Logika pojmowania schematów zdań

XIX Konferencja Zastosowań Logiki - Szklarska Poręba 8.05.2014
Pamięci Profesora Andrzeja Grzegorczyka
Logika pojmowania
schematów zdań
Edward Bryniarski
Uniwersytet Opolski
Instytut Matematyki i Informatyki
e-mail: [email protected]
Jak pojmować to o czym się myśli,
aby można było myśleć logicznie?
Motywacja
• Profesor Andrzej Grzegorczyk, w 2011 roku, powrócił do swojej
koncepcji logiki intuicjonistycznej zdań z 1967 r. ([1] Andrzej
Grzegorczyk, Nieklasyczne rachunki zdań a metodologiczne
schematy badania naukowego i definicje pojęć asertywnych,
Studia Logica, Tom XX 1967, s. 117-130.)
• Zgodnie z tą koncepcją dążył on do znalezienia takiego
sformułowania podstaw logiki, które byłyby wolne od paradoksów
formalnej implikacji.
• Ważny był jeden ze znanych paradoksów stwierdzający, że spośród
trzech dowolnych zdań, dwa zdania są równoważne.
• Formuła (p  q)  (p  r)  (q  r) jest tautologią.
• Andrzej Grzegorczyk proponuje by na nowo scharakteryzować nie
tylko implikację, ale i równoważność, a dokładniej nową, inną
implikację i inną relację równego znaczenia  .
Motywacja
• Swoim współpracownikom powiedział, że
naszym celem jest opisanie relacji równego
znaczenia przez przyjęcie odpowiednio dobranych
aksjomatów ([2] Andrzej Sawicki, Czego informatycy nauczyli
się od Andrzeja Grzegorczyka, Studie in Logic, Grammar and
Rhetoric 27 (40) 2012, s. 169-185; cyt. s. 182).
• Zaproponował do rozważań układ kilku reguł wnioskowania i
kilkunastu aksjomatów, a dyskusja dotyczyła doboru
aksjomatów, ich niesprzeczności, pełności i rozstrzygalności
nowej teorii.
• Takim systemem logicznym, nad którym dyskutowano,
przedstawionym mi przez Profesora Grzegorczyka w listach
poczty elektronicznej (cytuję e-mail: 2011-12-29 13:41), była
teoria formalna rachunku zdań, zwana przez niego logiką
opisową LD.
Motywacja
Logika opisowa
ZMIENNE: p, q, r, s,…, (oznaczają dowolne zdania opisowe).
TERMINY PIERWOTNE:     (równoznaczność {vel.
równoważność opisowa}, negacja, alternatywa, koniunkcja)
Formułami opisowymi LD są:
1. zmienne,
2. jeśli A, B są formułami opisowymi, to A, A  B, A  B są
formułami opisowymi.
Formuły logiki LD:
1. Formuły opisowe
2. Jeśli A, B są formułami opisowymi, to A  B jest formułą logiki LD,
3. Jeśli A, B są formułami LD, to A  B jest formułą logiki LD.
Motywacja
Logika opisowa
REGUŁY DEDUKCJI:
•Podstawianie (za zmienne podstawia się tylko formuły opisowe);
•Odrywanie dla  (czyli uznając A oraz AB, mamy prawo
uznać B za tezę LD) ;
•Łączenia w koniunkcję: (czyli uznając A oraz B , mamy prawo
uznać AB za tezę LD);
•Odrywania od koniunkcji: (czyli uznając koniunkcję AB , mamy
prawo uznać B za tezę LD).
Motywacja
Logika opisowa
AKSJOMATY:
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax 1 - Ax 18.
1. p  p
2. (p  q)(q  p)
3. (p  q)((p  r)(q  r))
4. (p  q) p  q)
5. (p  q)((p  q)((p  r)(q  r)))
6. (p  q)((p  q) (p  r)(q  r)))
7. (p  q)  (q  p)
8. p(q  r))((p  q) r)
9. p  (p  p)
10. (p  q)  (q  p)
11. (p  (q  r))  ((p  q)  r)
Motywacja
Logika opisowa
Ax 11.
Ax12.
Ax 13.
Ax 14.
