III_pracownia_fotoniki_CS.

Dr hab. Rafał Kotyński
[email protected]
Warszawa, 2015
Zastosowania teorii oszczędnego próbkowania w detekcji optycznej
Ćwiczenie przeznaczone do realizacji w ramach III pracowni fotoniki
Teoria oszczędnego próbkowania (ang. compressive sampling, compressive sensing) [1] od
niedawna znajduje zastosowanie w optyce w projektowaniu nowych technik pomiarowych [2-5],
częściowo inspirowanych kwantowymi pomiarami koincydencyjnymi (quantum/computational
ghost imaging) [6], choć nie wykorzystującymi kwantowych właściwości światła [7].
Spośród zastosowań CS w optyce warto wymienić użycie oszczędnego próbkowania do budowy
wieloekspozycyjnych kamer jednopikselowych. W kamerze takiej macierz pikseli zastępuje się
punktowym (jednopikselowym) detektorem. Prowadzi to znacznego uproszczenia budowy samego
detektora, ale odbywa się kosztem konieczności użycia elementu strukturyzującego oświetlenie lub
aperturę układu oraz koniecznością uzupełnienia pomiaru o kosztowną obróbkę cyfrową. Takie
postępowanie jest szczególnie uzasadnione dla zakresów widmowych, dla których trudno jest
wykonać macierz detektorów np. dla zakresu terahercowego [4], ale np. w Bell Labs wykonano
podobną bezsoczewkową kamerę o nieskończonej głębi ostrości dla zakresu widzialnego [8].
Ponato prowadzone są badania nad wykorzystaniem CS w holografii [9,10], w mikroskopii
fluorescencyjnej [11], w obrazowaniu polarymetrycznym [12], w jednoczesnych pomiarach obrazu
wraz z odległością [13], w technikach lidarowych [14], w obrazowaniu nadrozdzielczym [15], w
obrazowaniu trójwymiarowym [5,16], czy w obrazowaniu z użyciem struktur metamateriałowych
[17]. Istnieją też prace studzące nadmierny entuzjazm jaki czasem spotyka techniki CS [18,19], tym
niemniej można oczekiwać, że CS stanie narzędziem wspomagającym techniki obrazowania w
wielu zastosowaniach, niezależnie od tego, że znajdzie również bardzo liczne zastosowania
niezwiązane z optyką.
Idea oszczędnego pomiaru
Załóżmy, że interesuje nas pomiar sygnału x∈ℝn (będącego np. zbiorem n pikseli obrazu).
Rozważmy zastąpienie bezpośredniego pomiaru x , pomiarem „oszczędnym” y ∈ℝm , przy czym
m<n co uzasadnia termin „oszczędny”, zdefiniowanym jako y= A⋅x . Czyli pomiarowi podlega
zbiór iloczynów skalarnych sygnału x
z określonym zestawem funkcji pomiarowych
T
A=[a 1 , a1 ,... , a m ] - często o charakterze losowym. Macierz pomiarowa A ma wymiar m×n .
Załóżmy, że nasz mierzony sygnał x∈ℝn jest „kompresowalny” albo inaczej k-rzadki (dla
k < m< n ). Oznacza to, że w pewnej bazie, reprezentacja x∈ℝn będzie dana przez wektor c ∈ℝn
taki, że c będzie zawierać co najwyżej k niezerowych elementów. Baza ta może się składać np. z
funkcji stanowiących jądro wybranej transformaty liniowej używanej w kompresji danych – np.
transformaty falkowej, dyskretnej transformaty kosinusowej, czy transformaty Hadamarda. Wybór
transformaty podyktowany jest oczywiście rodzajem mierzonego sygnału. Funkcje bazowe
oznaczymy jako {ϕ1 , ϕ 2 , ... ,ϕ n } . Czyli x=Φ⋅c , przy Φ=[ϕ 1 , ϕ 2 , ... , ϕ n ]T . Konieczne jest
ponadto założenie, że w tej samej bazie, reprezentacja użytych wcześniej funkcji pomiarowych
{a i } nie jest rzadka i ta własność nosi nazwę niekoherencji baz. W takim wypadku, z wysokim
prawdopodobieństwem sygnał można zrekonstruować na podstawie pomiaru zawierającego
znacznie mniej danych niż rekonstruowany sygnał.
