Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka

Helena KAZIEKO, Lucyna KAZIEKO
Katedra Zastosowań Matematyki SGGW
Departament of Applied Mathematics WAU
Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka porowatego*
Flow in anizotropic fractured porous media
Słowa kluczowe: przepływ, anizotropowy ośrodek porowaty
Key words: flow, anizotropic porous media
Wprowadzenie
Rozpatrujemy przepływ w szczelinie mającej kształt trapezu (rys. 1). Przyjmujemy, Ŝe grunt szczeliny jest jednorodny i anizotropowy; główna oś anizotropii jest
pozioma.
M
C
D
B
H
l0
h
ϕ
E
A
L
RYSUNEK 1. Schemat szczeliny
FIGURE 1. Scheme of crack
Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku 1. Uzupełnimy trapez ABCDE
do trójkąta AME.
*
Z uwagi na rozbudowane wzory artykuł złoŜono jednołamowo.
132
H. Kazieko, L. Kazieko
Oznaczamy:
ℵ i ℵ ' − współczynniki filtracji, odpowiednio poziomy i pionowy,
q
− wydatek filtracyjny szczeliny trapezoidalnej ABCDE,
Q − wydatek filtracyjny szczeliny trójkątnej AME przy napełnieniu jej do
szczytu.
Wprowadzimy wielkości bezwymiarowe:
~ h
h= ,
H
q
~
q=
Q
Podstawowe zagadnienie anizotropowe moŜna sprowadzić do zagadnienia izotropowego (Połubarinowa-Koczina 1942).
Sformułowanie zagadnienia
Z hydromechanicznego rozwiązania dla izotropowej trójkątnej szczeliny (Nelson-Skorniakow 1947) łatwo znaleźć wydatek:
ℵH 2
Q=
L
Z powyŜszej zaleŜności wynika, Ŝe wydatek filtracyjny (Q) nie zaleŜy od poziomego współczynnika filtracji, poniewaŜ linie prądu, tj. trajektorie ruchu cząstek
wody, w tym przypadku są poziome.
RozwaŜymy dwie wartości ℵ ' przy niezmienionej wartości ℵ :
1. Gdy ℵ ' = 0 , to linie prądu są poziome. Hydromechaniczny schemat filtracji
pokrywa się z hydraulicznym schematem podanym przez Pawłowskiego i Meleszczenko (1931). W tym przypadku znajdujemy zaleŜność:
~
~ ~ ~
q = h − ( h − 1) ln(1 − h )
(1)
2. Gdy ℵ ' → ∞ , to linie ekwipotencjalne są połoŜone wertykalnie i schemat hydromechaniczny pokrywa się ze schematem Dupuit (1863). W tym przypadku
znajdujemy zaleŜność:
~
~
q = 1− 1− h2
(2)
Z uwagi na dalsze obliczenia celowe jest wyrazić kąt ϕ nachylenia zbocza
szczeliny do jej podstawy następująco:
ϕ = πσ ,
0<ϕ <
π
2
, 0 < σ <1
Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka porowatego
133
1
, schemat obliczeniowy szczeliny traci sens,
2
chociaŜ wzory (1) i (2) zachowują sens matematyczny. Mając na uwadze zasad1
ność praktyczną, rozwaŜymy przypadki, gdy σ →
oraz σ → 0 , a takŜe
2
σ = 0,25 i σ = 0,1 .
Na rysunku 2 podano wykresy zaleŜności (1) – krzywa 1, oraz zaleŜności (2) –
krzywa 2 dla określonych wartości σ .
ZauwaŜmy, Ŝe dla σ = 0 i σ =
q̃
1,0
1
0,8
2
0,6
0,4
σ
σ
σ
σ
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1,0
→ 0,5
= 0,25
= 0,1
→0
h̃
RYSUNEK 2. Wydatek przepływu wody w szczelinie
FIGURE 2. Water discharge of crack
Maksymalna bezwzględna rozpiętość obu krzywych wynosi 0,112 i zachodzi,
~
gdy h = 0,946 . Maksymalne względne odchylenie krzywej 1 od krzywej 2 wynosi
~
19,6% i zachodzi, gdy h = 0,822 . MoŜna przyjąć, Ŝe przy jednostajnej zmianie ℵ '
od ∞ do 0 zmiana wydatku ~
q będzie takŜe jednostajna i krzywe ~
q=~
q(h) dla
szczelin izotropowych w rozpatrywanym ośrodku będą leŜały między wyŜej omawianymi krzywymi 1 i 2. Sprawdzeniem tej hipotezy zajmowała się Połubarinowa-Koczina (1942).
134
H. Kazieko, L. Kazieko
Rozwiązanie zagadnienia
Połubarinowa-Koczina (1940) zajmowała się przepływem w szczelinie znajdującej się w ośrodku izotropowym. Wyprowadziła wzory na potencjał zespolony
(Hurwitz i Courrant 1968) oraz podała zaleŜności opisujące podstawowe wielkości:
q
h, L, l o , . WyraŜają się one za pomocą całek z funkcji hipergeometrycznych
ℵ
Gaussa. Wzory te zostały przez nas doprowadzone za pomocą przekształceń Gaussa (1876) do obszarów zbieŜności szeregów hipergeometrycznych (Gradstein
i RiŜik 1962):
1
l0 = A
∫
0
h=A
1
1+ a
∫
0
1 