Ax 15.
Ax 16.
Ax 17.
Ax 18.
(p  (q  r)) 
p  (p  p)
(p  (q  r)) 
(p  (q  r)) 
(p  q )  (p
(p  q )  (p
(p )  p
( p  p )
((p  q)  r)
((p  q)(p  r))
((p  q)  (p  r))
 q)
 q)
Motywacja
Dyskusja nad koncepcją logiki opisowej
• Formuła (p  q)  (p  r)  (q  r) nie jest tezą w logice LD , tj.
pomijany jest wspomniany paradoks dla równoważności. Trudno
się jednak zgodzić z tym, że ta teoria opisuje, w zgodzie z intuicją,
relację równego znaczenia dla zdań budowanych ze zdań
opisowych.
• W różnych pracach profesora Grzegorczyka, zdania opisowe są
pozyskane w procesie pojmowania: poznawania, badania,
doświadczania, zrozumienia, podczas którego zdaniami opisowymi
są dowolne teksty języka, przypisujące pewnym przedmiotom
pewne cechy i własności, a zdaniami złożonymi są teksty języka
reprezentujące wiedzę o tych przedmiotach za pomocą ciągów
zdań opisowych.
• Zdanie postaci A  B nie opisuje tych przedmiotów, ale opisuje
własność zdań A, B, w tym sensie, należy więc do metajęzyka.
Motywacja
Z tego powodu przypuszczam, że Pan naprawdę
myśli o jakimś innym systemie formalnym, niż
ja.
Przypuszczam, że Pana system formalny
jest interesujący. Ale trzeba go dokładnie
opisać. Albo Pana rozważania należą w ogóle
do innej dziedziny logiki. Ale musi je Pan
zaprezentować formalnie i czytelnie bardziej
starannie. Na razie nie potrafię określić
związku Pana myślenia ze swoim myśleniem. Ale
wydaje mi się, że ma Pan coś ważnego do
powiedzenia i warto to przedstawić
szczegółowo i starannie.
Pozdrawiam Andrzej Grzegorczyk
(e-mail: 2011-12-29 13:41)
Metoda pojmowania
schematów zdań
Według Grzegorczyka ([1], s. 120)
… wiedza jest sprowadzona do zdań opisowych i
rozwój wiedzy polega przede wszystkim na
powiększaniu się zasobu zdań opisowych. Zdania te
z formalnego punktu widzenia mają postać zdań
atomicznych: P11(a), P12(b), …, P21(a,b), …,
P31(a,b,c),… itd. Składają się one z predykatu i
nazw jednostkowych, desygnatom których
przypisujemy dany predykat.
•„formalny punkt widzenia” na pojmowanie zdań, w ujęciu
A.Grzegorczyka, jest pewną wiedzą logiczną o tych zdaniach.
•Formalnie, wiedza ta wyrażana jest za pomocą ciągów zdań
atomicznych (ciągów schematów zdań opisowych).
•Z tego powodu, te ciągi zdań atomicznych nazywa się dalej
układami pojmowania.
Metoda pojmowania schematów zdań
Język teorii
Zmienne:
, , , , … - dowolne układy pojmowania,
p, q, r, s, …, p1, p2, … - zmienne zdaniowe oznaczające zdania atomiczne,
, , , , … - zmienne oznaczające schematy dowolnych zdań.
Stałe:
1, 2, 3, … - schematy ustalonych zdań opisowych, oznaczające zadania
atomiczne,
p0, q0, r0, s0, w0, … - zmienne oznaczające ustalone na czas rozważań
schematy zdań opisowych,
0, 0, 0, 0, 0, … - zmienne oznaczające ustalone na czas rozważań
schematy zdań,
 - relacja pojmowania schematów zdań oraz układów pojmowania za
pomocą układów pojmowania,
, , , , , ,  - funktory zdaniotwórcze dla języka przedmiotowego
i dla metajęzyka: negacja, koniunkcja, alternatywa, implikacja,
równoważność, kwantyfikator generalny, kwantyfikator egzystencjalny.
Inne symbole pomocnicze.
