Zadanie Odpowiedzi z egzaminów

Zadanie
Pochodna funkcji f (x) spełnia
1
1
¬ f 0 (x) ¬
5
3
dla każdego x ∈ (0, 1).
Czy to znaczy, że funkcja f (x) jest monotoniczna w przedziale (0, 1)?
Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedzi z egzaminów
Polska język – trudna język
Tak, funkcja spełnia granicę funkcji, jeśli przyrównamy do 0 i spełniony
będzie warunek 15 ¬ f 0 (x) ¬ 13 i w przedziale (0, 1) będzie monotoniczna.
Spełnia, ponieważ, aby funkcja była monotoniczna musi spełniać jednen
z założeń - (być malejąca, rosnąca, niemalejąca lub nierosnąca)
Tak funkcja jest monotoniczna ponieważ dla różnych argumentów będzie
przyjmowała różne wartości i argumenty są dodatnie wartości także można
wnioskować, że funkcja ta będzie niemalejąca lub rosnąca w przedziale
x ∈ (0, 1)
Matematyka alternatywna
Nie oznacza to, że jest monotoniczna w przedziale (0, 1) ponieważ nie
każdy x spełnia daną nierówność.
Funkcja f (x) jest monotoniczna w przedziale (0, 1) ponieważ zachodzi nierówność f (x1 ) < f (x2 ) dla liczb 15 i 13 .
Funkcja jest monotoniczna w przedziale (0, 1) ponieważ f (x) jest większa
od f 0 (x) w punktach 51 i 13 . Więc mieści się w przedziale (0, 1).
f (x0 ) > f (x) – maksimum
f (x0 ) < f (x) – minimum
Odp. Tak, ponieważ w tym przedziale 0, 2 ≈ 15 ¬ f 0 (x) ¬ 13 ≈ 0, 3 występuje minimum lub maksimum funkcji, gdyż w tym odcinku (0, 1) następuje
załamanie funkcji
Nie ponieważ nie wiemy jak wygląda wykres funkcji a dostajemy jedynie
informację że wartości pochodnej f 0 (x) dla wartości x ∈ (0, 1) mieszczą
się w wartościach od 51 do 31
Funkcja f (x) jest monotoniczna w takich samych przedziałach jak f 0 (x)
(jeśli dziedziny są takie same), więc funkcja f (x) nie jest monotoniczna w
przedziale x ∈ (0, 1).
Tak, ponieważ funkcja z pochodną się pokrywają.
Jest monotoniczna gdyż w tym przedziale pochodna może mieć rożną
wartość.
Nie znaczy to, że funkcja f (x) jest monotoniczna w przedziale (0, 1). To,
że nierówność 15 ¬ f 0 (x) ¬ 13 jest spełniona dla x ∈ (0, 1) mówi o tym, że
pochodna w przedziale ( 15 , 13 ) istnieje jeżeli x ∈ (0, 1).
Tak, ponieważ funkcja f (x) jest większa od zera.
„Odpowiedź uzasadnij” – a co to może znaczyć?
Monotoniczność:
Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale gdy dla dowolnych liczb x1 ,
x2 , takich, że x1 < x2 zachodzi f (x1 ) < f (x2 ).
Funkcja f jest malejąca w danym przedziale gdy dla dowolnych liczb x1 ,
x2 , takich że x1 < x2 zachodzi f (x1 ) > (x2 ).
odp: Funkcja f (x) jest monotoniczna, ponieważ
Monotoniczność funkcji
Funkcja f jest rosnąca w pewnym przedziale, gdy dla dowolnych liczb x1 ,
x2 z tego przedziału takich, że x1 < x2 zachodzi f (x1 ) < f (x2 )
Funkcja jest malejąca w pewnym przedziale, gdy dla dowolnych liczb x1 ,
x2 tego przedziału takich x1 > x2 zachodzi f (x1 > f (x2 ). TAK
Tak. Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziale (0, 1)
Nie ogarniam
Tak. funkcja jest monotoniczna, kiedy jest rosnąca, malejąca, nierosnąca i niemalejąca. bądź stała a tutaj spełnia choćby 1 z tych warunków.
(Monotoniczność przedział, gdzie zawiera się D).
funkcja jest monotoniczna ponieważ będzie w tym przedziale malejąca,
stała lub rosnąca
Tak, ponieważ monotoniczna funkcja, to taka, która ma określony porządek zbiorów, w tym przypadku x ∈ (0, 1) spełnia 51 ¬ f 0 (x) ¬ 31
Tak, ponieważ funkcji rośnie w danym przedziale funkcja osiąga minimum
czyli jest malejąca.
Oznacza to, że przyjmuje jedną z 4 wartości (maleje, rośnie, nierosnąca,
niemalejąca). Każdy i x ∈ (0, 1) mieści się pomiędzy 15 a 13 .
Funkcja f (x) jest monotoniczna w przedziale (0, 1) ponieważ x należą do
niej punkty x ∈ (0, 1) ale z pochodnej czyli np. 1x który mieści się w
przedziale 15 ¬ x ¬ 13 .
Odpowiedź prawidłowa
Tak, ponieważ w tym przedziale pochodna f 0 (x) jest większa od 0.