F  σ; σ; σ + ; x 
2 

dx
1−σ
x
x+a
1
 1

F  σ; ; σ + ;1 − x  dx
2
 2

1−σ
(1 − x)
x 1 − (1 + a)x
(− σ ) ! 2  1 − σ sin 2ϕ 1
2

1
 2
0
 − σ  ! cosϕ
2

(− σ ) ! 2  1 − σ 
2
sin ϕ
2

= l0
−A
cosϕ
1
 2
2
 − σ  ! ctg ϕ
2

q
=A
ℵ
1
L=A
∫
0
1
=A
∫
0
(3)
∫
(4)
3


F1 − σ;1 − σ; − σ;1 − x  dx
2

 =
1
(1 − x)
1
∫
0
σ−
2
x(x + a)
(5)
1 1 3

F ; ; − σ; x 
2
2
2


dx
x(x + a)
1


F  σ; σ; σ + ; − ax 
2

 dx =
1
−σ
a2
x 1−σ 1 − x
1


F  σ; σ; σ + ; − x 
1
2


dx + A
x 1−σ a − x
1
∫
a
1 ax 
 1
F  σ; ; σ + ;

2 1 + ax 
 2
1
−σ
a2
x
1−σ
(1 + ax)
σ
Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka porowatego
(6)
dx
1− x
135
gdzie:
a
− parametr określający szerokość szczeliny,
A
− stała.
Przy obliczeniach wielkości l o , L, h skorzystano z rozwinięć w szeregi hipergeometryczne. Badaniem zbieŜności szeregów hipergeometrycznych zajmować się
nie będziemy; jest to oddzielne zagadnienie matematyczne (Gradstein i RyŜik
1962).
W zagadnieniach praktycznych moŜna ograniczyć się do małych wartości σ
i a > 1 . Przy tych załoŜeniach moŜna otrzymać następujące rozwinięcia:
∞
1
∑
1+ a
l0 =
n =0
(σ + n − 1) ! 2  σ − 1  !B(n + σ;1)
2

(σ − 1) ! 2  σ + n − 1  ! n!
2

1 1 3

F  ; ; − σ; x 
1
2 2 2
 dx =
x(x + a)
π 1+ a
1
∫
0
L=
∞
∑
n =0
1 
1
F  ;1; σ + n + 1;

1+ a 
2
(7)
1 2 1


n − !  − σ!
2  2

 F  1 ;1; n + 3 ; 1 


1
1 2
2 1+ a 

 
n
+
−
σ
!
n!
n
+

 

2
2

 
(8)
∑ P(ν n I1n + µ n I n2 ) +
∞
n =0
+
(−1)
(σ + n − 1) ! 2  σ − 1  !
−1 
2
1

F  ;1; n + σ + 1;

a − 1
a − 1 (σ − 1)!2  σ + n − 1  ! n!(n + σ)  2


2

h=p
n
π
1+ a
∞
∑
n =0
2n


(−1) k
µ n + 2ν n ln2 +
+ ln 1 + a 
k


k =1
 1
nB  n;  (1 + a )n
 2
(9)
∑
(10)
przy czym przyjęto następujące oznaczenia
136
H. Kazieko, L. Kazieko
I1n = −
1
2
∫1
n
x lnxdx
x (a + 1)x − 1
1+ a
I n2 = −
1
2
∫1
x n dx
x (1 + a)x − 1
1+ a
oraz