Metoda pojmowania schematów zdań
Język teorii i reguły wnioskowania
Zbiór Form wszystkich schematów zdań określony jest
następująco:
1.Formuły ze zbioru Atom = {1, 2, 3, …} należą do Form.
2.Zmienne zdaniowe należą do Form.
3.Dla dowolnych , , do Form należą: ,   ,   ,   ,
  .
Wyrażenia poprawnie zbudowane, buduje się standardowo.
Reguły wnioskowania i formalny opis dowodów zgodny jest z
metodą Borkowskiego-Słupeckiego dowodów założeniowych.
Zapis dowodów, ze względu na możliwą jego dużą złożoność, jest
uproszczony – nie odwołuje się do reguł wnioskowania i reguł
tworzenia dowodów, przyjmując je jako intuicyjne.
Metoda pojmowania schematów zdań
Struktura pojmowania
Metodę pojmowania schematów zdań będzie się utożsamiać ze strukturą
Met = <B, , B0, Met, Form, Atom>, gdzie
•B jest zbiorem wszystkich stosowanych w metodzie pojmowania układów
pojmowania,  jest relacją pojmowania za pomocą układów pojmowania,
tj. zawieraniem się układu pojmowania i pojmowaniem formuł za pomocą
ciągów zdań atomicznych,
•B0 jest niepustym zbiorem wyróżnionych, a intuicyjnie, zachodzących
układów pojmowania,
•Met jest funkcją Met: B  (B), zwaną drogą pojmowania, taką że dla
B, struktura < Met(), > jest łańcuchem, do którego należy .
•Form jest zbiorem zdań atomicznych należących do ciągów układów
pojmowania lub schematów zdań złożonych: negacji, koniunkcji,
alternatywy, implikacji i równoważności,
•Atom jest zbiorem zdań atomicznych .
•Schematy zdań nazywane są też dalej formułami.
Metoda pojmowania schematów zdań
Struktura pojmowania
Dowolne zadnie atomiczne, należące do zachodzącego układu
pojmowania, nazywane jest zadaniem atomicznym zachodzącym
w sensie pojmowania. Zmienną oznaczającą zachodzące zdanie
atomiczne nazywa się zmienną zdaniową zachodzącą w sensie
pojmowania.
Wyrażenie postaci „zdanie atomiczne p należy do układu
pojmowania ” zapisuje się przez p  .
p   = <p1, p2, …, pn>  k{1,2,…,n}(p = pk).
Pojmowanie zdania atomicznego i schematów zdań
złożonych, przy ustalonej metodzie pojmowania
Struktura Met będzie zwana metodą pojmowania dopiero gdy:
Met0. Met(),
Met1. Met()  Met(),
Met2. (p   B0) (Met()(  ) Met()(  )) 
{B:p   Met()(p)} = B.
Wtedy, dla dowolnej metody pojmowania Met, dowolnego układu
pojmowania B, zachodzącego układu  oraz zmiennej zdaniowej
pAtom, formuł , Form złożonych zdań, będą spełnione warunki:
Met3.   p  p  ,
Met4.     Met() (  ),
Met5.      Met()(   ),
Met6.   (  )  Met()(      ),
Met7.   (  )  Met()(      ),
Met8.   (  )  Met()(      ),
Met9.   (  )  Met()(      ),
Przykłady metody pojmowania
Przykład 1.
Ustalmy Met = <B, , B0, Met, Form, Atom> następująco:
Atom = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … , n},
B = {’},
’ = <1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … , n >,
B0 = {’},
Met(’) = {’}.
Warunki Met1 i Met2 są w sposób trywialny spełnione.
Warunek Met2 :
1. p   B0
(zał.)
2. p’=<1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … , n >
3. B=B0={’}
4. B (p)
(2,3)
5. {B: p   Met()(p} = B
(5)
Met2.
(15)
Zatem przykładowo ustalona struktura Met jest struktura pojmowania.
Przykład 2.
Ustalmy Met = <B, , B0, Met, Form, Atom> następująco:
Atom = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {’, ’, ’, ’},
’ = <1, 2 >, ’ = <1, 2 , 3, 4>, ’ = <1, 2 , 3, 4, 5>,
’ = <1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>,
B0 = {’},
Met(’) = {’, ’, ’}, Met(’) = {’, ’}, Met(’) = {’, ’, ’}, Met(’) = {’, ’}.
