lista 12 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne
Transkrypt
lista 12 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne
Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich Lista zadań nr 12 – spotkanie w dniu 23.02.2008. Gry matematyczne 1. Na polu A1 szachownicy 8 × 8 stoi król. W każdym ruchu można przesunąć króla o jedno pole do góry, o jedno pole w prawo, lub o jedno pole po przekątnej – w prawo i do góry. Przegrywa ten z graczy, który doprowadzi króla na pozycję H8. Który z graczy (rozpoczynający czy jego przeciwnik) ma strategię wygrywającą i jaka to strategia? 2. Hetman (królowa) stoi na pozycji C1 szachownicy 8 × 8. W jednym ruchu można go przesunąć w prawo, do góry, lub po przekątnej w prawo do góry o dowolną ilość pól. Wygrywa ten, kto doprowadzi hetmana do pozycji H8. Czy dla rozpoczynającego grę istnieje strategia wygrywająca, a jeśli tak, to jaka? 3. Dwaj gracze startują od liczby 0, dodając na przemian do otrzymanej liczby 1 lub 2. Wygrywa ten, kto pierwszy otrzyma liczbę 20. Dla którego z graczy (rozpoczynającego czy jego przeciwnika) istnieje strategia wygrywająca i jaka to strategia? 4. Do pudełka włóżono 105 żetonów. W każdym ruchu gracz może wziąć z niego √ nie więcej niż n żetonów, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wygrywa ten, który opróżni pudełko. Dla którego z graczy (rozpoczynającego czy jego przeciwnika) istnieje strategia wygrywająca i jaka to strategia? 5. II Mistrzostwa Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, 2003/2004 (Zad. dom.) Gra w żetony. Do trzech pudełek włożono 309 żetonów: do pudełka A włożono 101, do pudełka B – 103, a pozostałe do pudełka C. W grze bierze udział dwóch graczy, którzy wykonują ruchy na przemian. Każdy może wybrać niepuste √ pudełko i, jeśli zawiera ono n żetonów, to może wyjąć z niego nie więcej niż n żetonów, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wyjęte żetony nie biorą udziału w dalszej grze. Wygrywa ten gracz, który jako pierwszy opróżni jedno z pudełek. Czy gracz wykonujący pierwszy ruch ma strategię wygrywającą? 6. Dwóch graczy na przemian układa na okrągłym stole monety 1-złotowe – na wolnym w danej chwili miejscu, bez możliwości przesuwania wcześniej położonych monet. Przegra gracz, który z braku wolnego miejsca na stole nie może położyć kolejnej monety. Jak powinien postępować pierwszy z graczy, aby zapewnić sobie wygraną? 7. Liczby naturalne od 1 do 10 wypisano kolejno w jednym wierszu. Dwaj gracze na przemian wpisują pomiędzy te liczby (a także przed pierwszą z nich) znaki „+” lub „-”. Gra kończy się, gdy przed każdą z dziesięciu liczb występuje znak „+” lub „-”. Wygrywa rozpoczynający, gdy po zakończeniu gry i wykonaniu wszystkich działań otrzymana liczba jest nieparzysta, a drugi z graczy, gdy ta liczba jest parzysta. Jak powinien grać rozpoczynający, żeby wygrać?