 1

1
 1

n
F  σ; ; σ + ;1 − x  − p (lnx − R) F  σ; ;1; x  + α n x 
2
 2

 2
≡

≡
1− σ
1−σ
(1 − x)
(1 − x)
(
≡ p µ n x n − ν n x n lnx
)
Analiza obliczeń
Korzystając z otrzymanych rozwinięć przeprowadzono obliczenia wielkości:
q
h, L, l o , , przyjmując σ = 0,1 (odpowiada to ϕ = 18o ).
ℵ
Dla parametru a przyjęto wartości:
1; 9; 99; 999; K ; 99 999 999 999; 1018 − 1
Przy σ = 0,1 krzywa ~
q=~
q (h) jest bardzo bliska krzywej Dupuit (1863). Mak~
symalne rozbieŜności między nimi przy h < 0,8 są mniejsze niŜ 1%. Wraz ze
~
~
wzrostem h (przy h < 0,95 ) nie osiągają one 4%.
Przy σ → 0 hydromechaniczny schemat filtracji jest bliski schematowi Pawłowskiego (1931). Krzywa ~
q=~
q (h) pokrywa się w granicznym przejściu z krzywą
2. Potwierdziły to obliczenia przy bardzo małych wartościach σ .
Podsumowanie
W praktyce hydrotechnicznej dla małych szczelin mamy ctgϕ ≥ 1,5 , dla duŜych zaś ctgα ≥ 2,5 .
Z obliczeń wynika, Ŝe przy ctgϕ = 1 odchylenia hydromechanicznych zaleŜności od krzywej 2 są stosunkowo niewielkie. MoŜna więc wnioskować, Ŝe obliczenia wydatku filtracyjnego dla rozpatrywanego typu szczelin otrzymane przez Pawłowskiego (1931) mogą być zadowalające dla praktyki inŜynierskiej.
Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka porowatego
137
Dla małych wartości a wielkości L i l 0 dopuszczają całkowanie wyraz po wyrazie, co w konsekwencji prowadzi do szeregów postaci (7)−(8). Dla dwóch pozostałych parametrów naleŜałoby wyprowadzić bardziej złoŜone rozwinięcia, dzieląc
przedział całkowania na dwie części. Z uwagi na złoŜoność otrzymanych wzorów
nie będziemy ich przytaczać.
~
Obliczenia przy a ≤ 1 dowodzą, Ŝe gdy σ → 0,5 , to krzywa ~
q=~
q (h) jest bliska krzywej 1, przybliŜając się do niej od dołu.
Przechodząc do określenia kwatery wyciekania, naleŜy zwrócić uwagę na to, Ŝe
stosunek wydatku filtracyjnego do dawki wyciekania w zasadzie nie zaleŜy od
konstrukcji szczeliny, określając się nachyleniem danego zbocza. Obliczenia dla
~
σ = 0,1 potwierdziły tę tezę. WyŜej wymieniony stosunek przy h < 0,85 zachowu~
je stałą wartość równą 0,0870 . Zwiększając h do wartości 0,95, stosunek ten jest
~
bliski wartości 0,0883, gdy h = 1 , mamy sinϕtgϕ = 0,1004 . PoniewaŜ
~
w praktyce h jest mniejsze od 0,75, więc z duŜą dokładnością moŜna wykorzystać
q
w obliczeniach stosunek f(ϕ ) =
.
ℵl 0
Ostatnią zaleŜność moŜna przedstawić w postaci:
ℵl 0 4 σ
= 2
q
π
∞
n
∑∑
n =0 k =0
(−1) n + k [k − 2(1 − σ)]!
(n + σ) 2 k![− 2(1 − σ)]!
(11)
Ostatni wzór moŜe być wykorzystany w praktyce inŜynierskiej do obliczania
wielkości dawek wyciekania.
Wobec powyŜszego rozwiązanie dla dopływu z nieskończoności daje w zagadnieniu wydatku filtracyjnego cały lokalny obraz filtracji w rozwaŜanych granicach
wyciekania i dolnego klina szczeliny.
Zagadnienie związane z wpływem górnego klina szczeliny moŜe być rozwiązane poprzez uzupełnienie obszaru filtracji do prostokąta. Wielkość tego prostokąta
moŜna określić lokalnie, rozpatrując górny klin w kontekście wydatku filtracyjnego. Z analizy obliczeń dopływu do poziomego drenaŜu w trapezoidalnych szczelinach otrzymano przybliŜoną zaleŜność określającą szerokość dopełniającego prostokąta:
∆L =
h
2 + tgΨ
(12)
gdzie ψ − kąt nachylenia górnego zbocza do poziomu.
138
H. Kazieko, L. Kazieko
Literatura
DUPUIT J. 1863: Etudes théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux. Paris.
GAUSS S.F. 1876: Werke.
GRADSTEIN I.S., RYśIK I.M. 1962: Tablicy integrałow, sum, riadow i proizwedenij. Gos. Izd. Fiz.Mat. Lit., Moskwa.
HURWITZ A., COURANT R. 1968: Teorija funkcii. Nauka, Moskwa.
LE V-ǎn TIÊM 1962: Ob odnoj zadacze filtracji w dwuchsłojnom grunte. Thông báo khoa hoc 1, 1:
19–25.
NELSON-SKORNIAKOW F.B. 1947: Filtracja w odnorodnoj srede. Nauka, Moskwa.
PAWŁOWSKI N.N. 1931: O filtracji wody czerez zemlanyje płotiny. L. Kubucz, Moskwa.
POŁUBARINOWA-KOCZINA J.P. 1942: O filtracji w anizotropnom grunte. Prikł. Mat. i Mech. 4,
2: 101–104.
Summary
Flow in anizotropic fractured porous media. Flow in trapezoidal crack of anizotropic porous media is analysed. Flow modelling is based on Dupuite law assuming twodimensional situation. A new equations for calculation of water discharge in open crack are
proposed.
Authors’ address:
Helena Kazieko, Lucyna Kazieko
Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego
Katedra Zastosowań Matematyki
ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa,
Poland
Przepływ w szczelinach anizotropowego ośrodka porowatego
139