Warunek Met0:
’Met(’) ’Met(’), ’Met(’)  ’Met(’),
Warunek Met1 :
’Met(’) ’Met(’), ’Met(’)  ’Met(’),
’Met(’)  ’Met(’).
Warunek Met2 :
1. p   B0
(zał.)
2. p’=<1, 2 >
(1)
3. ’ ’  ’ ’  ’ ’
4. B (p)
(2, 3)
5. {B: p   Met()(p} = B
(4)
6. Met2.
(15)
Zatem przykładowo ustalona struktura Met jest struktura pojmowania.
Twierdzenia teorii pojmowania
schematów zdań
Twierdzenie 1.
  ()    
Twierdzenie 2.
  (  )        
Twierdzenie 3.
  (  (  ))    ((  )  )
Twierdzenie 4.
  (  )  (      )
Twierdzenie 5.
  (  (  ))    ((  )  )
Twierdzenie 6.
  (  )    (  )
Twierdzenie 7.
       
Twierdzenie 8.
  (  )    (  )
Twierdzenie 9.
  (  (  ))    ((  )  (  ))
Stwierdzenie 1.
    (      )
Twierdzenie 10.
  (  (  ))    ((  )  (  ))
Stwierdzenie 2.
1.   (  )  (      )
2.   (  )  (      )
Relacja pojmowania schematów zdań
Definicja
Relację  równości znaczeniowej (równoważności opisowej), zwaną dalej
relacją pojmowania, dla metody Met = <B, , B0, Met, Form, Atom>
pojmowania można teraz zdefiniować jak następuje:
    {B:   } = {B :   }.
O formułach  , , dla których zachodzi   , mówimy, że są jednakowo
pojmowane, a wyrażenie    można też czytać:  jest pojmowane jak .
Wprowadźmy oznaczenia:
1 =df (1  2  …  i  …  n), Atom={ 1 , 2 ,… , i ,… , n}.
0 =df (1  2  …  i  …  n).
Formułę 1 nazywamy schematem zdania prawdziwego.
Formułę 0 nazywamy schematem zdania fałszywego.
  1 czytamy:  jest pojmowana jako prawdziwa (lub  jest pojmowana
jak schemat zdania prawdziwego).
  0 czytamy:  jest pojmowana jako fałszywa (lub  jest pojmowana
jak schemat zdania fałszywego).
Relacja pojmowania schematów zdań
Twierdzenie 13.
a.   1  {B:   } = B,
b. {B:   0} = 
c.   0  {B:   } = .
Obserwacja 1.
Dla niektórych metod pojmowania (np. w
metodzie Grzegorczyka, dla logiki ścisłej
implikacji) nie zachodzą wyrażenia:
(      )    (  ),
(      )    (  ).
Wtedy, ponieważ {B:       } =B,
nie zachodzą wyrażenia:
(  )  1, (  )  1
Twierdzenie 12.
Relacja pojmowania jest relacją
równoważności.
Twierdzenie 14.
(  )0; (  0)0; (  0) 
Twierdzenie 15.
Dla dowolnego zdania atomicznego
p, zachodzącego w sensie
pojmowania, tj. takiego, że
B0(p):
a. (p  p)1,
b. (p  p) jest formułą
zachodzącą w sensie
pojmowania.
Definicja
Dowolną złożoną formułę  nazywać się będzie zachodzącą w sensie
pojmowania, przy danej metodzie pojmowania Met, gdy
(  1    0)  (  1    0).
Pojmowanie prawdziwości lub fałszywości
zachodzących w sensie pojmowania formuł
Dowolna formuła zbudowana z symboli , , i ze zdań
atomicznych pojmowna jest jak jej postać normalna
alternatywno-koniunkcyjna.
Jeśli  zachodzi w sensie pojmowania,
to zachodzą twierdzenia 16-20
Twierdzenie 16.
(  )  1
Twierdzenie 17.
  0    1
Twierdzenie 18.
  1    0
Twierdzenie 19.
  0    1
Twierdzenie 20.