Bezpośrednia rekonstrukcja sygnału polega na poszukiwaniu rzadkiego wektora c spełniającego
równanie y= A⋅x (ponieważ m<n , to równanie liniowe ma rozwiązanie niejednoznaczne i
spośród dopuszczalnych rozwiązań można wybrać to, któremu odpowiada rzadkim wektor c ).
Problem sprowadza się do rozwiązaniu problemu minimalizacji argmin c {‖c‖0 dla c : y =A⋅Φ⋅c } .
Niestety rozwiązanie powyższego równania jest niezmiernie kosztowne obliczeniowo. W
wyrażeniu tym ‖c‖0 oznacza (pseudo)normę l 0 odpowiadającą liczbie niezerowych elementów
wektora c , która pozwala mierzyć jak bardzo wektor c jest rzadki.
p
Pseudonorma l 0 jest uogólnieniem normy l p zdefiniowanej dla p≥1 jako ‖x‖p= ∑i |x i|p
Okazuje się, że dla normy l 1 , minimalizacja której także prowadzi do znajdowania wektorów
rzadkich, zostały opracowane wydajne algorytmy rozwiązywania podobnego problemu
minimalizacji. W tej postaci
√
~
c =argminc {‖c‖1 dla c : y=Θ⋅c} ,
(1)
gdzie Θ=A⋅Φ nosi on nazwę „basis pursuit” i jest podstawą sukcesu metod pomiarowych
c , będącego oszczędną reprezentacją x ,
opartych na teorii CS. Po wyznaczeniu wektora ~
c . Istnieją liczne modyfikacje tego
możemy oczywiście odtworzyć także mierzony sygnał x=Φ⋅~
problemu optymalizacji, np. uwzględniające obecność szumu w sygnale, albo odwołujące się do
kompresowalności pochodnej sygnału, a nie bezpośrednio kompresowalności samego sygnału.
Wykonanie ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie pomiaru obrazu przy użyciu technik CS z wykorzystaniem
detektora jednopunktowego (ang. bucket detector/single-pixel detector). Ćwiczenie może mieć
charakter numeryczny bądź doświadczalny i jego dokładny przebieg jest każdorazowo ustalany ze
studentem.
W części doświadczalnej, jako źródło strukturyzowanego oświetlenia wykorzystany będzie
modulator DMD (TI DLP Light Crafter 4500), którego podstawowym elementem jest
mikromechaniczna macierz mikrozwierciadeł (elementów MEMS) o dwóch możliwych
położeniach. Modulator wyposażony jest w źródło oświetlenia LED, układ kolimujący wiązkę,
niezbędną elektronikę, i może być sterowany sygnałem USB lub HDMI z komputera. Funkcję
detektora będzie pełnić miernik mocy wiązki z detektorem krzemowym. W szczegółach układ może
wykorzystywać architekturę przedstawioną w pracy [8] (z uwzględnieniem użycia innego
modulatora światła).
Część numeryczna ćwiczenia wymaga znajomości języka Matlab, w którym należy przygotować
program służący do rekostrukcji obrazu, a przy realizacji ćwiczenia w wersji numerycznej także do
przeprowadzenia symulacji działania układu. Do rekonstrukcji obrazu warto wykorzystać
wolnodostępne biblioteki służące do rozwiązywania problemów optymalizacji w sensie normy l 1 .
Przykładami takich bibliotek są l1-magic , SPGL1 oraz Sparselab.
Literatura:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Baraniuk, R., Compressive sensing. (IEEE Signal Processing Magazine, 24, pp. 118-121, (2007).
Romberg, J. Imaging via compressive sampling. (IEEE Signal Processing Magazine, 25, pp. 14 - 20, (2008).
Willett, R. M., Marcia, R. F., and Nichols, J. M., "Compressed sensing for practical optical imaging systems: a
tutorial," Opt. Eng. 50, 072601 (2011).
