Fizyka statystyczna, kondensacja Bosego
Transkrypt
Fizyka statystyczna, kondensacja Bosego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja BosegoEinsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących bozonów jest bardzo prosta bo znika potencjał chemiczny (patrz termodynamika fotonów ) Jednak w układzie z ustaloną liczbą cząstek (w naszym przypadku – „średniej liczby cząstek”) ten, jakby się wydawało ‘niewinny formalizm’ prowadzi do niezwykłych przewidywań, nie mających odpowiedników dla fermionów, czy fizyki klasycznej. ≡ oczywiście Zatem przy załoŜeniu PRZYPOMNIENIE zliczania stanów w przypadku gęsto połoŜonych poziomów energetycznych stąd Wygodniej odnieść się do jednostek atomowych , wtedy Poprawki od statystyk kwantowych …. Szczegóły rozwinięcia Dowód: Dowód Ponadto ostatnim razem pokazaliśmy, Ŝe dla nierelatywistycznych bozonów i fermionów zachodzi wyprowadzenie w dodatku Otrzymaliśmy bardzo waŜny wynik wnioski …potencjał chemiczny rośnie z malejąca temperaturą… ∞ 1/ 2 2π V z ε 3/ 2 N (T , V , z ) = 3 ( 2 m ) σ ∫ d ε −1 + h z exp{ βε } − 1 1 − z 0 z=exp{bm}- tzw. parametr zwyrodnienia ∞ 1 x n −1dx gn ( z) ≡ Γ ( n ) ∫0 z −1 exp{ x } − 1 0≤ z ≤1 n∈R V z N = 3 g3 / 2 ( z ) + = N * + N0 λ 1− z Średnia liczba cząsteczek zachowana – róŜnica obsadza stan podstawowy. między N i N* = Dla bozonów zawsze: µ < ε0 Zatem n moŜe być dowolnie duŜe jeśli róznica ε0 − µ ≈ 0 n0 mamy przejście fazowe dla T = T0 1 (to przejście nazywa się kondensacją Bosego Einsteina) 1 T /T0 Jest to ‘’kondensacja’’ molekuł w stanie podstawowym o pędzie k=0 Funkcje termodynamiczne kondensatu N 2 m kB T 3ê2 ∞ x1ê2 ρ = = 2 πσ J N x ‡ 2 x −βµ V h −1 0 e BE chemical potential 0 m êHkBTc L -2 -4 -6 0 1 2 TT ê/T Tc 0 3 4 5 Obsadzenia poziomów w f-cji energii BE occupation number 5 4 T /T0 1.1 êê n 3 2 1 2 5 0.25 0.5 0.75 1 1.25 ¶ êHkB Tc L 1.5 1.75 2 Energia wewnętrzna Przyczynek dają jedynie cząstki o energii > 0 ∼ VT 5ê2 dla T ≤ T0 Równanie 2 p = 3 stanu ∞ 3ê2 2 πσ x i y 3ê2 5ê2 j z j z H 2 m L H k T L x B ‡ x−βµ − 1 k h3 { 0 e ∼ T 5ê2 H dla T ≤ T0; niezaleŜnie od V !L N 2 m kB T 3ê2 ∞ x1ê2 ρ = = 2 πσ J N x ‡ 2 x −βµ V h −1 0 e p0 ∼ v−5ê3 p p ∼ T cząstki o zerowym pędzie nie wywieraja cisnienia; przy spręŜaniu więcej cząstek przechodzi do stanu podstawowego. 5ê2 T2 > T1 T1 v KBE jest przejściem I-szego rodzaju J dp ∆H N = Hr. ClapeyronaL d T wzdłóŜ krz. współ. T0 ∆V ∆H ≠ 0 Jest to dosyć niezwykłe przejście fazowe I-szego Rodzaju - układ ma jednorodną makroskopową gęstość, a nie dwie róŜne gęstości jak np. dla cieczy i gazu Kondensacja zachodzi w przestrzeni pędów: wszystkie cząsteczki kondensatu mają zerowy pęd. Ciepło CV właściwe ∂E =J N ∼ T3ê2 T < T0 ∂T V 3 C V HT = T0 L > 1.925 kB N > kB N HT → ∞L 2 ∂ CV = 2.89 ∂ T V,T→ T0− ∂ CV J N = − 0.77 ∂ T V,T→ T0+ NkB T < T0 T0 NkB HT > T0L T0 Zatem w cieple właściwym mamy ostrze w temperaturze T = T 0 KBE – przewidziana była przez Einsteina w 1924, warunkiem istnienia kondensatu jest, aby temperaturowa długość fali de Brogli’a była porównywalna z odległościami międzyatomowymi CV NkB 3/2 3/2 3ê2 Granica klasyczna ∼T 1 T T0 Nadpłynność w ciekłym helu ma związek z KBE •Dla T =4.22K staje się cieczą •Dla T0 = 2.17 staje się nadciekły •London w 1938 zaproponował, Ŝe nadciekłość to KBE Z modelu nieoddziaływujących bosonów T0 = 3.15 K Stan nadciekły jest daleki od stanu nieoddz. bosonów, frakcja nadciekła nie dąŜy do 100%, a stabilizuje się wokół znacznie mniejszych wartości (~10%) KBE Ciekły hel: Przejście l •Logarytmiczna rozbieŜność •Maleje jak T3 W 1995 dowiedziono istnienia KBE (E. Cornell, National Institute of Standards and Technology, Boulder, Colorado) dla ultrazimnego gazu atomów rubidu o małej gęstości, zamkniętych w atomowych pułapkach. Analogiczny eksperyment dla atomow Li wykonano w Houston (R. Hullet, Rice University, Houston, Texas) M = 87 jm T 0 = 8.57 ∗ 10 − 8 o średnia odległość = 4641.6 A