  1    0
Pojmowanie prawdziwości lub fałszywości
formuł zachodzących w sensie pojmowania
Twierdzenie 21.
Dla dowolnych zachodzących w sensie pojmowania formuł , 
zachodzi następująca klasyczna tabela prawdziwościowa:







0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
Pojmowanie schematów zagregowanych
spójników zdaniowych
Wieloargumentowym, zagregowanym spójnikiem zdaniowym nazywamy
uogólniony rekurencyjnie spójnik dwuargumentowy. Zagregowany spójnik nargumentowy łączy ze sobą dwa lub trzy, itd. lub n formuł.
Pojmowanie schematów zagregowanych spójników zdaniowych można określić
rekurencyjnie (dla dowolnych formuł oraz zachodzących w sensie pojmowania):
 (F1,F2)  (F1  F2)
 (F1,..., Fn-1,Fn) 
(F1,..., Fn-1) , gdy Fn  1;
((F1,..., Fn-1)) , gdy (Fn  1);
 (F1,F2)  (F1  F2)
 (F1,..., Fn-1,Fn) 
(F1,..., Fn-1) , gdy Fn  1;
((F1,..., Fn-1)) , gdy Fn  0;
Pojmowania schematów zagregowanych trzyargumentowych spójników łączących zachodzące
zdania atomiczne p, q, r
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
0
1
0
1
0
1
0
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
(p,q,r) (p,q,r) (p,q,r) (p,q,r)
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
Tautologie
Definicja
Tautologia jest to formuła , która po podstawieniu dowolnych
złożonych formuł zachodzących w sensie pojmowania, za wszystkie
zmienne zdaniowe tej formuły, da formułę  pojmowaną jako
prawdziwą, niezależnie od pojmowania tych formuł jako 1 lub jako 0,
tj.   1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
((p,q,r))  ((p  q)  r);
( (p,q,r))  ((r  p)  q);
((p,q,r))  ((q  r)  p),
((p  q), (q  r), (p  r));
((p  q), (q  r), (p  r)),
((p, p, p))  ((p, p, p));
((p, p, p))  ((p, p, p)),
Tautologie
8. (((p  q), (q  r), (p  r)))  (((p  q), (q  r), (p  r))),
9. (((p  q), (q  r), (p  r)))  (((p  q), (q  r), (p  r))),
10. (((p  q), (q  r), (p  r)))  (((p  q), (q  r), (p  r))),
11. (((p  q), (q  r), (p  r)))  (((p  q), (q  r), (p  r))),
12. p  ((p, p, p)  (p, p, p)),
13. p  ((p, p, p)  (p, p, p)),
14. ((p,q,r), (r,p,q), (q,r,p))  ((p,q,r)),
Tautologie
Prawa de Morgana
15. (p,q,r)  ((p, q, r)),
16. (p,q,r)  ((p, q, r)),
Negacje
17.
((p,q,r))  ((p, q, r)),
18.
((p,q,r))  ((p, q, r)),
19.
((p,q,r))  ((p, q, r))
20.
((p,q,r))  ((p, q, r))
21.
((p,q,r))  ((p, q, r))
22.
((p,q,r))  ((p, q, r))
23.
((p,q,r))  ((p, q, r))
Adekwatne reguły pojmowania
Twierdzenie 22.
Dla dowolnej metody pojmowania spełnione są następujące własności
relacji pojmowania:
Con0.   ,
Con1.       ,
Con2.       ,
Con3. (      )    ,
Con4. (      )  (  )  (  ),
Con5. (      )  (  )  (  ),
Z własności Con4 i Con5 wynika
Twierdzenie 23.
Con6.     (  )  (  ),
Con7.     (  )  (  ),
Z własności Con4 wynika
Twierdzenie 24.
Con8.       1    1
Logika pojmowania schematów zdań
Podformuły
Definicja (bycia podformułą)
Relację   FormForm nazywamy relacją bycia poformułą
wtw dla dowolnych formuł , , , 
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
  ,
         = ,
          ,
  ,
  (  )  (      )
  (  )  (      )
  (  )  (      )
  ( )  (      )
  (  )  (      )
Logika pojmowania schematów zdań
Podstawianie za formułę
Definicja (podstawiania za formułę)
1.  [/] = ,
2.  [/] = ,
3. (  )[/] = ( [/]   [/]),
4. (  )[/] = ( [/]  [/]),
5. (  )[/] = ( [/]   [/]),
6. (  )[/] = ( [/]   [/]),
7.      [/].