Chan, L., Charan, K., Takhar, D., Kelly, K. F., Baraniuk, R. G., and Mittleman, D. M., "A single-pixel terahertz
imaging system based on compressed sensing," Appl. Phys. Lett. 93, 121105 (2008).
Sun, B., Edgar, M. P., Bowman, R., Vittert, L. E., Welsh, S., Bowman, A., and Padgett, M. J., "3D
computational imaging with single-pixel detectors," Science 340, 844 (2013).
Erkmen, B. I. and Shapiro, J. H., "Ghost imaging: from quantum to classical to computational," Adv. Opt.
Photon. 2, 405-450 (2010).
Bromberg, Y., Katz, O., and Silberberg, Y., "Ghost imaging with a single detector," Phys. Rev. A 79, 053840
(2009).
MIT
Technol.
Rev.
June
3
2013,
"Bell
Labs
Invents
Lensless
Camera”
http://www.technologyreview.com/view/515651/bell-labs-invents-lensless-camera/ oraz Huang G, Jiang H,
Matthews K and Wilford P, "Lensless imaging by compressive sensing", http://arxiv.org/abs/1305.7181
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Clemente, P., Duran, V., Tajahuerce, E., Andres, P., Climent, V., and Lancis, J., "Compressive holography with
a single-pixel detector," Opt. Lett. 38, 2524 (2013).
Rivenson, Y., Stern, A., and Javidi, B., "Overview of compressive sensing techniques applied in holography,"
Appl. Opt. 52, A423 (2013).
Studer, V., Bobin, J., Chahid, M., Mousavi, H. S., Candes, E., and Dahan, M., "Compressive fluorescence
microscopy for biological and hyperspectral imaging," PNAS 109, E1679-E1687 (2012).
Duran, V., Clemente, P., Fernandez-Alonso, M., Tajahuerce, E., and Lancis, J., "Single-pixel polarimetric
imaging," Opt. Lett. 37, 824 (2012).
Yang, X. and Zhao, Y., "Distance measurement by computational ghost imaging," Optik - International Journal
for Light and Electron Optics 124(22), 5882 - 5884 (2013).
Zhao, C., Gong, W., Chen, M., Li, E., Wang, H., Xu, W., and Han, S., "Ghost imaging lidar via sparsity
constraints," Appl. Phys. Lett. 101(14), 141123 (2012).
Gazit, S., Szameit, A., Eldar, Y. C., and Segev, M., "Super-resolution and reconstruction of sparse subwavelength images," Opt. Express 1723920 (2009).
Cho, M., Mahalanobis, A., and Javidi, B., "3D passive integral imaging using compressive sensing," Opt.
Express 20, 26624 (2012).
Yurduseven, O., Imani, M. F., Odabasi, H., Gollub, J., Lipworth, G.Rose, A., and Smith, D. R., "Resolution of
the frequency diverse metamaterial aperture imager," PIER 150, 97 (2015).
L. Yaroslavsky (2015). "Is Compressed Sensing compressive? Can it beat the Nyquist Sampling Approach?",
arXiv: 1501.01811v2.
Stern, A., Zeltzer, Y., and Rivenson, Y., "Quantization error and dynamic range considerations for compressive
imaging systems design," J.Opt.Soc. Am. A 30, 1069 (2013).
Oprogramowanie:
1. L1- magic: http://statweb.stanford.edu/~candes/l1magic/
2. SPGL1: https://www.math.ucdavis.edu/~mpf/spgl1/
3. Sparselab: http://sparselab.stanford.edu/
Dokumentacja modulatora DMD:
1. Specyfikacja elementu TI DLP4500: http://www.ti.com/lit/ds/symlink/dlp4500.pdf
2. Instrukcja obsługi DLP LightCrafter4500: http://www.ti.com/lit/pdf/dlpu011
Dokumentacja miernika mocy Thorlabs PM100USB + detektor S120C:
1. http://www.thorlabs.de/newgrouppage9.cfm?objectgroup_id=4037