Eugeniusz Śmietana

XXVIII KONKURS MATEMATYCZNY
im. Prof. J. MARSZAŁA (etap powiatowy)
(8 listopada 2013 r. godz. 10.00 – 12.00)
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH
Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego o boku długości jest środkiem koła o promieniu
równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie i długości
promienia koła wpisanego w trójkąt . Oblicz pole figury
.
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie
Zadanie 3.
Niech liczby
w zbiorze liczb całkowitych.
należą do przedziału
.
. Udowodnij, że zachodzi nierówność
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH
Zadanie 1.
Punkty i
i
dzielą dwa nierównoległe odcinki CA i CB odpowiednio tak, że
. Niech
P dzieli odcinek
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie
Zadanie 3.
Niech
będzie punktem przecięcia się odcinków
i
. W jakim stosunku punkt
?
w zbiorze liczb naturalnych?
będą liczbami dodatnimi, natomiast liczba
dla
.
ich sumą. Udowodnij, że
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH
Zadanie 1.
Wielokąt opisany na okręgu o promieniu długości
rozcięto na
trójkątów
.
Udowodnij, że suma długości promieni okręgów wpisanych w te trójkąty jest większa od .
Zadanie 2.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
nierówność
Zadanie 3.
Wiedząc, że
i
.
większych od
zachodzi
wyznacz sumę
.
POWODZENIA 