Twierdzenie 25. (o podstawianiu w formule jednakowo
pojmowanych formuł)
Dla dowolnych formuł , , , p
Con9.
     [p/]   [p/].
Logika pojmowania schematów zdań
Ekstensjonalność relacji pojmowania
Definicja (miejsce podformuły w formule)
Dla dowolnych formuł , , formułę 1 nazywamy pierwszym miejscem
podformuły  w formule , gdy  i istnieje taka zmienna p1 1,
występująca tylko raz w formule 1, co zapisujemy 1=1[p1], że  = 1
[p1/]. Oznaczmy przez [] zbiór wszystkich takich miejsc.
Niech istnieje ciągi formuł 1, 2, …, k oraz zmiennych p1, p2, …,
pk takich, że
1.   i, i=1,2,…,k-1,   k,
2. i=i[pi], i=1,2,…,k,
3. i-1 = i [pi/], i=1,2,…,k.
Formułę i nazywamy i-tym miejscem formuły  w formule , a k jest
liczbą takich miejsc.
Twierdzenie 26. (o ekstensjonalności pojmowania schematów zdań)
Dla dowolnych formuł , , , , p takich, że  ,  = [p] i  [],
Con10.
       [p/].
Logika pojmowania schematów zdań
Adekwatne reguły pojmowania
Teorię pojmowania schematów zdań można wzbogacić o następujące reguły
wnioskowania, wykorzystując własności Con1-Con10, spełnione dla wszystkich
metod pojmowania, reguły adekwatne do tych własności, zwane dalej regułami
pojmowania:
Rul1.
Rul2.
Rul3.
Rul4.
Rul5.
Rul6.
Rul7.
Rul8.
Rul9.
Rul10.
   /   ,
   ,    /   ,
   /   ,
   ,    / (  )  (  ),
   ,    / (  )  (  ),
   / (  )  (  ),
   / (  )  (  ),
   ,   1 /   1,
   /  [p/]   [p/],
   /    [p/], gdy  ,  = [p] i  [],
Logika pojmowania schematów zdań
Aksjomaty pojmowania
Przyjmując jako aksjomaty pojmowania, podane poniżej wyrażenia,
rozumiane jako formuły logiki pojmowania schematów zdań, spełnione we
wszystkich metodach pojmowania, otrzymamy logikę równoważnościową.
Tak określona logika zwana będzie logiką pojmowania schematów zdań.
Aksjomaty pojmowania:
Ax7.
p  (p  p)
p  p,
Ax 8. (p  (q  r))  ((p  q)(p  r))
Ax 1. (p  q)  (q  p)
Ax 9. (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r))
Ax 2. p(q  r))((p  q) r)
Ax 10. (p  q )  (p  q)
Ax 3. p  (p  p)
Ax 11. (p  q )  (p  q)
Ax 4. (p  q)  (q  p)
Ax 12. (p )  p
Ax 5. (p  (q  r))  ((p  q)  r)
Ax 13. p  p  0
Ax 6. (p  (q  r))  ((p  q)  r)
Ax 14. ( p  p )  1, gdy p zachodzi w sensie pojmowania, a za p można
Ax 0.
postawiać tylko niektóre formuły, dające po podstawieniu formułę
pojmowaną jako prawdziwą, np. inne zachodzące zmienne zdaniowe lub
złożone formuły zachodzące w sensie pojmowania.
Popatrz na pojmowanie...
Rozumienie, wyprowadzenie, wyjaśnienie czegoś, posiadanie
wiedzy o czymś nie jest pojmowaniem tego czegoś.
To co jest tak samo pojmowane ma to samo znaczenie, ale nie
odwrotnie.
Ta sama wiedza może być skrajnie odmiennie reprezentowana, a
więc i odmiennie pojmowana.
