϕ(t))ϕ′ (t)dt . α √ x 1 + xdx = .... 0 2 xex dx = ..... 0 Wartość średnia funkcji Definicja 2.13. Wartością średnią funkcji f na przedziale ha, bi nazywamy liczbę 1 fśr = b−a def Zb f (x)dx . a Uwaga 2.14. Wartość średnia funkcji f na przedziale ha, bi jest wysokością prostokąta o podstawie długości b−a, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b. y y = f (x) fśr a b x Przykład 2.15. Poziom wody w zbiorniku wyraża się (w metrach) wzorem przybliżonym h(t) = πt 10 + 2 sin , gdzie 0 6 t 6 24 oznacz czas liczony w godzinach. Oblicz średni poziom wody w 24 tym zbiorniku w czasie doby. 13 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład Twierdzenie 2.16. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi, to w tym obszarze istnieje punkt c ∈ (a, b), taki że fśr = f (c) , tzn. 2.4 Zb a f (x)dx = (b − a)f (c). Funkcja górnej granicy całkowania Definicja 2.17. Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale ha, bi oraz niech c ∈ ha, bi. Funkcję F (x) = Zx f (t)dt , c gdzie x ∈ ha, bi, nazywamy funkcją górnej granicy całkowania. Twierdzenie 2.18. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi, to funkcja górnej granicy całkowania F (x) = Zx c 2.4.1 f (t)dt, gdzie x ∈ ha, bi, jest ciągła na ha, bi. Interpretacja geometryczna funkcji górnej granicy całkowania y y = f (x) F (x) = =pole a c x b x Uwaga 2.19. Zauważmy, że F (c) = 0. Twierdzenie 2.20. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi oraz jest ciągła w punkcie x0 ∈ ha, bi, to funkcja górnej granicy całkowania F (x) = właściwą w punkcie x0 oraz F ′ (x0 ) = f (x0 ) . 14 Zx c f (t)dt, gdzie x ∈ ha, bi, ma pochodną Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 2.5 MATEMATYKA - wykład Katedra Matematyki Zastosowania geometryczne całek oznaczonych Pole trapezu krzywoliniowego Niech funkcje f oraz g będą ciągłe na przedziale ha, bi oraz niech f (x) 6 g(x) dla każdego x ∈ ha, bi. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x = a, x = b wyraża sie wzorem: |D| = Zb a [g(x) − f (x)]dx . y y = g(x) D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ f (x) 6 y 6 g(x)} |D| a y = f (x) b x Niech funkcje p oraz q będą ciągłe na przedziale hc, di oraz niech p(y) 6 q(y) dla każdego y ∈ hc, di. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji p i q oraz prostymi y = c, y = d wyraża sie wzorem: |D| = Zd c [q(y) − p(y)]dy . y d x = p(y) x = q(y) |D| D = {(x, y) : c 6 y 6 d ∧ p(y) 6 x 6 q(y)} c x Długość łuku krzywej Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale ha, bi. Wtedy długość łuku krzywej Γ = {(x, f (x)) : x ∈ ha, bi} wyraża sie wzorem: |Γ| = 15 Rb q a 1 + [f ′ (x)]2 dx . Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 Katedra Matematyki MATEMATYKA - wykład y y = f (x) Γ Γ = {(x, f (x)) : x ∈ ha, bi} a Objętość bryły obrotowej x b Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale ha, bi. Niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu T wokół osi OX wyraża sie wzorem: |V | = π Zb [f (x)]2 dx . a y y = f (x) a b x Pole powierzchni obrotowej Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale ha, bi. Wtedy pole powierzchni Σ powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyraża sie wzorem: |Σ| = 2π Zb a q f (x) 1 + [f ′ (x)]2 dx . y y = f (x) a b 16 x Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 3 MATEMATYKA - wykład Katedra Matematyki Całki niewłaściwe 3.1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Definicja 3.1. Niech funkcja f : ha, +∞) → R będzie całkowalna na przedziałach ha, T i dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale ha, +∞i definiujemy wzorem: +∞ Z ZT def f (x)dx = lim T →+∞ a f (x)dx . a Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa Zb −∞ f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Definicja 3.2. Niech funkcja f : (−∞, bi → R będzie całkowalna na przedziałach hS, bi dla każdego S < b. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞, bi definiujemy wzorem: Zb Zb def f (x)dx = lim S→−∞ −∞ f (x)dx . S Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa +∞ Z a f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Definicja 3.3. Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach hS, T i dla S, T , takich że −∞ < S < T < +∞. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞, +∞i definiujemy wzorem: +∞ Z def f (x)dx = −∞ Za f (x)dx + +∞ Z a −∞ f (x)dx , gdzie a ∈ R. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka +∞ Z f (x)dx −∞ jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do −∞ lub +∞, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do −∞ lub +∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna do −∞ lub +∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna. 17 Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne sem I, 2010/2011 3.2 MATEMATYKA - wykład Katedra Matematyki Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Definicja 3.4. Niech funkcja f : (a, bi → R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na przedziałach ha + ε, bi dla każdego 0 < ε < b − a. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, bi definiujemy wzorem: Zb def f (x)dx = lim+ ε→0 a Zb f (x)dx . a+ε Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa Zb a f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Definicja 3.5. Niech funkcja f : ha, b) → R będzie nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna na przedziałach ha, b − εi dla każdego 0 < ε < b − a. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale ha, b) definiujemy wzorem: Zb def f (x)dx = lim+ ε→0 a b−ε Z f (x)dx . a Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa Zb a f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Definicja 3.6. Niech funkcja f : ha, bi \ {c} → R, gdzie c ∈ (a, b), będzie nieograniczona na obustronnych sąsiedztwach punktu c oraz całkowalna na przedziałach ha, c − εi, hc + ε, bi dla każdego 0 < ε < m Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale ha, bi definiujemy wzorem: Zb a def f (x)dx = Zc f (x)dx + a Zb f (x)dx . c Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka Zb a f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do −∞ lub +∞, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do −∞ lub +∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna do −∞ lub +∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna. 18