Każdej reprezentacji wiedzy odpowiada jakieś pojmowanie, a
wiedza bez pojmowania reprezentwana jest metaforycznie.
Dlatego badanie relacji pojmowania jest tak ważne dla
adekwatnego reprezentowania wiedzy.
Definicja
Strukturę relacyjną TDW = < U, U0, , R> nazywamy tekstową
dziedziną wiedzy, gdy
•U jest niepustym zbiorem wszystkich tekstów reprezentujących
wiedzę z pewnej dziedziny,
•U0 jest wyróżnionym niepustym podzbiorem zbioru U zwanym
bazą tekstową,
• jest relacją częściowego porządku określoną na zbiorze U
zwaną relacją bycia składnikiem tekstów, a
•R jest ustalonym zbiorem relacji określonych w U zwanych
regułami wyprowadzania tekstów lub relacjami nawiązywania
tekstów.
Dwa teksty ,U są równokształtne, gdy dwie struktury relacyjne
powstałe przez ograniczenie uniwersum struktury TDW
odpowiednio do zbiorów {tU : t  }, {tU : t  }, są
izomorficzne oraz części tekstu  pozostają w tych samych
relacjach w strukturze TDW co ich obrazy izomorficzne będące
składnikami tekstu .
Tekst  jest wyprowadzalny ze zbioru tekstów XU, co zapisujemy
X |- R , gdy istnieje taki tekst , zwany wyprowadzeniem tekstu 
ze zbiory X, i istnieje taki ciąg tekstów 1, 2, ..., n  U, że
spełnione są warunki:
1. teksty 1, 2, ..., n są składnikami tekstu ,
2. n = ,
3. dla dowolnych in: bądź i  X, bądź istnieją takie i1, i2, ..., ik <
i oraz istnieje taka relacja r  R, że <i1, i2, ..., ik,, i>  r
4.  jest minimalnym/najmniejszym tekstem w <U,  >
spełniającym warunki (1)-(3).
Ramą zbioru tekstów XU jest zbiór Fr(X) = {U : X |- R  }
Poprawnie zbudowanymi są teksty należące do zbioru Fr(U0).
Definicja
Logiką pojmowania tekstów struktury relacyjnej
TDW = < U, U0, , R> nazywamy system
LP(TDW) = < , CON, 0>, gdzie
•  Fr(U0) Fr(U0) jest relacją równoważności zwaną relacją
pojmowania,
•CON zbiorem relacji określonych na zbiorze , zwanych
regułami pojmowania,
•0 jest niepustym podzbiorem , par równoważnych tekstów,
par zwanych aksjomatami pojmowania.
Reguły pojmowania: dla dowolnych tekstów A, A1, A2, A3, B1,
B2, należących do Fr(U0):
C1.
A1A2 / A2A1,
C2.
A1A2, A2A3 / A1A3,
C3.
A1A2 / B1B2, gdzie B1 i B2 są jednakowo
wyprowadzone, odpowiednio z A1 i A2 za pomocą reguł
wyprowadzania R. Regułę C3 można zastąpić zbiorem reguł
odpowiadającym zastosowaniu poszczególnych reguł R.
Bibliografia
[1] Andrzej Grzegorczyk, Nieklasyczne rachunki zdań a
metodologiczne schematy badania naukowego i definicje pojęć
asertywnych, Studia Logica, Tom XX 1967, s. 117-130.
[2] Andrzej Sawicki, Czego informatycy nauczyli się od Andrzeja
Grzegorczyka, Studie in Logic, Grammar and Rhetoric 27 (40)
2012, s. 169-185.
[3] Edward Bryniarski, FORMALIZACJA JAKO REPREZENTACJA
WIEDZY LOGICZNEJ, w: Ratione et Studio (red. Kazimierz Trzęsicki),
Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok (2005), 111126.
[4] Zbigniew Bonikowski, Edward Bryniarski, Urszula WybraniecSkardowska, ROUGH PRAGMATIC DESCRIPTION LOGIC, w: Rough
Sets and Intelligent Systems - Professor Zdzisław Pawlak in
Memoriam. Vol. 2 (red. Andrzej Skowron, Zbigniew Suraj),
Springer, Berlin Heidelberg New York (2013), 157-184.